Método de la secante

01 · Punto de partida

Newton sin una derivada explícita

Newton-Raphson utiliza la pendiente de la tangente f′(xₙ). Si la derivada es difícil de obtener, costosa o no está disponible porque la función proviene de una simulación, podemos aproximarla mediante los dos últimos puntos:

Al sustituir esta pendiente en Newton obtenemos el método de la secante:

El método necesita dos valores iniciales y, después de las dos primeras evaluaciones, utiliza una evaluación nueva de la función por iteración.

02 · Construcción geométrica

Intersección de la recta secante

Dados los puntos (xₙ₋₁,f(xₙ₋₁)) y (xₙ,f(xₙ)), su recta secante tiene pendiente:

La ecuación de la recta desde el segundo punto es:

Al imponer y=0 y despejar x, obtenemos xₙ₊₁. Geométricamente, cada paso reemplaza la curva por la recta que une las dos últimas aproximaciones.

function pasoSecante(f, anterior, actual) {
  const fAnterior = f(anterior);
  const fActual = f(actual);
  const denominador = fActual - fAnterior;

  if (denominador === 0) {
    throw new Error("La secante es horizontal");
  }
  return actual - fActual * ((actual - anterior) / denominador);
}

03 · Procedimiento

El algoritmo paso a paso

1. 1
   Elegir dos valores.

   Definir x₀ y x₁, distintos y dentro del dominio.

2. 2
   Evaluar la función.

   Calcular y conservar f(x₀) y f(x₁).

3. 3
   Construir la secante.

   Verificar que f(x₁)−f(x₀) no sea demasiado pequeño.

4. 4
   Actualizar.

   Calcular la intersección x₂ con el eje horizontal.

5. 5
   Desplazar la memoria.

   Reemplazar (x₀,x₁) por (x₁,x₂).

6. 6
   Comprobar.

   Evaluar cambio, residuo, finitud, ciclos y máximo de iteraciones.

04 · Ejemplo manual

Aproximar √2

Usamos f(x)=x²−2, x₀=1 y x₁=2.

La secuencia no mantiene necesariamente una raíz entre los dos últimos valores, pero converge rápidamente en este ejemplo.

05 · Velocidad asintótica

Convergencia superlineal

Para una raíz simple, una función suficientemente regular y valores iniciales favorables, la secante tiene orden de convergencia:

Este número es la proporción áurea. El método converge más rápido que un proceso lineal, aunque generalmente más lento que la convergencia cuadrática de Newton.

Comparar solo el número de iteraciones puede ser engañoso. Si la derivada es costosa, la secante puede alcanzar una solución en menos tiempo total aunque necesite más pasos que Newton.

06 · Relación con Newton

Derivada exacta o pendiente aproximada

La secante reutiliza f(xₙ₋₁) y f(xₙ). Después de inicializar, solo evalúa la función en el nuevo punto. Esta memoria explica su eficiencia.

07 · Dos usos de la misma recta

Secante y falsa posición no son el mismo método

Ambos calculan la intersección de una secante con el eje, pero actualizan los puntos de manera diferente.

La fórmula del punto puede coincidir en una iteración, pero la historia posterior será distinta porque cada algoritmo conserva puntos diferentes.

08 · Preparar la iteración

Elegir dos valores iniciales

Los valores x₀ y x₁ deben ser distintos y producir valores de función suficientemente diferentes. No es obligatorio que tengan signos opuestos, pero un intervalo explorado previamente aporta contexto y seguridad.

Buenas estrategias:

• usar extremos de un intervalo que aísle una raíz;
• elegir dos muestras cercanas a un cruce observado;
• evitar puntos con valores de función casi iguales;
• respetar el dominio y las restricciones del modelo;
• no separar excesivamente los puntos si la función cambia mucho.

Si x₀ y x₁ están muy juntos, la pendiente puede sufrir cancelación. Si están demasiado separados, la secante puede representar mal la forma local.

09 · Secante casi horizontal

Denominador pequeño

El paso contiene el denominador:

Si ambos valores son iguales o casi iguales, la pendiente de la secante es cero o muy pequeña y el nuevo punto puede quedar extremadamente lejos.

Una comprobación escalada puede comparar:

function denominadorUtil(fAnterior, fActual, tolerancia = 1e-14) {
  const diferencia = Math.abs(fActual - fAnterior);
  const escala = Math.max(1, Math.abs(fAnterior), Math.abs(fActual));
  return diferencia > tolerancia * escala;
}

El umbral debe adaptarse al problema. Rechazar el paso permite cambiar valores, aplicar bisección o finalizar con un diagnóstico claro.

10 · Dinámicas problemáticas

Divergencia, ciclos y salida del dominio

Como método abierto, la secante no impide que xₙ₊₁ salga de una región razonable. Un límite de paso o un intervalo protector puede mejorar su robustez.

11 · Criterios de finalización

Comprobar cambio y residuo

Una política conservadora exige simultáneamente:

También debemos controlar:

• máximo de iteraciones y evaluaciones;
• denominador pequeño;
• valores no finitos;
• estancamiento xₙ₊₁===xₙ;
• ciclos cortos y crecimiento excesivo.

Un cambio pequeño puede deberse a redondeo o a una secante degenerada, por lo que el residuo es indispensable.

