Integración por Monte Carlo

01 · De integral a esperanza

Promediar valores aleatorios

Sea X una variable uniforme en [a,b]. Su densidad es 1/(b−a), de modo que:

Reorganizando:

Monte Carlo reemplaza la esperanza por el promedio de muestras independientes.

02 · Fórmula básica

El estimador de Monte Carlo

Generamos N puntos independientes Xᵢ∼U(a,b) y calculamos:

El estimador es insesgado si las muestras son realmente uniformes:

Insesgado no significa exacto en una ejecución. Significa que, al repetir el experimento muchas veces, el promedio de las estimaciones coincide con la integral.

03 · Incertidumbre cuantificable

Varianza y error estándar

Si σ²=Var[f(X)], la varianza del estimador es:

El error estándar es:

Como σ es desconocida, utilizamos la desviación estándar muestral de los valores f(Xᵢ). El error estándar describe variabilidad entre ejecuciones, no el error exacto de una ejecución particular.

04 · Una tasa lenta pero estable

Convergencia O(N⁻¹/²)

La ley de los grandes números garantiza convergencia bajo condiciones habituales. Su escala es:

Para reducir el error estándar diez veces necesitamos aproximadamente cien veces más muestras.

En una dimensión, Simpson o una regla adaptativa suelen converger mucho más rápido para funciones suaves.

05 · Predicción teórica

Integrar x² en [0,1]

Para X∼U(0,1):

Necesitamos la varianza:

Con N=10000:

Un intervalo normal aproximado del 95 % tendrá semiancho 1.96·SE≈0.005843. Diferentes semillas producirán resultados distintos, normalmente dentro de esa escala.

06 · Media y varianza en una pasada

Monte Carlo reproducible en JavaScript

El algoritmo de Welford actualiza media y varianza sin guardar todas las muestras y evita restar dos sumas grandes.

function crearAleatorio(semilla) {
  let estado = semilla >>> 0;
  return function () {
    estado += 0x6D2B79F5;
    let z = estado;
    z = Math.imul(z ^ (z >>> 15), z | 1);
    z ^= z + Math.imul(z ^ (z >>> 7), z | 61);
    return ((z ^ (z >>> 14)) >>> 0) / 4294967296;
  };
}

function monteCarlo1D(f, a, b, n, aleatorio = Math.random) {
  if (!Number.isInteger(n) || n < 2) throw new Error("n debe ser al menos 2");
  let media = 0;
  let m2 = 0;
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    const x = a + (b - a) * aleatorio();
    const y = f(x);
    if (!Number.isFinite(y)) throw new Error("La función no es finita");
    const delta = y - media;
    media += delta / i;
    m2 += delta * (y - media);
  }
  const varianzaMuestral = m2 / (n - 1);
  const valor = (b - a) * media;
  const errorEstandar = Math.abs(b - a) * Math.sqrt(varianzaMuestral / n);
  return {
    valor,
    errorEstandar,
    intervalo95: [valor - 1.96 * errorEstandar, valor + 1.96 * errorEstandar]
  };
}

const resultado = monteCarlo1D(x => x * x, 0, 1, 10000, crearAleatorio(123));
console.log(resultado);

07 · Repetibilidad

Números pseudoaleatorios y semillas

Los generadores habituales son deterministas: una semilla fija produce siempre la misma secuencia. Esto es valioso para pruebas, depuración y comparación de algoritmos.

• Guardá la semilla junto con el resultado.
• Usá semillas diferentes para réplicas independientes.
• No confundas un generador educativo con uno criptográficamente seguro.
• Para simulación científica exigente, utilizá generadores bien estudiados y con períodos amplios.

Math.random() no permite fijar la semilla de manera portable; por eso el ejemplo incluye un generador pequeño explícito.

08 · Comunicar incertidumbre

Intervalos de confianza aproximados

Por el teorema central del límite, para N suficientemente grande:

Un intervalo aproximado del 95 % es:

Si repitiéramos todo el procedimiento, cerca del 95 % de los intervalos construidos de esta forma contendrían el valor verdadero bajo los supuestos del método.

09 · Área como probabilidad

Método de aciertos y fallos

Para estimar un área dentro de una región conocida, muestreamos puntos uniformes en una caja y contamos la fracción que cae dentro.

