Interpolación y aproximación de datos

01 · El problema

Conocemos algunos puntos, no toda la función

Un sensor mide una temperatura cada hora, una animación define posiciones en instantes clave y una simulación costosa produce resultados para unos pocos parámetros. En todos estos casos conocemos pares:

pero necesitamos estimar un valor para otro x. La interpolación y la aproximación transforman esas muestras discretas en una regla que puede evaluarse entre los datos.

02 · Vocabulario

Nodos, valores y función aproximante

Nodo xᵢ

Valor de la variable independiente donde existe una muestra.

Dato yᵢ

Valor observado, calculado o medido en el nodo.

Conjunto de datos

Colección de pares ordenados (xᵢ,yᵢ).

Aproximante g(x)

Función construida para representar o estimar los datos.

Los nodos deben distinguirse de los índices del arreglo. El índice i identifica una muestra; xᵢ puede ser cualquier número real y los espacios entre nodos no tienen que ser uniformes.

03 · Coincidencia exacta

Qué significa interpolar

Una función interpolante p(x) debe reproducir cada dato:

Por lo tanto, su error en los nodos es cero, salvo efectos de redondeo. Entre los nodos, diferentes familias de funciones pueden generar curvas distintas aunque todas atraviesen las mismas muestras.

Interpolar es apropiado cuando:

• los datos se consideran exactos o suficientemente confiables;
• se necesita continuidad entre valores tabulados;
• pasar por cada muestra forma parte del requisito;
• la estimación se realiza principalmente dentro del intervalo observado.

04 · Representar una tendencia

Ajustar no exige pasar por todos los puntos

Cuando las mediciones contienen ruido, obligar a la curva a reproducir cada fluctuación puede ser contraproducente. Un ajuste busca una función g(x) que se acerque a los datos según un criterio global.

Un criterio frecuente es minimizar la suma de cuadrados:

La recta, parábola o curva ajustada puede no atravesar ningún punto exactamente, pero describir mejor la relación subyacente y generalizar mejor a nuevas observaciones.

05 · Elegir el objetivo

Interpolar frente a ajustar

Ninguna alternativa es universalmente superior. La elección depende de qué representan los datos y de qué uso tendrá el modelo.

06 · Existencia y unicidad

Un polinomio para n+1 puntos

Dados n+1 nodos distintos, existe un único polinomio de grado menor o igual que n que interpola todos los datos.

Imponer p(xᵢ)=yᵢ produce un sistema lineal para los coeficientes. La unicidad matemática no significa que esa sea siempre la representación más estable o apropiada.

Un polinomio global de grado alto puede oscilar intensamente, especialmente cerca de los extremos y con nodos uniformemente espaciados. Más puntos no garantizan automáticamente una mejor interpolación global.

07 · Alcance del modelo

Aproximaciones globales y locales

Los modelos locales suelen ser más fáciles de actualizar y controlar. Los globales pueden aprovechar relaciones suaves que abarcan todo el dominio.

08 · Dentro y fuera

Interpolación no es extrapolación

Interpolación

Estima para x situado entre el menor y el mayor nodo disponible.

Extrapolación

Estima fuera del intervalo observado y prolonga una tendencia sin datos que la respalden.

La extrapolación es generalmente más riesgosa. Dos funciones casi idénticas dentro del intervalo pueden separarse con rapidez fuera de él.

09 · Preparar las muestras

Orden, duplicados, faltantes y ruido

Antes de construir una función es necesario revisar los datos:

• Nodos desordenados: pueden ordenarse conservando cada par (x,y).
• Nodos duplicados: dos valores distintos de y para el mismo x impiden una interpolación como función ordinaria.
• Valores no finitos: NaN e infinitos deben rechazarse o tratarse previamente.
• Datos faltantes: no deben convertirse silenciosamente en cero.
• Ruido y valores atípicos: pueden volver inconveniente la coincidencia exacta.

function prepararPuntos(puntos) {
  if (!Array.isArray(puntos) || puntos.length < 2) {
    throw new Error("Se necesitan al menos dos puntos");
  }
  const copia = puntos.map(({ x, y }) => {
    if (!Number.isFinite(x) || !Number.isFinite(y)) {
      throw new Error("Cada coordenada debe ser finita");
    }
    return { x, y };
  }).sort((a, b) => a.x - b.x);

  for (let i = 1; i < copia.length; i++) {
    if (copia[i].x === copia[i - 1].x) {
      throw new Error(`Nodo duplicado: x=${copia[i].x}`);
    }
  }
  return copia;
}

console.log(prepararPuntos([{ x: 2, y: 5 }, { x: 0, y: 1 }]));

10 · De dónde surge la diferencia

Fuentes de error

El error cero en los nodos no demuestra que el modelo sea correcto entre ellos. Para evaluar la calidad se necesitan conocimiento del fenómeno, cotas teóricas o datos de validación adicionales.

