Método de Euler

01 · La idea más directa

Seguir la recta tangente

Consideremos el problema de valor inicial y′=f(t,y), y(t₀)=y₀. Si conocemos el estado (tₙ,yₙ), también conocemos la pendiente f(tₙ,yₙ). Euler supone que esa pendiente permanece constante durante un intervalo corto h:

Geométricamente, sustituye un pequeño arco de la solución por el segmento de su recta tangente al comienzo del paso.

02 · Derivación diferencial

Euler a partir de Taylor

Si la solución es suficientemente suave, su expansión alrededor de tₙ es:

Como y′(tₙ)=f(tₙ,y(tₙ)), al omitir el término cuadrático obtenemos:

Reemplazando el valor exacto por la aproximación disponible aparece la recurrencia de Euler. El término descartado explica por qué cada paso introduce un error proporcional a h².

03 · Derivación por acumulación

Una regla del rectángulo para la pendiente

La misma fórmula surge de la forma integral del PVI:

Euler aproxima la integral con un rectángulo cuya altura es la pendiente del extremo izquierdo:

Esta interpretación anticipa cómo mejorar el método: estimar mejor la pendiente media del intervalo. Esa será la idea de Heun y del punto medio en el próximo tema.

04 · Recurrencia explícita

Qué ocurre en cada paso

Se denomina explícito porque el nuevo valor se calcula directamente a partir de datos conocidos. Con paso constante y N subintervalos:

1. Inicializar t=t₀ e y=y₀.
2. Evaluar pendiente=f(t,y).
3. Actualizar primero el estado con y=y+h·pendiente.
4. Avanzar el tiempo y repetir hasta llegar al extremo.

La pendiente debe evaluarse con el estado anterior. Alterar componentes antes de terminar esa evaluación cambia el método.

05 · Cálculo a mano

Cuatro pasos para y′=y

Para y′=y, y(0)=1 y h=0.25, la recurrencia se simplifica:

La solución exacta es convexa y queda por encima de sus tangentes. Por eso Euler subestima sistemáticamente este crecimiento.

06 · Implementación escalar

Un integrador reutilizable en JavaScript

La implementación siguiente acepta un paso máximo y acorta el último para terminar exactamente en tFinal:

function euler(f, t0, y0, tFinal, hMaximo) {
  if (!(hMaximo > 0) || tFinal < t0) throw new Error("Intervalo inválido");
  const trayectoria = [{ t: t0, y: y0 }];
  let t = t0;
  let y = y0;

  while (t < tFinal) {
    const h = Math.min(hMaximo, tFinal - t);
    const pendiente = f(t, y);
    y += h * pendiente;
    t += h;
    if (!Number.isFinite(y)) throw new Error("Estado no finito");
    trayectoria.push({ t, y });
  }
  return trayectoria;
}

const puntos = euler((t, y) => y, 0, 1, 1, 0.25);
for (const punto of puntos) {
  console.log(`t=${punto.t.toFixed(2)}, y=${punto.y.toFixed(6)}`);
}

Guardar toda la trayectoria resulta útil para graficar. Si solo interesa el estado final, puede conservarse únicamente el último valor y reducir el uso de memoria.

07 · El defecto de un paso

Error local de truncamiento

Imaginemos que un paso comienza desde el valor exacto. La diferencia entre el resultado exacto y el paso de Euler es:

Por Taylor, dₙ₊₁=h²y″(ξ)/2; por tanto, el defecto por paso es O(h²). Algunas fuentes dividen este defecto por h y llaman error local a esa cantidad, que entonces es O(h). La convención debe indicarse para evitar confusiones.

08 · Acumulación y convergencia

Error global de primer orden

Para cubrir un intervalo fijo se realizan aproximadamente 1/h pasos. Los defectos locales se acumulan y también se propagan a través de f. Bajo hipótesis habituales de suavidad y Lipschitz:

Euler es un método de orden global uno. En la región asintótica, reducir h a la mitad reduce aproximadamente el error global a la mitad.

function eulerFinal(f, t0, y0, tFinal, pasos) {
  const h = (tFinal - t0) / pasos;
  let t = t0;
  let y = y0;
  for (let n = 0; n < pasos; n++) {
    y += h * f(t, y);
    t += h;
  }
  return y;
}

let errorAnterior;
for (const pasos of [4, 8, 16, 32, 64]) {
  const aproximacion = eulerFinal((t, y) => y, 0, 1, 1, pasos);
  const error = Math.abs(Math.E - aproximacion);
  const cociente = errorAnterior === undefined ? "—" : errorAnterior / error;
  console.log(pasos, aproximacion.toFixed(8), error.toExponential(3), cociente);
  errorAnterior = error;
}

El cociente entre errores consecutivos se acerca a 2, la señal experimental esperada para un método de orden uno.

