Estimación de parámetros

01 · Punto de partida

Calibrar estima; estimar cuantifica la duda

En el Tema 9 calibraste el balance por grilla y te quedaste con el mejor. Ahora la pregunta es más adulta: ¿qué tan seguro estás de ese 1,0? ¿1,0 ± 0,1 o ± 0,8? Sin incerteza, el θ* es un número huérfano.

• ¿Qué estimador usar y por qué ese?
• ¿Tiene sesgo sistemático?
• ¿Cuánto variaría con otra muestra?
• ¿Qué intervalo lo contiene con 95%?

02 · Definición

Parámetro, estimador y estimado

03 · Método

Protocolo en 5 pasos

1. 1
   Escribir el modelo de observación.

   Ej.: y = 10 + b·t + ruido. Sin modelo de error no hay incerteza posible.

2. 2
   Elegir el estimador por criterio.

   Momentos (simple), mínimos cuadrados (lineal) o máxima verosimilitud (Tema 19, general).

3. 3
   Calcular punto + error estándar.

   θ̂ ± EE. El EE se estima de los residuos o por bootstrap: nunca se inventa.

4. 4
   Dar intervalo (Tema 26).

   θ̂ ± 2·EE ≈ IC 95%. Sin intervalo no hay decisión con riesgo controlado.

5. 5
   Chequear supuestos y sensibilidad.

   ¿Un atípico mueve θ̂? ¿El intervalo cubre en simulación? (Temas 15, 34).

04 · Sesgo y varianza

Los dos enemigos no se compensan gratis

ECM

Sesgo² + varianza: el error total esperado. Un estimador algo sesgado pero estable puede ganar al insesgado ruidoso.

Robustez

¿Un atípico lo voltea? La media no es robusta; la mediana sí (Tema 15). Elegir según los datos.

Identificabilidad

Si dos θ dan el mismo pronóstico (Tema 9), ningún estimador los separa: falta diseño, no fórmula.

05 · Representación en Python

Estimar el balance con mínimos cuadrados

ys = [11.2, 12.1, 12.8, 14.3, 15.1, 16.2]  # t=1..6, b real 1.0
ts = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
num = sum(t*(y-10) for t, y in zip(ts, ys))
den = sum(t*t for t in ts)
b_hat = num/den
res = [(y-10) - b_hat*t for t, y in zip(ts, ys)]
import math
s2 = sum(r*r for r in res)/(len(ys)-1)
ee = math.sqrt(s2/den)
print(f"b̂ = {b_hat:.3f} ± {ee:.3f} (EE) -> IC95 ≈ [{b_hat-2*ee:.2f}, {b_hat+2*ee:.2f}]")

b̂ ≈ 1,03 ± 0,04: el verdadero 1,0 vive dentro del intervalo. Cambiá un y por 30 y mirá cómo el atípico arrastra.

Sesgo de un estimador ingenuo

# Ingenuo: solo usa el último punto
b_ing = (ys[-1]-10)/ts[-1]
print(f"ingenuo: {b_ing:.3f} (varía mucho) vs MC: {b_hat:.3f} (usa todo)")
print("Mismo sesgo ≈ 0, mitad de varianza: eficiencia paga")

06 · Exploración

Laboratorio: cazar el balance verdadero

La realidad usa balance verdadero oculto en la recta verde. Tus datos (puntos) traen ruido y n puntos. La recta lima es tu θ̂ por mínimos cuadrados con banda ±2·EE. Objetivo: que la banda atrape la verde.

Puntos: tus mediciones. Verde: verdad (oculta en la práctica). Lima + banda: tu estimación honesta con incerteza.

Preguntas para explorar

1. Con verdadero 1, n=24 y ruido 1: ¿b̂, EE y atrapa? Repetir mentalmente: ¿atraparía ~95 de cada 100 veces?
2. Subí el ruido a 2,5 sin tocar n: ¿EE y ancho? ¿El punto se vuelve inútil o la banda avisa honestamente?
3. Bajá a n=8 con ruido 1: ¿EE? ¿Qué enseña sobre estimar con pocos datos aunque el método sea correcto?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: estimar y dar intervalo

¿b̂ ± EE con estos 4 puntos?

ts = [1, 2, 3, 4]
ys = [11, 12, 13, 14]
import math
b = sum(t*(y-10) for t, y in zip(ts, ys))/sum(t*t for t in ts)
print("b̂ =", round(b, 3), "(aquí 1.0 exacto, EE ≈ 0)")

Ejercicio 2: ECM de dos estimadores

¿Cuál gana por ECM?

# A: insesgado ruidoso (sesgo 0, var 4). B: sesgado estable (sesgo 1, var 1).
print("ECM A =", 0**2+4, "| ECM B =", 1**2+1, "-> empatan en 4 y 2: gana B")

Ejercicio 3: n para mitad de ancho

¿n para partir el EE a la mitad?

print("EE ~ 1/sqrt(n): 4x datos para mitad de ancho (Temas 27-28)")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema, el estimador rey: máxima verosimilitud.