11 · Decisión práctica

Qué preguntar antes de elegir un método

1. 1
   ¿Los datos son exactos?

   Si contienen ruido, considerar ajuste o suavizado.

2. 2
   ¿Debe pasar por cada punto?

   Si la respuesta es sí, necesitamos una interpolación.

3. 3
   ¿Se requiere suavidad?

   Una recta por tramos es continua, pero cambia bruscamente de pendiente en los nodos.

4. 4
   ¿Cuántos datos existen?

   Un polinomio global de grado muy alto puede ser inestable.

5. 5
   ¿Dónde se evaluará?

   Dentro del intervalo es interpolación; fuera, extrapolación.

6. 6
   ¿Los datos cambiarán?

   Los métodos locales o incrementales pueden ser más fáciles de actualizar.

12 · Diseño para programación

Separar construcción y evaluación

Una buena interfaz construye el modelo una sola vez y devuelve una función que puede evaluarse muchas veces. Este ejemplo introductorio usa segmentos rectos:

function crearInterpoladorLineal(puntos) {
  const datos = [...puntos].sort((a, b) => a.x - b.x);
  if (datos.length < 2) throw new Error("Faltan puntos");

  return function evaluar(x) {
    let i = 0;
    while (i < datos.length - 2 && x > datos[i + 1].x) i++;
    const p = datos[i];
    const q = datos[i + 1];
    if (q.x === p.x) throw new Error("Nodos duplicados");
    const t = (x - p.x) / (q.x - p.x);
    return p.y + t * (q.y - p.y);
  };
}

const temperatura = crearInterpoladorLineal([
  { x: 10, y: 18 }, { x: 12, y: 24 }, { x: 14, y: 27 }
]);
console.log(temperatura(11)); // 21

Esta implementación extrapola usando el primer o último segmento. En una API real conviene permitir que el usuario elija entre extrapolar, limitarse al intervalo o lanzar un error.

13 · Contextos de uso

Dónde aparece la interpolación

La familia adecuada cambia con el objetivo: una animación puede priorizar suavidad, mientras una tabla termodinámica puede priorizar precisión y preservación de forma.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: coincidencia exacta o tendencia

Compará una interpolación lineal por tramos con una recta de mínimos cuadrados. Mové el punto de consulta dentro y fuera del intervalo observado.

Preguntas para explorar

1. Elegí datos lineales con ruido. ¿Qué modelo representa mejor la tendencia?
2. En el conjunto con un dato atípico, observá su influencia sobre la recta.
3. Mové x fuera de [0,5]. ¿Por qué cambia la etiqueta de la región?
4. En un nodo, verificá que la interpolación reproduzca exactamente el dato.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: clasificar el objetivo

Una tabla contiene valores calculados con gran precisión y la función debe reproducirlos exactamente. ¿Interpolar o ajustar?

Ejercicio 2: datos ruidosos

Un sensor entrega cien mediciones con pequeñas fluctuaciones aleatorias. ¿Por qué un polinomio de grado 99 puede ser una mala elección?

Ejercicio 3: interpolación o extrapolación

Los nodos abarcan [2,8]. Clasificá estimaciones en x=5, x=2 y x=10.

Ejercicio 4: duplicados

¿Puede una función ordinaria interpolar simultáneamente (3,5) y (3,8)?

Ejercicio 5: región de consulta

Implementá una función que indique si un valor se encuentra dentro, en el borde o fuera del intervalo de nodos.

function clasificarConsulta(nodos, x) {
  const minimo = Math.min(...nodos);
  const maximo = Math.max(...nodos);
  if (x < minimo || x > maximo) return "extrapolación";
  if (x === minimo || x === maximo) return "borde";
  return "interpolación";
}

console.log(clasificarConsulta([2, 4, 8], 10)); // extrapolación

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos la interpolación lineal y polinómica, sus fórmulas, implementación y error.