Regla del trapecio

01 · De rectángulos a segmentos

Promediar las alturas de los extremos

Las sumas izquierda y derecha mantienen una altura constante en cada subintervalo. La regla del trapecio utiliza ambas alturas y las une mediante una recta.

En un intervalo [a,b], el área firmada del trapecio es el ancho multiplicado por la altura media:

La fórmula requiere dos evaluaciones y es exacta para cualquier función lineal.

02 · Interpolación lineal

Derivar la fórmula

La recta que interpola los extremos es:

Integramos término por término:

La misma expresión surge como el promedio de las sumas rectangular izquierda y derecha sobre un solo intervalo.

03 · Error local

La curvatura determina la diferencia

Para una función con segunda derivada continua, existe un punto ξ∈(a,b) tal que:

La regla es exacta cuando f″=0, es decir, para polinomios de grado cero o uno.

• Si f″>0, la función es convexa y la secante queda por encima: el trapecio sobrestima.
• Si f″<0, la función es cóncava y la secante queda por debajo: el trapecio subestima.
• Si la curvatura cambia de signo, los errores locales pueden compensarse parcialmente.

04 · Muchos trapecios

La regla compuesta

Partimos [a,b] en n intervalos uniformes de ancho h=(b−a)/n y sumamos una regla simple en cada uno:

Los nodos interiores pertenecen a dos trapecios vecinos; por eso sus dos mitades se combinan en un peso completo. Los extremos solo aparecen una vez y conservan peso 1/2.

05 · Tres aproximaciones conectadas

Promedio de izquierda y derecha

En una malla uniforme, las sumas rectangulares satisfacen:

Para una función creciente, Lₙ queda debajo y Rₙ encima; el trapecio promedia ambas. Sin embargo, este promedio no garantiza exactitud porque los errores no tienen necesariamente la misma magnitud.

La regla del punto medio también tiene orden dos, pero utiliza centros en vez de extremos. Para funciones convexas, el punto medio suele subestimar mientras el trapecio sobrestima.

06 · Cálculo manual

Integrar x² entre 0 y 2

Usamos n=4, h=0.5 y la tabla:

El valor exacto es 8/3≈2.666667. El error T₄−I≈0.083333 es positivo, coherente con la convexidad de x².

07 · Algoritmo compuesto

Implementar el trapecio en JavaScript

function trapecioCompuesto(f, a, b, n) {
  if (!Number.isInteger(n) || n < 1) throw new Error("n debe ser positivo");
  const h = (b - a) / n;
  let suma = (f(a) + f(b)) / 2;

  for (let i = 1; i < n; i++) {
    suma += f(a + i * h);
  }
  return h * suma;
}

const aproximada = trapecioCompuesto(x => x * x, 0, 2, 4);
console.log(aproximada);       // 2.75
console.log(8 / 3);            // 2.666666...
console.log(aproximada - 8/3); // 0.083333...

La función necesita n+1 evaluaciones. Si invertimos a y b, el paso cambia de signo y obtenemos automáticamente la integral con orientación opuesta.

08 · Mallas no uniformes

Integrar una tabla de mediciones

Una ventaja del trapecio es que solo necesita extremos de intervalos. Para pares ordenados (xᵢ,yᵢ) con separaciones variables:

function trapecioDatos(puntos) {
  if (puntos.length < 2) throw new Error("Faltan puntos");
  let integral = 0;
  for (let i = 0; i < puntos.length - 1; i++) {
    const [x0, y0] = puntos[i];
    const [x1, y1] = puntos[i + 1];
    if (!(x1 > x0)) throw new Error("Los nodos deben ser crecientes");
    integral += (x1 - x0) * (y0 + y1) / 2;
  }
  return integral;
}

const mediciones = [[0, 1], [0.5, 1.4], [1.5, 2.1], [2, 2.4]];
console.log(trapecioDatos(mediciones)); // 3.475

No debe utilizarse un único h cuando las abscisas no son uniformes. Cada par de nodos aporta su propio ancho.

09 · Error compuesto

Orden dos y cota

Al sumar los errores locales de los n subintervalos uniformes:

Si conocemos una cota M₂≥max|f″(x)| en [a,b]:

El error global es O(h²). Duplicar n suele dividirlo por cuatro cuando la función es suave y el truncamiento domina.

10 · Diseñar la partición

Elegir n desde una tolerancia

Si exigimos un error menor o igual que ε y conocemos M₂, despejamos:

Debemos redondear hacia arriba. Para f(x)=x² en [0,2], M₂=2. Si queremos error menor que 10⁻³:

Por lo tanto elegimos al menos 37 subintervalos. La cota garantiza, pero puede ser conservadora.

