Interpolación lineal y polinómica

01 · Dos escalas

Una recta local o un polinomio global

Dados varios puntos, podemos conectar cada par consecutivo mediante segmentos o construir un único polinomio que atraviese todos los nodos.

02 · Dos nodos

La recta interpolante

Para los puntos (x₀,y₀) y (x₁,y₁), con x₀≠x₁, la pendiente es:

La forma punto-pendiente produce:

Si x=x₀, el segundo término se anula y obtenemos y₀. Si x=x₁, el factor es uno y obtenemos y₁.

La fórmula no requiere que x sea el punto medio: funciona en cualquier posición del segmento y también puede prolongarse fuera de él, aunque entonces realiza extrapolación.

03 · Coordenada normalizada

Interpretar la interpolación mediante t

Definimos una coordenada relativa:

La recta puede escribirse como una combinación ponderada:

t=0

Estamos exactamente en el primer nodo y obtenemos y₀.

t=1

Estamos en el segundo nodo y obtenemos y₁.

0<t<1

La estimación está entre ambos valores: es interpolación.

t<0 o t>1

La recta se prolonga fuera del segmento: es extrapolación.

Esta misma idea aparece en animaciones, mezclas de colores, transiciones y gráficos bajo nombres como lerp.

04 · Ejemplo

Estimar una temperatura

A las 10:00 se midieron 18 °C y a las 12:00, 24 °C. Para las 11:30:

La estimación es 22.5 °C. Esto supone que la temperatura cambió a velocidad constante durante esas dos horas.

function interpolarLineal(x0, y0, x1, y1, x) {
  if (![x0, y0, x1, y1, x].every(Number.isFinite)) {
    throw new Error("Todos los valores deben ser finitos");
  }
  if (x0 === x1) throw new Error("Los nodos deben ser distintos");
  const t = (x - x0) / (x1 - x0);
  return y0 + t * (y1 - y0);
}

console.log(interpolarLineal(10, 18, 12, 24, 11.5)); // 22.5

05 · Varios datos

Interpolación lineal por tramos

Con nodos ordenados x₀<x₁<…<xₙ, una consulta dentro del intervalo pertenece a un tramo [xᵢ,xᵢ₊₁]. Aplicamos la fórmula lineal únicamente a esos dos puntos.

1. 1
   Ordenar y validar.

   Conservar pares y rechazar nodos duplicados.

2. 2
   Localizar el tramo.

   Usar búsqueda lineal para pocos datos o búsqueda binaria para muchos.

3. 3
   Normalizar.

   Calcular t=(x−xᵢ)/(xᵢ₊₁−xᵢ).

4. 4
   Combinar.

   Evaluar (1−t)yᵢ+tyᵢ₊₁.

La función resultante es continua: los segmentos comparten el mismo valor en cada nodo. No suele ser derivable allí porque las pendientes vecinas pueden ser diferentes.

06 · Implementación local

Encontrar el intervalo con búsqueda binaria

function interpoladorPorTramos(puntos) {
  const datos = puntos.map(p => ({ ...p })).sort((a, b) => a.x - b.x);
  if (datos.length < 2) throw new Error("Se requieren al menos dos puntos");
  for (let i = 1; i < datos.length; i++) {
    if (datos[i].x === datos[i - 1].x) throw new Error("Nodo duplicado");
  }

  return x => {
    let izquierda = 0;
    let derecha = datos.length - 2;
    if (x <= datos[0].x) derecha = 0;
    else if (x >= datos.at(-1).x) izquierda = derecha;
    else {
      while (izquierda < derecha) {
        const medio = Math.floor((izquierda + derecha + 1) / 2);
        if (datos[medio].x <= x) izquierda = medio;
        else derecha = medio - 1;
      }
    }
    const p = datos[izquierda];
    const q = datos[izquierda + 1];
    const t = (x - p.x) / (q.x - p.x);
    return p.y + t * (q.y - p.y);
  };
}

const f = interpoladorPorTramos([
  { x: 0, y: 1 }, { x: 2, y: 5 }, { x: 5, y: 2 }
]);
console.log(f(3)); // 4

La política del ejemplo extrapola con el segmento extremo. Otra API podría rechazar consultas exteriores o limitar el resultado al nodo más cercano.

07 · Precisión local

Error de la interpolación lineal

Si f posee segunda derivada continua, para algún punto ξ del intervalo:

Si |f″(x)|≤M y h=x₁−x₀, entonces:

La recta es exacta para cualquier función lineal, porque su segunda derivada es cero. En funciones curvas, reducir a la mitad la separación h puede reducir aproximadamente el error máximo por un factor de cuatro.