12 · Código reutilizable

Implementación robusta en JavaScript

function secante(funcion, x0, x1, opciones = {}) {
  const {
    toleranciaAbsoluta = 1e-12,
    toleranciaRelativa = 1e-9,
    toleranciaResiduo = 1e-10,
    toleranciaDenominador = 1e-14,
    maxIteraciones = 100,
    guardarHistorial = false
  } = opciones;

  if (!Number.isFinite(x0) || !Number.isFinite(x1) || x0 === x1) {
    throw new Error("Se requieren dos valores iniciales finitos y distintos");
  }
  if (!Number.isInteger(maxIteraciones) || maxIteraciones < 1) {
    throw new Error("El máximo debe ser un entero positivo");
  }

  let anterior = x0;
  let actual = x1;
  let fAnterior = funcion(anterior);
  let fActual = funcion(actual);
  const historial = [];

  if (!Number.isFinite(fAnterior) || !Number.isFinite(fActual)) {
    throw new Error("La función no es finita en los valores iniciales");
  }
  if (Math.abs(fAnterior) <= toleranciaResiduo) {
    return resultado(anterior, true, "primer_inicial", 0);
  }
  if (Math.abs(fActual) <= toleranciaResiduo) {
    return resultado(actual, true, "segundo_inicial", 0);
  }

  for (let iteracion = 1; iteracion <= maxIteraciones; iteracion++) {
    const denominador = fActual - fAnterior;
    const escala = Math.max(1, Math.abs(fActual), Math.abs(fAnterior));

    if (!Number.isFinite(denominador)
        || Math.abs(denominador) <= toleranciaDenominador * escala) {
      return resultado(actual, false, "secante_invalida",
        iteracion - 1, { residuo: Math.abs(fActual), historial });
    }

    const siguiente = actual
      - fActual * ((actual - anterior) / denominador);
    const fSiguiente = funcion(siguiente);
    const cambio = Math.abs(siguiente - actual);
    const limite = toleranciaAbsoluta
      + toleranciaRelativa * Math.abs(siguiente);

    if (guardarHistorial) {
      historial.push({ iteracion, anterior, actual, siguiente,
        fAnterior, fActual, fSiguiente, cambio });
    }
    if (!Number.isFinite(siguiente) || !Number.isFinite(fSiguiente)) {
      return resultado(siguiente, false, "valor_no_finito",
        iteracion, { cambio, residuo: Math.abs(fSiguiente), historial });
    }
    if (cambio <= limite && Math.abs(fSiguiente) <= toleranciaResiduo) {
      return resultado(siguiente, true, "tolerancias",
        iteracion, { cambio, residuo: Math.abs(fSiguiente), historial });
    }
    if (siguiente === actual) {
      return resultado(siguiente, false, "estancamiento",
        iteracion, { cambio, residuo: Math.abs(fSiguiente), historial });
    }
    if (siguiente === anterior) {
      return resultado(siguiente, false, "ciclo_periodo_2",
        iteracion, { cambio, residuo: Math.abs(fSiguiente), historial });
    }

    anterior = actual;
    fAnterior = fActual;
    actual = siguiente;
    fActual = fSiguiente;
  }

  return resultado(actual, false, "maximo_iteraciones",
    maxIteraciones, { residuo: Math.abs(fActual), historial });
}

function resultado(valor, convergio, motivo, iteraciones, datos = {}) {
  return { valor, convergio, motivo, iteraciones, ...datos };
}

La función conserva evaluaciones previas para no repetir cálculos y devuelve diagnósticos en lugar de ocultar los fallos.

13 · Mejorar la robustez

Secante amortiguada e híbrida

Podemos limitar el paso o combinar la secante con un intervalo protector:

1. proponer xₙ₊₁ mediante secante;
2. rechazarlo si no es finito, sale del intervalo o resulta demasiado grande;
3. usar bisección como alternativa segura;
4. actualizar el intervalo por signos;
5. conservar los puntos más informativos para la próxima interpolación.

Otra posibilidad es amortiguar el paso:

Las bibliotecas numéricas suelen utilizar métodos híbridos más sofisticados, como Brent, que combinan bisección, secante e interpolación cuadrática inversa.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: seguir las rectas secantes

Elegí una función, dos valores iniciales y una cantidad de actualizaciones. El gráfico muestra cada secante y su intersección con el eje.

Preguntas para explorar

1. Para x²−2, acercá entre sí los valores iniciales. ¿Cómo cambia el primer paso?
2. En la función difícil, probá x₀=0 y x₁=1.
3. Compará una raíz simple con (x−1)³.
4. Buscá dos valores que produzcan alturas casi iguales y observá el diagnóstico.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: primer paso

Aplicá un paso de secante a f(x)=x²−3 con x₀=1 y x₁=2.

Ejercicio 2: siguiente aproximación

Continuá el ejercicio anterior usando x₁=2 y x₂=5/3.

Ejercicio 3: secante inválida

¿Qué ocurre al usar f(x)=x² con x₀=−1 y x₁=1?

Ejercicio 4: costo

Si evaluar f cuesta 20 ms y evaluar f′ cuesta 30 ms, compará el costo de diez iteraciones de Newton y secante después de inicializar.

Ejercicio 5: limitar el paso

Escribí una función que limite la magnitud de una propuesta de secante a pasoMaximo.

function limitarPaso(actual, propuesta, pasoMaximo) {
  if (!(pasoMaximo > 0)) {
    throw new Error("El paso máximo debe ser positivo");
  }
  const paso = propuesta - actual;
  if (Math.abs(paso) <= pasoMaximo) return propuesta;
  return actual + Math.sign(paso) * pasoMaximo;
}

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema compararemos todos los métodos para raíces, sus costos, garantías, velocidades y estrategias híbridas para elegir una solución robusta.