Comparación de métodos para raíces

01 · Decidir antes de iterar

No existe un método mejor para todos los problemas

Todos los métodos estudiados buscan un número r tal que f(r)=0, pero no utilizan la misma información ni ofrecen las mismas garantías. Bisección privilegia la seguridad; Newton, la velocidad local; secante evita calcular derivadas; y falsa posición combina un intervalo protector con interpolación lineal.

Elegir correctamente requiere responder cuatro preguntas:

1. ¿Existe un intervalo continuo con cambio de signo?
2. ¿Podemos evaluar una derivada confiable y a un costo razonable?
3. ¿Cuánto cuesta cada evaluación de f?
4. ¿Necesitamos una garantía o aceptamos un método que puede fallar?

02 · Clasificación

Métodos acotados y métodos abiertos

«Abierto» no significa incorrecto y «acotado» no significa siempre rápido. La clasificación expresa qué invariante mantiene el algoritmo durante el cálculo.

03 · Panorama general

Comparación de los cuatro métodos

04 · Trabajo computacional

Iteraciones no es lo mismo que costo

Un conteo justo separa evaluaciones de función, evaluaciones de derivada y operaciones auxiliares. Una estimación sencilla es:

Si f ejecuta una simulación de varios segundos, ahorrar evaluaciones es decisivo. Si f′ se obtiene casi gratis mediante una expresión analítica o diferenciación automática, Newton puede resultar muy competitivo.

Esta tabla no determina al ganador: cada método puede necesitar una cantidad distinta de pasos. Conviene medir tiempo, evaluaciones y precisión alcanzada.

05 · Convergencia

Qué significa lineal, superlineal y cuadrática

Sea eₙ=|xₙ−r| el error respecto de una raíz r. Un método tiene orden p si, asintóticamente,

Lineal: p=1

El error se reduce aproximadamente por un factor constante. Bisección divide por dos la longitud del intervalo.

Superlineal: p≈1.618

La secante acelera al acercarse a una raíz simple sin evaluar una derivada.

Cuadrática: p=2

Newton puede duplicar aproximadamente la cantidad de cifras correctas por paso cerca de una raíz simple.

Raíces múltiples

La multiplicidad puede degradar la velocidad de Newton y secante hasta una convergencia lineal.

Una fase inicial irregular puede preceder al régimen asintótico. Por eso no debemos estimar el orden usando únicamente las primeras iteraciones.

06 · Hipótesis

Qué garantiza realmente cada algoritmo

Bisección y falsa posición

Si f es continua en [a,b] y f(a)f(b)<0, el teorema del valor intermedio garantiza al menos una raíz dentro del intervalo. Al actualizar por signos se conserva ese encierro.

Newton y secante

Sus resultados de convergencia suponen proximidad a una raíz simple, regularidad de la función y pendientes adecuadas. Lejos de la raíz pueden oscilar, divergir o llegar a otro cero.

07 · Diagnóstico común

Comparar con el mismo criterio de parada

Para evitar una competencia sesgada, todos los métodos deben usar tolerancias equivalentes y el mismo presupuesto máximo. Es recomendable combinar:

• Residuo: mide qué tan bien satisface la aproximación la ecuación.
• Cambio relativo: detecta que las aproximaciones dejaron de variar significativamente.
• Ancho del intervalo: proporciona una cota geométrica en métodos acotados.
• Presupuesto: impide ciclos o ejecuciones indefinidas.

Un cambio pequeño sin residuo pequeño puede indicar estancamiento. Un residuo pequeño tampoco implica siempre un error pequeño si la función es muy plana.

08 · Escenarios difíciles

Mapa de fallos frecuentes

09 · Selección práctica

Árbol de decisión

1. 1
   ¿Hay un intervalo con cambio de signo?

   Si lo hay y la garantía importa, comenzar con bisección o un híbrido acotado.

2. 2
   ¿La derivada es confiable y económica?

   Usar Newton cerca de la raíz, preferentemente protegido por el intervalo.

