Varianza muestral

01 · Punto de partida

Misma media, distinto riesgo

Dos configuraciones con espera media 12: una varía 11–13, otra 2–25. La media (Tema 23) empató; la decisión no puede empatar. La varianza muestral distingue la estable de la lotería.

• ¿Cuánto se dispersan las réplicas?
• ¿En qué unidades se informa (s, no s²)?
• ¿Por qué se divide entre n−1?
• ¿Cómo comparar dispersiones entre escalas?

02 · Definición

Varianza, desvío y por qué n−1

Dividir entre n usa x̄ (estimada, no μ) y achica la suma: Bessel lo corrige con n−1. Con poco n la corrección manda.

03 · Método

Protocolo en 5 pasos

1. 1
   Calcular x̄ primero (Tema 23).

   La varianza cuelga de la media: sin x̄ no hay desvío.

2. 2
   Sumar cuadrados con n−1.

   s² = Σ(x−x̄)²/(n−1). Nunca entre n en inferencia (solo en poblacional descriptiva).

3. 3
   Informar s y CV, no solo s².

   s² en litros² no decide; s en litros y CV en % sí.

4. 4
   Alimentar el EE (Tema 23).

   EE = s/√n: sin s honesta no hay intervalo honesto.

5. 5
   Custodiar con robustos.

   IQR y MAD delatan si s está secuestrada por un atípico.

04 · Robustez

Cuando s miente por uno solo

IQR

Q3−Q1: el 50% central. Inmune a extremos; base del boxplot (Tema 40).

MAD

Mediana(|x−mediana|)×1,4826 ≈ s en normal. Robusta y en las mismas unidades.

CV

s/x̄: compara dispersiones relativas. Inútil con media ≈ 0 (explota como el MAPE, Tema 21).

05 · Representación en Python

s², s, CV y el rescate robusto

xs = [11, 13, 12, 14, 12, 13, 11, 12]
import math
n = len(xs)
m = sum(xs)/n
s2 = sum((x-m)**2 for x in xs)/(n-1)
s = math.sqrt(s2)
print(f"s²={s2:.2f} s={s:.2f} CV={s/m:.1%}")
print(f"EE de la media = {s/math.sqrt(n):.2f} (Tema 23)")

s ≈ 1,0, CV ≈ 8%: dispersión contenida. El EE ≈ 0,36: la media es precisa.

s secuestrada vs. MAD libre

xs2 = xs + [100]
m2 = sum(xs2)/len(xs2)
import math
s_b = math.sqrt(sum((x-m2)**2 for x in xs2)/(len(xs2)-1))
med = sorted(xs2)[len(xs2)//2]
mad = sorted([abs(x-med) for x in xs2])[len(xs2)//2]*1.4826
print(f"s={s_b:.1f} vs MAD={mad:.1f}: el intruso manda en s")

06 · Exploración

Laboratorio: dispersión bajo la lupa

Muestras de Normal(12, σ verdadera) con n puntos más un atípico opcional. La banda celeste es x̄ ± s (tuya); la verde punteada, μ ± σ (verdad). Observá s, CV y el duelo s vs. MAD.

Puntos: muestra. Banda celeste: tu x̄ ± s. Verdes punteadas: verdad μ ± σ. Rojo: atípico.

Preguntas para explorar

1. Con σ=2 y n=30: ¿s, CV y EE? Subí a n=120: ¿s cambia o solo el EE? ¿Por qué?
2. Subí σ a 4: ¿s y CV? ¿Qué le pasa al EE aunque n no cambie?
3. Agregá atípico +12: ¿s vs. MAD? ¿La banda celeste sigue honesta?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: s² a mano

¿s² y s de [10, 12, 14]?

import math
x = [10, 12, 14]
m = sum(x)/len(x)
s2 = sum((v-m)**2 for v in x)/(len(x)-1)
print(f"s²={s2:.0f} s={math.sqrt(s2):.0f} (con n daría 2.7: sesgado)")

Ejercicio 2: CV que compara

¿Tanque s=1 en 20 vs. fila s=2 en 10?

print("tanque CV =", 1/20, "| fila CV =", 2/10, "-> la fila varía 4x más")

Ejercicio 3: IQR que custodia

¿s vs. IQR con un 100?

import math
x = [12, 12, 13, 12, 100]
m = sum(x)/len(x)
s = math.sqrt(sum((v-m)**2 for v in x)/(len(x)-1))
print(f"s={s:.1f} IQR≈1: secuestro evidente")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema, el cálculo en vivo: cálculo recursivo de media y varianza.