Problemas de valor inicial

01 · Ley de cambio más estado inicial

Qué es un problema de valor inicial

Una ecuación diferencial relaciona una función desconocida con sus derivadas. En un problema de valor inicial de primer orden buscamos y(t) tal que:

La ecuación indica cómo cambia el estado; la condición inicial selecciona la trayectoria que parte del punto (t₀,y₀).

02 · Estado y velocidad

Leer la función f(t,y)

La variable t suele representar tiempo y y el estado. La función f(t,y) devuelve la velocidad instantánea que tendría una trayectoria al pasar por ese punto.

• Si f(t,y)>0, la solución crece localmente.
• Si f(t,y)<0, la solución decrece.
• Si f(t,y)=0, la tangente es horizontal.

Es importante que f recibe un estado cualquiera, no únicamente estados que ya sabemos que pertenecen a la solución.

03 · Geometría local

El campo de pendientes

En cada punto del plano (t,y) dibujamos un pequeño segmento con pendiente f(t,y). El conjunto forma un campo de direcciones.

Una solución exacta es una curva tangente al campo en todos sus puntos:

Diferentes condiciones iniciales generan curvas distintas dentro del mismo campo. El laboratorio de este tema permite observar esa relación.

04 · Acumulación de pendientes

La forma integral del PVI

Integramos la derivada desde t₀ hasta t:

Esta identidad muestra que resolver la ecuación consiste en acumular velocidades. Pero el integrando depende de la solución desconocida, por lo que no podemos aplicar directamente una regla de cuadratura común.

Los métodos numéricos aproximan la trayectoria y utilizan esa aproximación para estimar las pendientes que deben acumularse.

05 · Antes de calcular

Existencia y unicidad

Un método numérico no puede reparar un problema matemático mal planteado. De forma simplificada:

• si f(t,y) es continua cerca del punto inicial, suele existir al menos una solución local;
• si además es Lipschitz respecto de y, la solución local es única.

Una condición Lipschitz significa que cambios en el estado no provocan cambios descontrolados en la pendiente:

06 · Clasificar el modelo

Autónomas y no autónomas

Una ecuación autónoma no depende explícitamente del tiempo:

Sus pendientes son iguales a lo largo de cada línea horizontal. Los estados donde f(y*)=0 son equilibrios.

Una ecuación no autónoma depende también de t:

Una fuerza externa, una temperatura ambiente variable o una entrada de control pueden introducir esa dependencia temporal.

07 · Ejemplos fundamentales

Tres leyes de cambio

Las soluciones exactas permiten validar un integrador. En aplicaciones reales, a menudo no disponemos de ellas y debemos estimar el error comparando pasos o métodos.

08 · El estado puede ser un vector

Sistemas y ecuaciones de orden superior

Un sistema se escribe:

Una ecuación de orden superior puede transformarse en un sistema de primer orden. Para el oscilador:

definimos posición y₁=y y velocidad y₂=y′:

Esta representación uniforme permite que un mismo integrador trate poblaciones acopladas, órbitas, circuitos y modelos mecánicos.

09 · Convertir tiempo continuo en pasos

La malla temporal

Elegimos nodos:

y construimos aproximaciones yₙ≈y(tₙ). Un método de un paso tiene la forma general:

Φ combina una o más evaluaciones de la pendiente. El método de Euler usa solamente la pendiente inicial; métodos posteriores estiman mejor la pendiente media del paso.

Si el intervalo no es múltiplo exacto de h, el último paso debe acortarse para terminar precisamente en tFinal.

10 · Separar responsabilidades

Modelo, estrategia de paso e integrador

Conviene separar tres componentes:

• modelo: la función f(t,y);
• actualizador: cómo produce yₙ₊₁ desde el estado actual;
• integrador: administra tiempo, último paso, almacenamiento y validaciones.