3. 3
   ¿Solo podemos evaluar f?

   Secante es atractiva si contamos con dos aproximaciones razonables; falsa posición conserva la protección del intervalo.

4. 4
   ¿La función es una caja negra costosa?

   Registrar y reutilizar evaluaciones. Comparar por llamadas a la función, no solo por iteraciones.

5. 5
   ¿El problema es crítico?

   Validar dominio, finitud, residuo, intervalo, estancamiento y presupuesto; devolver un estado explícito.

10 · Lo mejor de dos familias

Newton protegido por bisección

Un método híbrido mantiene [a,b] con signos opuestos y propone un paso rápido desde el punto actual. Si la propuesta de Newton no es finita, usa una derivada pequeña o cae fuera del intervalo, se reemplaza por el punto medio.

function newtonProtegido(f, df, a, b, tolerancia = 1e-10, maxIter = 100) {
  let fa = f(a);
  let fb = f(b);
  if (!Number.isFinite(fa) || !Number.isFinite(fb) || fa * fb >= 0) {
    throw new Error("Se requiere un intervalo finito con cambio de signo");
  }

  let x = (a + b) / 2;
  let fx = f(x);
  let evaluaciones = 3;

  for (let iteracion = 1; iteracion <= maxIter; iteracion++) {
    if (Math.abs(fx) <= tolerancia || (b - a) / 2 <= tolerancia) {
      return { raiz: x, iteraciones: iteracion - 1, evaluaciones,
        convergio: true, motivo: "tolerancia" };
    }

    const pendiente = df(x);
    let propuesta = x - fx / pendiente;
    const newtonValido = Number.isFinite(pendiente)
      && Math.abs(pendiente) > 1e-14
      && Number.isFinite(propuesta)
      && propuesta > a && propuesta < b;

    if (!newtonValido) propuesta = (a + b) / 2;
    const fPropuesta = f(propuesta);
    evaluaciones++;

    if (fa * fPropuesta <= 0) {
      b = propuesta;
      fb = fPropuesta;
    } else {
      a = propuesta;
      fa = fPropuesta;
    }
    x = propuesta;
    fx = fPropuesta;
  }
  return { raiz: x, iteraciones: maxIter, evaluaciones,
    convergio: false, motivo: "max_iter" };
}

const resultado = newtonProtegido(x => x * x - 2, x => 2 * x, 0, 2);
console.log(resultado);

Brent lleva esta idea más lejos: combina bisección, secante e interpolación cuadrática inversa con reglas cuidadosas de aceptación. Es una elección general muy utilizada cuando hay un intervalo válido y no se dispone de derivadas.

11 · Diseño de software

Una interfaz común para comparar resultados

En un programa real, todos los solucionadores deberían devolver la misma clase de diagnóstico. Así el código cliente no depende de mensajes informales ni confunde una aproximación con una solución confirmada.

// Contrato recomendado para cualquier solucionador de raíces.
function crearResultado({ metodo, raiz, residuo, iteraciones,
  evaluacionesF, evaluacionesDF = 0, convergio, motivo, historial = [] }) {
  return {
    metodo,
    raiz,
    residuo,
    iteraciones,
    evaluaciones: { funcion: evaluacionesF, derivada: evaluacionesDF },
    convergio,
    motivo,       // "residuo", "intervalo", "max_iter", "paso_invalido"...
    historial
  };
}

function costoEstimado(resultado, costoF, costoDF = 0) {
  return resultado.evaluaciones.funcion * costoF
    + resultado.evaluaciones.derivada * costoDF;
}

const ejemplo = crearResultado({
  metodo: "biseccion", raiz: 1.4142135624, residuo: 1.1e-10,
  iteraciones: 34, evaluacionesF: 36, convergio: true,
  motivo: "intervalo"
});
console.log(costoEstimado(ejemplo, 20), "ms estimados");

El historial es opcional, pero resulta útil para gráficos, auditoría, pruebas y análisis de convergencia.