11 · Sin derivadas conocidas

Estimar el error comparando n y 2n

Si T(h)=I+Ch²+O(h⁴), entonces:

El valor absoluto de esa cantidad estima el error de la malla fina. Además, la combinación de Richardson:

cancela el término de orden dos y produce una aproximación de orden cuatro para funciones suficientemente suaves. Esta relación anticipa las reglas de Simpson del próximo tema.

function trapecioCompuesto(f, a, b, n) {
  const h = (b - a) / n;
  let suma = (f(a) + f(b)) / 2;
  for (let i = 1; i < n; i++) suma += f(a + i * h);
  return h * suma;
}

function trapecioConError(f, a, b, n) {
  const gruesa = trapecioCompuesto(f, a, b, n);
  const fina = trapecioCompuesto(f, a, b, 2 * n);
  return {
    valor: fina,
    errorEstimado: Math.abs(fina - gruesa) / 3,
    extrapolada: (4 * fina - gruesa) / 3
  };
}

console.log(trapecioConError(Math.exp, 0, 1, 8));

12 · Refinamiento eficiente

No volver a evaluar los nodos antiguos

Al pasar de n a 2n, los nodos anteriores permanecen y solo aparecen los puntos medios. Si h=(b−a)/n es el paso antiguo:

function refinarTrapecio(f, a, b, n, valorActual) {
  const h = (b - a) / n;
  let nuevos = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    nuevos += f(a + (i + 0.5) * h);
  }
  return valorActual / 2 + h * nuevos / 2;
}

const f = x => Math.exp(x);
let n = 1;
let valor = (f(0) + f(1)) / 2;
for (let nivel = 0; nivel < 5; nivel++) {
  console.log(n, valor);
  valor = refinarTrapecio(f, 0, 1, n, valor);
  n *= 2;
}

Esta reutilización es importante cuando cada evaluación proviene de una simulación costosa.

13 · Refinamiento local

Trapecio adaptativo

Comparamos un trapecio sobre todo el intervalo con dos trapecios sobre sus mitades. Si la corrección estimada es demasiado grande, repetimos el proceso solo en esa región.

function trapecioAdaptativo(f, a, b, tolerancia = 1e-8, profundidad = 20) {
  const fa = f(a);
  const fb = f(b);
  const inicial = (b - a) * (fa + fb) / 2;

  function integrar(izquierda, derecha, fIzq, fDer, gruesa, tol, nivel) {
    const medio = (izquierda + derecha) / 2;
    const fMedio = f(medio);
    const tIzq = (medio - izquierda) * (fIzq + fMedio) / 2;
    const tDer = (derecha - medio) * (fMedio + fDer) / 2;
    const fina = tIzq + tDer;
    const correccion = (fina - gruesa) / 3;

    if (nivel === 0 || Math.abs(correccion) <= tol) {
      return fina + correccion;
    }
    return integrar(izquierda, medio, fIzq, fMedio, tIzq, tol / 2, nivel - 1)
      + integrar(medio, derecha, fMedio, fDer, tDer, tol / 2, nivel - 1);
  }
  if (!(tolerancia > 0)) throw new Error("Tolerancia inválida");
  return integrar(a, b, fa, fb, inicial, tolerancia, profundidad);
}

console.log(trapecioAdaptativo(x => 1 / (1 + 100 * x * x), -1, 1));

La corrección es una extrapolación local. Una versión robusta debe informar si alcanza la profundidad máxima, encuentra valores no finitos o deja de mejorar por redondeo.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: curva frente a interpolante lineal

Los segmentos dorados unen las muestras y los trapecios muestran la aproximación. Modificá la cantidad de subintervalos para observar el error y su estimación por refinamiento.

Preguntas para explorar

1. En x², duplicá n y comprobá que el error se reduce cerca de cuatro veces.
2. Compará la posición de las secantes en x² y sin(x).
3. En la función de Runge, observá por qué hacen falta más intervalos cerca del centro.
4. Compará el error real de T₂ₙ con la estimación calculada mediante Tₙ.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: regla simple

Aproximá ∫₀¹ eˣdx con un único trapecio.

Ejercicio 2: pesos compuestos

Escribí los pesos, sin incluir h, para una malla de cinco subintervalos.

Ejercicio 3: convexidad

¿La regla del trapecio sobrestima o subestima ∫₀¹ eˣdx?

Ejercicio 4: cantidad de intervalos

Si al duplicar n el error de una función suave era 0.04, ¿qué error aproximado esperamos?

Ejercicio 5: datos no uniformes

Integra los puntos (0,0), (1,1) y (3,2) mediante trapecios.

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema utilizaremos interpolación cuadrática para construir las reglas de Simpson, capaces de alcanzar orden cuatro.