En el cuadrado [−1,1]², la probabilidad de caer en el círculo unitario es π/4:

Cada muestra utiliza el indicador Y=1 si x²+y²≤1 y 0 en caso contrario. Su error estándar estimado es:

Cuando podemos evaluar directamente una función, promediar sus valores suele aprovechar más información que convertirlos en indicadores binarios.

10 · La ventaja principal

Integrales en muchas dimensiones

Para una caja D=[a₁,b₁]×…×[ad,bd] de volumen V:

Una cuadrícula con m puntos por eje necesita mᵈ evaluaciones. Monte Carlo mantiene su tasa estadística O(N⁻¹/²) sin que el exponente dependa directamente de d.

La constante puede empeorar si aumenta la varianza, pero Monte Carlo evita la explosión combinatoria de una malla tensorial.

11 · Hipercajas

Una implementación multidimensional

function monteCarloCaja(f, limites, n, aleatorio = Math.random) {
  if (!Number.isInteger(n) || n < 1) throw new Error("n inválido");
  const volumen = limites.reduce((v, [a, b]) => v * (b - a), 1);
  let media = 0;
  let m2 = 0;

  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    const punto = limites.map(([a, b]) => a + (b - a) * aleatorio());
    const valor = f(punto);
    const delta = valor - media;
    media += delta / i;
    m2 += delta * (valor - media);
  }
  const varianza = n > 1 ? m2 / (n - 1) : 0;
  return {
    valor: volumen * media,
    errorEstandar: Math.abs(volumen) * Math.sqrt(varianza / n)
  };
}

const resultado = monteCarloCaja(
  ([x, y, z]) => Math.exp(-(x*x + y*y + z*z)),
  [[0, 1], [0, 1], [0, 1]],
  50000
);
console.log(resultado);

12 · Mejorar sin aumentar N

Reducción de varianza

La precisión depende de Var[f(X)]. Reducir esa varianza puede ser más eficaz que generar más muestras.

• Muestras antitéticas: emparejar x con a+b−x.
• Estratificación: dividir el dominio y muestrear cada región.
• Variable de control: usar una función correlacionada cuya integral conocemos.
• Muestreo por importancia: concentrar muestras donde el integrando contribuye más.

function monteCarloAntitetico(f, a, b, pares, aleatorio = Math.random) {
  let media = 0;
  let m2 = 0;
  for (let i = 1; i <= pares; i++) {
    const x = a + (b - a) * aleatorio();
    const reflejado = a + b - x;
    const y = (f(x) + f(reflejado)) / 2;
    const delta = y - media;
    media += delta / i;
    m2 += delta * (y - media);
  }
  const varianza = m2 / (pares - 1);
  return {
    valor: (b - a) * media,
    errorEstandar: Math.abs(b - a) * Math.sqrt(varianza / pares)
  };
}

console.log(monteCarloAntitetico(Math.exp, 0, 1, 5000));

El emparejamiento es útil cuando los valores reflejados tienen correlación negativa. No reduce la varianza de todas las funciones.

13 · Elegir el método adecuado

Determinista o Monte Carlo

Monte Carlo no reemplaza universalmente a las reglas anteriores. Cambia precisión determinista por escalabilidad, simplicidad geométrica y una estimación estadística del error.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: estimar π con puntos aleatorios

Los puntos turquesa caen dentro del círculo y los corales fuera. Cambiá la cantidad de muestras y la semilla para observar la variabilidad entre ejecuciones.

Preguntas para explorar

1. Mantené N y cambiá la semilla: observá la variabilidad.
2. Multiplicá las muestras por cuatro y compará el error estándar.
3. Buscá una ejecución cuyo error real sea mayor que un error estándar.
4. Comprobá que una muestra pequeña puede acercarse a π por azar sin ser más confiable.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: estimador

En [0,2], cuatro muestras producen valores de f iguales a [1,2,3,2]. Calculá la integral estimada.

Ejercicio 2: costo

¿Cuántas veces más muestras se necesitan para reducir el error estándar a la tercera parte?

Ejercicio 3: intervalo

Una estimación vale 1.50 con error estándar 0.02. Construí el intervalo normal del 95 %.

Ejercicio 4: π

De 10000 puntos, 7860 caen dentro del círculo. Estimá π.

Ejercicio 5: dimensión

Una cuadrícula utiliza 20 puntos por eje. ¿Cuántos necesita en dimensión 6?

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema comenzaremos ecuaciones diferenciales numéricas con los problemas de valor inicial: construir una trayectoria a partir de una condición inicial y una ley de cambio.