12 · Experimentos reproducibles

Cómo realizar una comparación justa

1. Utilizar el mismo problema, precisión objetivo y límite de iteraciones.
2. Declarar los puntos o intervalos iniciales; forman parte del experimento.
3. Contar por separado evaluaciones de f y f′.
4. Registrar residuo, cambio, ancho del intervalo y motivo de terminación.
5. Repetir con funciones suaves, planas, mal escaladas y con varias raíces.
6. No excluir los fallos: la tasa de éxito también es una métrica.

function medir(ejecutar, repeticiones = 100) {
  const tiempos = [];
  let ultimoResultado;

  for (let i = 0; i < repeticiones; i++) {
    const inicio = performance.now();
    ultimoResultado = ejecutar();
    tiempos.push(performance.now() - inicio);
  }
  tiempos.sort((a, b) => a - b);
  return {
    medianaMs: tiempos[Math.floor(tiempos.length / 2)],
    resultado: ultimoResultado
  };
}

// En cálculos muy rápidos, repetir reduce el efecto del ruido del reloj.
console.log(medir(() => Math.sqrt(2), 1000));

Para funciones costosas o con efectos externos, puede no ser correcto repetir. En ese caso conviene instrumentar una única ejecución controlada.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: cuatro métodos, una misma tolerancia

Elegí una función y modificá la tolerancia o el presupuesto. El gráfico representa log₁₀|f(xₙ)|: una curva que baja más rápido reduce antes el residuo. Las evaluaciones iniciales también se cuentan.

Preguntas para explorar

1. Reducí la tolerancia. ¿Qué método aumenta más su cantidad de iteraciones?
2. Probá la raíz múltiple. ¿Newton conserva su velocidad cuadrática?
3. Limitá el cálculo a cinco pasos. ¿Qué diagnósticos cambian?
4. Compará iteraciones con evaluaciones: Newton utiliza una derivada por paso.

14 · Caso de aplicación

Calibrar un parámetro de una simulación

Supongamos que una simulación devuelve una temperatura final T(k) y buscamos k tal que T(k)=80. Definimos f(k)=T(k)−80.

• Si sabemos que f(0.1)<0 y f(2)>0, existe un intervalo útil.
• Si cada simulación tarda varios segundos, debemos reutilizar todas las evaluaciones.
• Una derivada por diferencias finitas puede exigir simulaciones adicionales y contener ruido.
• Un método acotado o Brent es una opción robusta; secante puede ser útil con un buen par inicial.

La decisión nace de la estructura del problema, no de una tabla abstracta de velocidades. El método más rápido por iteración puede no ser el más rápido ni el más confiable en tiempo real.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: selección con garantía

Se conoce un intervalo continuo con cambio de signo y el resultado debe estar certificado. ¿Qué método básico elegirías?

Ejercicio 2: costo de evaluaciones

Newton usa 6 evaluaciones de f y 6 de f′; secante usa 9 de f. Si Cf=10 ms y Cf′=8 ms, ¿cuál tiene menor costo estimado?

Ejercicio 3: cota de bisección

¿Cuántas bisecciones garantizan que un intervalo inicial de longitud 4 tenga longitud no mayor que 10⁻⁶?

Ejercicio 4: raíz sin cambio de signo

¿Por qué bisección no detecta directamente la raíz de f(x)=(x−2)² usando [1,3]?

Ejercicio 5: política híbrida

Escribí una función que acepte una propuesta rápida solo si es finita y pertenece al intervalo abierto (a,b); en caso contrario debe devolver el punto medio.

function protegerPropuesta(propuesta, a, b) {
  if (Number.isFinite(propuesta) && propuesta > a && propuesta < b) {
    return { x: propuesta, origen: "paso_rapido" };
  }
  return { x: a + (b - a) / 2, origen: "biseccion" };
}

console.log(protegerPropuesta(10, 1, 2));

17 · Síntesis

Ideas para recordar

Con este tema cerramos la búsqueda de raíces escalares. En el próximo tema comenzaremos a resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante eliminación de Gauss y sustitución regresiva.