Así podemos cambiar Euler por otro método sin reescribir el modelo ni el bucle de integración.

function integrarPVI(f, t0, y0, tFinal, hMaximo, avanzar) {
  if (!(hMaximo > 0) || tFinal < t0) throw new Error("Intervalo inválido");
  const trayectoria = [{ t: t0, y: y0 }];
  let t = t0;
  let y = y0;

  while (t < tFinal) {
    const h = Math.min(hMaximo, tFinal - t);
    y = avanzar(f, t, y, h);
    t += h;
    if (!Number.isFinite(y)) throw new Error("Estado no finito");
    trayectoria.push({ t, y });
  }
  return trayectoria;
}

const pasoEuler = (f, t, y, h) => y + h * f(t, y);
const solucion = integrarPVI((t, y) => y, 0, 1, 1, 0.25, pasoEuler);
console.log(solucion);

Euler aparece aquí solo como actualizador mínimo para ilustrar la interfaz. El próximo tema analizará su derivación, error y estabilidad.

11 · Estados vectoriales

Un paso para un sistema

Para vectores, cada componente avanza con la derivada correspondiente:

function pasoEulerVector(f, t, estado, h) {
  const derivada = f(t, estado);
  if (derivada.length !== estado.length) throw new Error("Dimensión incompatible");
  return estado.map((valor, i) => valor + h * derivada[i]);
}

function oscilador(omega) {
  return (t, [posicion, velocidad]) => [
    velocidad,
    -omega * omega * posicion
  ];
}

let estado = [1, 0];
let t = 0;
const h = 0.1;
for (let paso = 0; paso < 5; paso++) {
  estado = pasoEulerVector(oscilador(1), t, estado, h);
  t += h;
  console.log(t, estado);
}

En JavaScript, devolver arreglos nuevos evita sobrescribir componentes que todavía se necesitan para calcular el mismo paso.

12 · Lenguaje de precisión

Error local y error global

El error local de truncamiento estudia un único paso suponiendo que comienza desde el valor exacto. El error global compara la trayectoria numérica acumulada con la exacta después de muchos pasos.

Los errores anteriores se propagan porque cada paso comienza desde un estado aproximado. Tres propiedades organizan el análisis:

• consistencia: el error local desaparece cuando h→0;
• estabilidad: perturbaciones pequeñas no crecen de forma incontrolada;
• convergencia: la trayectoria numérica se acerca a la exacta al refinar la malla.

Un error local pequeño no basta si el método amplifica perturbaciones a lo largo de miles de pasos.

13 · El dominio también importa

Paso, eventos y restricciones

El tamaño de paso controla costo y resolución. Un paso puede ser pequeño para la escala temporal general y aun así saltar un evento breve.

• Detené o acortá el paso al cruzar un umbral relevante.
• Verificá restricciones físicas como concentraciones no negativas.
• No evalúes f fuera de su dominio.
• Guardá solo los puntos necesarios si la trayectoria es extensa.
• Usá pasos adaptativos cuando las escalas cambian durante la solución.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: seguir un campo de pendientes

Los segmentos grises forman el campo; la curva dorada es la solución exacta y la poligonal turquesa usa la pendiente al inicio de cada paso como anticipo del método de Euler.

Preguntas para explorar

1. Aumentá los pasos y observá cómo la poligonal sigue mejor la curva exacta.
2. En decaimiento, probá pocos pasos y examiná si aparecen valores negativos.
3. En el modelo logístico, cambiá el estado inicial y localizá el equilibrio K=3.
4. En el modelo forzado, observá que la pendiente cambia incluso sobre una misma línea horizontal.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: identificar el PVI

Una población crece a una tasa proporcional a su tamaño y comienza con 200 individuos. Escribí el PVI.

Ejercicio 2: pendiente local

Para y′=t−y, calculá la pendiente en (t,y)=(2,0.5).

Ejercicio 3: equilibrio

Encontrá los equilibrios de y′=y(1−y/5).

Ejercicio 4: sistema equivalente

Convertí y″+3y′+2y=0 en un sistema de primer orden.

Ejercicio 5: último paso

Si avanzamos desde t=0 hasta t=1 con paso máximo 0.3, indicá los pasos usados.

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema derivaremos y analizaremos en detalle el método de Euler, el integrador explícito más sencillo.