Máxima verosimilitud

01 · Punto de partida

El parámetro que menos se sorprende

Tirás una moneda 10 veces y salen 7 caras. ¿p = 0,5 o p = 0,7? Con p = 0,7 ese resultado es mucho más probable que con p = 0,3. Máxima verosimilitud elige el θ que maximiza la probabilidad de lo observado.

• ¿Cómo se escribe L(θ) para tu modelo?
• ¿Dónde está su máximo (EMV)?
• ¿Qué tan puntiaguda es la curva (incerreza)?
• ¿Cuándo el EMV falla con poco n?

02 · Definición

Verosimilitud, log y EMV

03 · Método

Protocolo en 5 pasos

1. 1
   Escribir el modelo P(x|θ).

   Bernoulli, Poisson, exponencial: sin modelo no hay L. El modelo se elige por el dato (conteo, espera, proporción).

2. 2
   Formar ℓ(θ) = Σ log P.

   Con n grande trabajar en log evita underflow (productos ínfimos).

3. 3
   Maximizar por grilla o derivada.

   En 1D la grilla fina basta y grafica la curva: el pico es el EMV y el ancho, la incerteza.

4. 4
   Estimar EE por curvatura.

   EE ≈ 1/√(curvatura). Pico filoso = seguro; pico plano = dudoso (Fisher).

5. 5
   Dar IC de Wald.

   θ̂ ± 2·EE ≈ 95%. Con n chico o p en bordes, usar Wilson/exacto en vez de Wald.

04 · Lectura honesta

Curva, bordes y sesgos

L no es P(θ)

L(θ) no integra 1 ni es creencia sobre θ. Para eso hace falta prior (bayesiano): aquí solo ranking de θ.

Invarianza

EMV de g(θ) es g(θ̂). Estimar odds = p̂/(1−p̂) sale gratis del EMV de p.

Sesgo en n chico

El EMV de σ² con /n subestima. Con poco n corregir (Bessel /n−1) o informar el sesgo.

05 · Representación en Python

EMV de una moneda con grilla

k, n = 7, 10
import math
def logL(p):
    return k*math.log(p) + (n-k)*math.log(1-p)

grilla = [round(0.05+0.05*i, 2) for i in range(19)]
mejor = max(grilla, key=logL)
print(f"EMV p̂ = {k}/{n} = {k/n:.2f} (pico en {mejor})")
for p in [0.3, 0.5, 0.7, 0.9]:
    print(f"p={p}: logL={logL(p):.2f}")
ee = math.sqrt(mejor*(1-mejor)/n)
print(f"EE ≈ {ee:.3f} -> IC95 Wald [{mejor-2*ee:.2f}, {mejor+2*ee:.2f}]")

El pico está en 0,70 con IC ≈ [0,41, 0,99]: con n=10 la incerteza es enorme aunque el pico sea claro.

Poisson: el EMV es la media

xs = [4, 6, 5, 7, 3, 5]
lam = sum(xs)/len(xs)
print(f"EMV λ̂ = media = {lam:.2f}")
print("Misma receta: L(λ), log, pico, curvatura")

06 · Exploración

Laboratorio: la curva que elige sola

La moneda real tiene p verdadero (verde). Tirás n veces (semilla fija) y observás k caras. La curva lima es L(p) normalizada; el punto naranja, tu EMV = k/n con banda de Wald ±2·EE. Achicá n y mirá cómo el pico se aplana.

Eje x: p de 0 a 1. Curva: verosimilitud relativa (pico = 1). Verde: verdad. Naranja + banda: tu estimación honesta.

Preguntas para explorar

1. Con p=0,6 y n=40: ¿k, p̂ e IC? ¿Atrapa al verdadero?
2. Bajá a n=10: ¿ancho del IC y forma del pico? ¿El punto sigue valiendo lo mismo?
3. Subí a n=200: ¿pico y banda? ¿Qué le pasa a la diferencia entre EMV y verdad?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: EMV a ojo y con grilla

9 éxitos en 12. ¿p̂ y logL en 0,5 vs. 0,75?

import math
k, n = 9, 12
print("p̂ =", k/n)
for p in [0.5, 0.75]:
    print(p, round(k*math.log(p)+(n-k)*math.log(1-p), 2))

Ejercicio 2: Wald en el borde

10/10 éxitos. ¿Qué pasa con Wald?

p, n = 1.0, 10
import math
ee = math.sqrt(p*(1-p)/n)
print(f"EE={ee:.3f} IC=[{p-2*ee:.2f}, {p+2*ee:.2f}] (degenerado: usar Wilson)")

Ejercicio 3: invarianza gratis

Si p̂ = 0,6, ¿EMV de odds p/(1−p)?

p = 0.6
print("oddŝ =", round(p/(1-p), 2), "(g(p̂) sin reoptimizar)")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo bloque mediremos el error: absoluto, relativo y cuadrático medio.