08 · Más de dos nodos

El polinomio interpolante

Para n+1 nodos distintos buscamos:

y exigimos pₙ(xᵢ)=yᵢ. Hay n+1 condiciones para n+1 coeficientes, y existe una única solución.

El grado real puede ser menor que n. Por ejemplo, si todos los datos pertenecen a una recta, los coeficientes de mayor grado resultan cero.

09 · Sistema de coeficientes

La matriz de Vandermonde

Al imponer las condiciones de interpolación obtenemos:

Esta matriz se denomina Vandermonde. Su determinante es:

Si los nodos son distintos, ningún factor es cero y el sistema tiene solución única. Sin embargo, la base de potencias puede estar muy mal condicionada cuando el grado aumenta o los nodos tienen escalas desfavorables.

10 · Tres puntos

Construir una parábola interpolante

Dados (0,1), (1,2) y (2,5), proponemos:

Las condiciones producen:

La solución es a₀=1, a₁=0 y a₂=1:

Así, p₂(1.5)=3.25. El polinomio pasa exactamente por los tres datos y proporciona valores intermedios suaves.

11 · Error global

Resto de la interpolación polinómica

Si f posee suficientes derivadas, el error en un punto x puede escribirse como:

La fórmula separa dos influencias:

• la derivada de orden n+1, que mide el comportamiento de la función;
• el producto de distancias a los nodos, que depende de su ubicación.

El error es cero en cada nodo porque uno de los factores (x−xᵢ) se anula. Entre nodos, la distribución elegida puede aumentar o reducir mucho el producto.

12 · Grado alto

Fenómeno de Runge y elección de nodos

La función:

es suave, pero sus polinomios interpolantes sobre muchos nodos uniformes pueden oscilar fuertemente cerca de −1 y 1. Este comportamiento se conoce como fenómeno de Runge.

Algunas respuestas posibles son:

• usar interpolación por tramos en lugar de un polinomio global;
• emplear splines de bajo grado;
• distribuir nodos más densamente cerca de los extremos, como los nodos de Chebyshev;
• reducir el grado o trabajar por subintervalos;
• usar una representación numéricamente estable del mismo polinomio.

Aumentar la cantidad de nodos uniformes puede empeorar el máximo error, aunque la curva siga atravesando todos ellos.

13 · Programación eficiente

Evaluar coeficientes con Horner

Si ya conocemos los coeficientes en base de potencias, no conviene calcular cada potencia por separado. El esquema de Horner reagrupa:

function horner(coeficientes, x) {
  if (coeficientes.length === 0) throw new Error("Faltan coeficientes");
  let resultado = coeficientes.at(-1);
  for (let i = coeficientes.length - 2; i >= 0; i--) {
    resultado = resultado * x + coeficientes[i];
  }
  return resultado;
}

// p(x) = 1 + x²; coeficientes en orden creciente.
console.log(horner([1, 0, 1], 1.5)); // 3.25

Horner necesita n multiplicaciones y n sumas para un polinomio de grado n. Aun así, una representación alternativa puede ser preferible a formar los coeficientes monomiales mediante Vandermonde.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: local contra global

Elegí una función, cambiá la cantidad de nodos uniformes y mové la consulta. La curva dorada es lineal por tramos; la turquesa es el polinomio global calculado resolviendo el sistema de Vandermonde.

Preguntas para explorar

1. En Runge, aumentá hasta once nodos y observá cerca de x=0.9.
2. En la función cuadrática, ¿cuántos nodos necesita el polinomio para ser exacto?
3. En valor absoluto, compará el comportamiento alrededor del punto no derivable.
4. Mové la consulta sobre un nodo: ambos errores deberían ser prácticamente cero.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: interpolación lineal

Interpolá en x=4 entre (2,10) y (5,22).

Ejercicio 2: interpolar o extrapolar

Para los mismos puntos, ¿qué representa evaluar en x=7?

Ejercicio 3: grado máximo

¿Cuál es el grado máximo del polinomio determinado por seis nodos distintos?

Ejercicio 4: cota lineal

Si |f″|≤4 y los nodos están separados por h=0.2, calculá la cota Mh²/8.

Ejercicio 5: verificar nodos

Implementá una función que calcule el mayor error del polinomio en los nodos.

function errorEnNodos(puntos, evaluar) {
  return Math.max(...puntos.map(({ x, y }) =>
    Math.abs(y - evaluar(x))
  ));
}

const puntos = [{ x: 0, y: 1 }, { x: 1, y: 2 }, { x: 2, y: 5 }];
const p = x => 1 + x * x;
console.log(errorEnNodos(puntos, p)); // 0

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema construiremos el mismo polinomio mediante las bases de Lagrange, sin resolver explícitamente el sistema de Vandermonde.