Derivadas de orden superior y extrapolación

01 · Más allá de la pendiente

Curvatura y precisión adicional

La primera derivada describe una rapidez de cambio. La segunda derivada mide cómo cambia esa rapidez: aparece como aceleración, curvatura, concavidad y difusión. Derivadas aún mayores intervienen en modelos de elasticidad, análisis de estabilidad y estimaciones de error.

También podemos mejorar una derivada de primer orden combinando más puntos o resultados calculados con distintos pasos. Ambas ideas nacen del mismo principio: elegir coeficientes que cancelen términos no deseados de Taylor.

02 · Curvatura con tres puntos

La diferencia central de segunda derivada

Sumamos las expansiones de Taylor de f(x+h) y f(x−h). Los términos impares se cancelan:

Al despejar:

El error de truncamiento es de segundo orden:

La combinación 1,−2,1 mide cuánto se aparta el valor central del promedio de sus vecinos. Para una recta da cero; para una curva detecta concavidad.

03 · Mayor orden

Plantillas centrales de cinco puntos

Con muestras en x−2h, x−h, x, x+h y x+2h podemos cancelar más términos de Taylor.

Para la primera derivada:

Para la segunda derivada:

Las dos fórmulas tienen error de truncamiento O(h⁴). Requieren más evaluaciones y un entorno de dos pasos a cada lado.

04 · Cómo se construyen

Condiciones sobre los pesos

Consideremos una fórmula sobre posiciones enteras j alrededor de x:

Al sustituir Taylor, los coeficientes deben satisfacer condiciones de momentos:

Imponemos estas igualdades para tantos valores de k como permitan los puntos disponibles. Resolver el sistema resultante produce los pesos de la plantilla y revela el primer término que no fue cancelado.

Por ejemplo, los pesos [1,−2,1] en posiciones [−1,0,1] suman cero, anulan el término lineal y satisfacen Σcⱼj²=2=2!.

05 · Cálculo manual

Segunda derivada de f(x)=x⁴

La derivada exacta es f″(x)=12x²; en x=1 vale 12. Con h=0.1, la plantilla de tres puntos produce:

El error es 0.02, proporcional a h². La plantilla de cinco puntos da exactamente 12 en aritmética exacta porque su error depende de la sexta derivada, que es cero para un polinomio de grado cuatro.

06 · Sin puntos a ambos lados

Fórmulas unilaterales de segundo orden

En el extremo izquierdo, la diferencia hacia adelante básica es de orden uno. Con tres muestras podemos elevarla a orden dos:

En el extremo derecho aparece la fórmula reflejada:

Para la segunda derivada en un borde puede usarse:

También es de segundo orden. Las fórmulas unilaterales suelen tener constantes de error mayores que sus equivalentes centrales.

07 · Extrapolar a paso cero

La idea de Richardson

Supongamos que una aproximación tiene una expansión regular:

L es la derivada buscada y p el orden principal. Al calcular también con h/2:

Multiplicamos la segunda expresión por 2ᵖ y restamos la primera. El término Chᵖ desaparece:

Para una diferencia central con p=2:

Si la expansión contiene potencias pares, la nueva aproximación pasa de error O(h²) a O(h⁴).

08 · Cancelación numérica del error

Derivar sin(x) en x=1

Usamos la diferencia central para aproximar cos(1)≈0.540302306:

La extrapolación resulta:

El error baja aproximadamente de 9.00·10⁻⁴ en D(0.1) a 1.80·10⁻⁶ en R, sin evaluar puntos distintos de los ya usados por ambas aproximaciones.

09 · Repetir la extrapolación

Una tabla triangular

Podemos calcular D(h), D(h/2), D(h/4), … y extrapolar reiteradamente. Para errores en potencias hᵖ,h²ᵖ,…:

Cada columna intenta cancelar un término adicional. La convergencia no debe darse por garantizada: cuando el redondeo domina, continuar la tabla puede empeorar los resultados.

10 · Plantillas y extrapolación

Implementación en JavaScript

function primeraCentral(f, x, h) {
  return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);
}

function primeraCincoPuntos(f, x, h) {
  return (f(x - 2 * h) - 8 * f(x - h)
    + 8 * f(x + h) - f(x + 2 * h)) / (12 * h);
}

function segundaCentral(f, x, h) {
  return (f(x + h) - 2 * f(x) + f(x - h)) / (h * h);
}

function segundaCincoPuntos(f, x, h) {
  return (-f(x + 2 * h) + 16 * f(x + h) - 30 * f(x)
    + 16 * f(x - h) - f(x - 2 * h)) / (12 * h * h);
}

function richardson(aproximar, f, x, h, orden = 2) {
  const gruesa = aproximar(f, x, h);
  const fina = aproximar(f, x, h / 2);
  const factor = 2 ** orden;
  return (factor * fina - gruesa) / (factor - 1);
}

const aproximada = richardson(primeraCentral, Math.sin, 1, 0.2, 2);
console.log(aproximada, Math.cos(1));

La función richardson necesita conocer el orden dominante correcto. Usar orden=2 con una fórmula de primer orden no cancela el término esperado.

