Integración numérica

01 · Acumular sin antiderivada

De una cantidad continua a una suma finita

La integral definida representa una acumulación: distancia a partir de velocidad, masa a partir de densidad, probabilidad a partir de una densidad o área con signo bajo una curva.

El teorema fundamental permite usar una antiderivada cuando la conocemos. Sin embargo, muchas funciones proceden de simulaciones, mediciones o expresiones cuya primitiva no es elemental.

La integración numérica, también llamada cuadratura, aproxima la integral mediante evaluaciones de f.

02 · Qué mide la integral

Área con signo, orientación y unidades

Si f(x)≥0, la integral coincide con el área geométrica entre la curva y el eje. Si la función es negativa, esa región contribuye negativamente:

Invertir los límites cambia la orientación:

Las unidades también se multiplican. Si x está en segundos y f en metros por segundo, la integral se expresa en metros.

03 · Forma general

Nodos y pesos

Una regla de cuadratura tiene la forma:

Los xᵢ son los nodos donde evaluamos la función y los wᵢ son los pesos. Cada método se caracteriza por cómo los elige.

• Las sumas rectangulares toman un punto representativo en cada subintervalo.
• El trapecio integra una aproximación lineal.
• Simpson integra aproximaciones cuadráticas.
• La cuadratura gaussiana elige nodos interiores especialmente eficientes.

En este tema construiremos la base con rectángulos y punto medio. Los temas siguientes desarrollarán trapecio y Simpson.

04 · Dividir el intervalo

Una malla uniforme

Dividimos [a,b] en n subintervalos iguales:

En cada subintervalo [xᵢ,xᵢ₊₁] reemplazamos la curva por una altura representativa. El área aproximada de la pieza es h multiplicado por esa altura.

05 · Extremos de cada celda

Sumas izquierda y derecha

La suma izquierda usa xᵢ como altura:

La suma derecha usa xᵢ₊₁:

Si la función es creciente y positiva, Lₙ subestima y Rₙ sobrestima. Si es decreciente, ocurre lo contrario. Para funciones que cambian de dirección no existe una regla global tan simple.

Ambos métodos tienen error global O(h) para funciones suaves.

06 · Una muestra simétrica

Regla compuesta del punto medio

Tomamos la altura en el centro de cada subintervalo:

La simetría cancela el término de error de primer orden. Para una función con segunda derivada continua:

El signo depende de la convención y de la curvatura, pero la magnitud es O(h²). Al duplicar n, el paso se reduce a la mitad y el error suele dividirse aproximadamente por cuatro.

07 · Cálculo manual

Integrar x² entre 0 y 2

La integral exacta es 8/3≈2.666667. Usamos n=4, por lo que h=0.5.

Como x² es creciente, la suma izquierda queda debajo y la derecha encima. El punto medio es mucho más cercano: su error absoluto es aproximadamente 0.041667.

08 · Algoritmos básicos

Integradores rectangulares en JavaScript

function integrarRectangulos(f, a, b, n, metodo = "medio") {
  if (!Number.isInteger(n) || n < 1) throw new Error("n debe ser positivo");
  if (!["izquierda", "derecha", "medio"].includes(metodo)) {
    throw new Error("Método desconocido");
  }

  const h = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    let x;
    if (metodo === "izquierda") x = a + i * h;
    else if (metodo === "derecha") x = a + (i + 1) * h;
    else x = a + (i + 0.5) * h;
    suma += f(x);
  }
  return h * suma;
}

const f = x => x * x;
for (const metodo of ["izquierda", "derecha", "medio"]) {
  console.log(metodo, integrarRectangulos(f, 0, 2, 4, metodo));
}
// izquierda 1.75, derecha 3.75, medio 2.625

La misma función admite límites invertidos: h se vuelve negativo y la orientación cambia automáticamente.

09 · Muestras disponibles

Integrar datos tabulados

Si solo conocemos valores en una tabla, los nodos disponibles condicionan la regla. Con datos uniformes yᵢ=f(xᵢ), las sumas de extremos son inmediatas:

function sumaIzquierdaTabla(valores, h) {
  if (valores.length < 2 || !(h > 0)) throw new Error("Datos inválidos");
  return h * valores.slice(0, -1).reduce((suma, y) => suma + y, 0);
}

function sumaDerechaTabla(valores, h) {
  if (valores.length < 2 || !(h > 0)) throw new Error("Datos inválidos");
  return h * valores.slice(1).reduce((suma, y) => suma + y, 0);
}

const valores = [0, 0.25, 1, 2.25, 4];
console.log(sumaIzquierdaTabla(valores, 0.5)); // 1.75
console.log(sumaDerechaTabla(valores, 0.5));   // 3.75

El punto medio necesita muestras en los centros. No debemos fingir que un dato de extremo está en el centro; sería una regla distinta. Para mallas no uniformes se usa el ancho particular de cada subintervalo.