11 · Control de convergencia

Construir la tabla de Richardson

function primeraCentral(f, x, h) {
  return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);
}

function tablaRichardson(aproximar, f, x, hInicial, niveles, p = 2) {
  if (niveles < 1 || !(hInicial > 0)) throw new Error("Parámetros inválidos");
  const tabla = [];

  for (let k = 0; k < niveles; k++) {
    const fila = [aproximar(f, x, hInicial / 2 ** k)];
    for (let j = 1; j <= k; j++) {
      const factor = 2 ** (p * j);
      const actual = fila[j - 1];
      const anterior = tabla[k - 1][j - 1];
      fila.push(actual + (actual - anterior) / (factor - 1));
    }
    tabla.push(fila);
  }
  return tabla;
}

const tabla = tablaRichardson(primeraCentral, Math.sin, 1, 0.4, 4);
tabla.forEach((fila, k) =>
  console.log(k, fila.map(valor => valor.toFixed(10))));

Una estimación práctica del error es la diferencia entre entradas extrapoladas consecutivas. Conviene detenerse cuando dejan de acercarse o cuando la mejora cae por debajo de la precisión necesaria.

12 · Derivar aumenta la sensibilidad

El redondeo en derivadas superiores

En la primera derivada dividimos por h; en la segunda, por h². Los errores presentes en las evaluaciones se amplifican aproximadamente como:

Para la fórmula central de segunda derivada, un modelo simplificado es:

El equilibrio aparece alrededor de h≈ε1/4, ajustado por las escalas de x y f. En doble precisión, ε1/4 es del orden de 10⁻⁴, bastante mayor que un paso típico para la primera derivada central.

13 · Estrategia práctica

Elegir fórmula, paso y criterio de parada

1. Elegí una plantilla compatible con los puntos disponibles y la derivada buscada.
2. Comenzá con un paso relacionado con la escala del problema.
3. Calculá con h y h/2; compará la variación con el orden teórico.
4. Aplicá Richardson solo si observás el régimen de convergencia esperado.
5. Detenete cuando la mejora se estanque o se revierta.

En datos tabulados, h puede estar fijado por el muestreo. Si hay ruido, sumar puntos sin un método de suavizado puede empeorar la estimación. Una alternativa es ajustar localmente un polinomio y derivarlo analíticamente.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: orden y redondeo en escala logarítmica

Las curvas muestran el error absoluto frente al paso para una plantilla básica O(h²), una de cinco puntos O(h⁴) y Richardson O(h⁴). El círculo señala la configuración elegida.

Preguntas para explorar

1. En la primera derivada, compará cómo cae el error de O(h²) y O(h⁴).
2. Cambiá a la segunda derivada y observá que el deterioro por pasos pequeños comienza antes.
3. Buscá el paso que minimiza el error de cada fórmula.
4. Compará cinco puntos con Richardson: tienen el mismo orden, pero no idéntica constante ni costo.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: segunda derivada

Con f(0.9)=0.81, f(1)=1, f(1.1)=1.21 y h=0.1, aproximá f″(1).

Ejercicio 2: fórmula unilateral

Usá f(0)=0, f(0.1)=0.01 y f(0.2)=0.04 para aplicar la derivada progresiva de segundo orden en cero.

Ejercicio 3: Richardson

Una fórmula de orden dos entrega D(h)=1.96 y D(h/2)=1.99. Calculá la extrapolación.

Ejercicio 4: escalamiento del error

Si domina el truncamiento de una plantilla O(h⁴), ¿por qué factor cambia el error al dividir h por dos?

Ejercicio 5: verificación polinómica

Comprobá que la fórmula de cinco puntos para la primera derivada es exacta en f(x)=x³.

function cincoPuntos(f, x, h) {
  return (f(x - 2 * h) - 8 * f(x - h)
    + 8 * f(x + h) - f(x + 2 * h)) / (12 * h);
}

const f = x => x ** 3;
for (const x of [-2, -0.5, 0, 1, 3]) {
  const aproximada = cincoPuntos(f, x, 0.1);
  console.log(x, aproximada, 3 * x ** 2);
}

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema cambiaremos de operación: estudiaremos la integración numérica para aproximar acumulaciones y áreas mediante muestras.