10 · Convergencia

Refinar y observar el orden

Una cota para las reglas izquierda o derecha es:

Para el punto medio:

Si no conocemos esas derivadas, podemos comparar particiones. Para un método de orden p, en el régimen asintótico:

Las diferencias entre resultados sucesivos sirven como indicadores, aunque no reemplazan una cota rigurosa cuando se necesita garantía.

11 · Error sin valor exacto

Comparar n y 2n

Si Q(h)=I+Chᵖ+…, entonces una estimación del error de la aproximación fina es:

Para punto medio, p=2 y dividimos la diferencia por tres.

function puntoMedio(f, a, b, n) {
  const h = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) suma += f(a + (i + 0.5) * h);
  return h * suma;
}

function puntoMedioConError(f, a, b, n) {
  const gruesa = puntoMedio(f, a, b, n);
  const fina = puntoMedio(f, a, b, 2 * n);
  return {
    valor: fina,
    errorEstimado: Math.abs(fina - gruesa) / 3
  };
}

console.log(puntoMedioConError(x => Math.exp(x), 0, 1, 8));

La estimación supone suavidad y que el término principal domina. Conviene verificarla con otra refinación.

12 · Refinar donde hace falta

Particiones adaptativas

Una malla uniforme gasta la misma cantidad de evaluaciones en regiones planas y regiones con gran curvatura. Un algoritmo adaptativo compara una aproximación gruesa con otra más fina en cada intervalo y subdivide únicamente donde la diferencia es grande.

function puntoMedioAdaptativo(f, a, b, tolerancia = 1e-8, profundidad = 20) {
  function integrar(izquierda, derecha, tol, nivel) {
    const medio = (izquierda + derecha) / 2;
    const gruesa = (derecha - izquierda) * f(medio);
    const fina = (medio - izquierda) * f((izquierda + medio) / 2)
      + (derecha - medio) * f((medio + derecha) / 2);
    const correccion = (fina - gruesa) / 3;

    if (nivel === 0 || Math.abs(correccion) <= tol) {
      return fina + correccion;
    }
    return integrar(izquierda, medio, tol / 2, nivel - 1)
      + integrar(medio, derecha, tol / 2, nivel - 1);
  }
  if (!(tolerancia > 0)) throw new Error("Tolerancia inválida");
  return integrar(a, b, tolerancia, profundidad);
}

console.log(puntoMedioAdaptativo(x => 1 / (1 + 100 * x * x), -1, 1));

El límite de profundidad evita una recursión indefinida. Una implementación de producción también contaría evaluaciones, detectaría valores no finitos y comunicaría si no pudo cumplir la tolerancia.

13 · Antes de integrar

Discontinuidades, singularidades y oscilaciones

La suavidad determina la eficacia de las fórmulas. Antes de aplicar una regla:

• dividí el intervalo en discontinuidades conocidas;
• tratá singularidades de extremo mediante cambios de variable o métodos específicos;
• evitá evaluar puntos donde la función no está definida;
• asegurá suficientes muestras para resolver oscilaciones rápidas;
• truncá integrales infinitas solo después de estimar la cola omitida.

Refinar ciegamente una malla puede ser costoso y aun así perder un pico angosto ubicado entre nodos. El conocimiento de la función forma parte del método numérico.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: cubrir la curva con rectángulos

Elegí una función, el punto de muestreo y la cantidad de subintervalos. Los rectángulos turquesa representan contribuciones positivas y los corales, negativas.

Preguntas para explorar

1. En x², compará las sumas izquierda y derecha con pocos subintervalos.
2. Duplicá n con punto medio y observá cuánto disminuye el error.
3. En x³−x, distinguí área geométrica de integral con signo.
4. En la función de Runge, observá dónde una malla uniforme necesitaría más detalle.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: partición

Dividí [1,3] en cuatro subintervalos uniformes. Indicá h y los extremos.

Ejercicio 2: suma izquierda

Usá dos rectángulos izquierdos para aproximar ∫₀² x dx.

Ejercicio 3: punto medio

Aplicá dos rectángulos de punto medio a la misma integral.

Ejercicio 4: orientación

Si una regla aproxima ∫₁⁴ f(x)dx por 7.2, ¿qué valor corresponde a ∫₄¹ f(x)dx?

Ejercicio 5: estudio de convergencia

Calculá el punto medio para eˣ en [0,1] con n=2,4,8,16.

function puntoMedio(f, a, b, n) {
  const h = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) suma += f(a + (i + 0.5) * h);
  return h * suma;
}

const exacta = Math.E - 1;
for (const n of [2, 4, 8, 16]) {
  const valor = puntoMedio(Math.exp, 0, 1, n);
  console.log(n, valor, Math.abs(valor - exacta));
}

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema reemplazaremos cada tramo de la curva por una recta y desarrollaremos en detalle la regla del trapecio.