09 · Los errores viajan

Cómo se propaga una perturbación

Sea eₙ=y(tₙ)−yₙ. Restando el paso numérico del avance exacto aparece, de forma esquemática:

El primer término propaga el error existente; el segundo agrega el nuevo defecto local. Al iterar la desigualdad se obtiene la cota global proporcional a h.

La constante del error puede crecer con la longitud del intervalo, con la curvatura de la solución y con la sensibilidad del modelo. Decir O(h) describe la tasa cuando h→0, no garantiza que cualquier paso moderado sea preciso.

10 · Ecuación de prueba

Estabilidad absoluta

Para estudiar cómo Euler reproduce un decaimiento usamos y′=λy, con Re(λ)<0. El paso es:

El número R(z)=1+z, donde z=hλ, es el factor de amplificación. La solución numérica decae solamente si:

Para λ real y negativo, esto exige 0<h<2/|λ|.

11 · Precisión no es la única condición

Elegir el tamaño de paso

El paso debe resolver las escalas del problema y satisfacer las restricciones de estabilidad. Un valor adecuado se comprueba, no se adivina:

• repetí el cálculo con h/2 y compará resultados;
• observá magnitudes físicas, signos y cantidades que deberían conservarse;
• evitá que el paso salte discontinuidades, eventos o cambios rápidos;
• verificá que el último paso termine exactamente en el tiempo solicitado;
• rechazá estados NaN o infinitos y establecé límites de iteraciones.

Para y′=λy con λ<0, estabilidad requiere h<2/|λ|, pero preservar positividad exige la condición más estricta h≤1/|λ|.

12 · Estado vectorial

Euler para sistemas

Si el estado es un vector, la misma fórmula se aplica componente a componente usando todas las derivadas calculadas desde el estado anterior:

function pasoEulerVector(f, t, estado, h) {
  const derivada = f(t, estado);
  if (derivada.length !== estado.length) throw new Error("Dimensión incompatible");
  return estado.map((valor, i) => valor + h * derivada[i]);
}

const oscilador = (t, [posicion, velocidad]) => [velocidad, -posicion];
let estado = [1, 0];
let t = 0;
const h = 0.1;

for (let n = 0; n < 100; n++) {
  estado = pasoEulerVector(oscilador, t, estado, h);
  t += h;
}

const energia = 0.5 * (estado[0] ** 2 + estado[1] ** 2);
console.log("estado final", estado);
console.log("energía inicial", 0.5, "energía final", energia);

En el oscilador exacto la energía es constante, pero Euler explícito la aumenta. Sus factores 1±ih tienen módulo mayor que uno. Reducir el paso ralentiza la deriva, aunque no elimina esa debilidad cualitativa.

13 · Qué puede y qué no puede hacer

Costo, ventajas y límites

Euler requiere una sola evaluación de f por paso, es fácil de implementar y constituye una referencia excelente para estudiar algoritmos más avanzados.

Sin embargo, su error de primer orden obliga a usar muchos pasos para ganar precisión. Además:

• tiene una región de estabilidad pequeña;
• puede violar positividad, energía u otras propiedades del modelo;
• resulta ineficiente en problemas rígidos;
• su trayectoria poligonal no aporta por sí sola una interpolación precisa entre nodos.

Euler es valioso como herramienta didáctica, aproximación rápida y punto de comparación. Para simulaciones exigentes conviene elegir el integrador según precisión, estabilidad y estructura del problema.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: paso, error e inestabilidad

La curva dorada es la solución exacta. La poligonal turquesa une los estados de Euler; sus puntos muestran dónde se vuelve a evaluar la pendiente.

Preguntas para explorar

1. En crecimiento, duplicá los pasos varias veces. ¿Cómo cambia el error final?
2. En decaimiento, buscá cuándo aparecen valores negativos aunque la solución exacta sea positiva.
3. En decaimiento rápido, usá entre dos y cinco pasos. Relacioná la gráfica con |1+hλ|.
4. En el modelo logístico, comprobá que una pendiente variable no tiene un único factor de amplificación.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: un paso

Aplicá un paso de Euler con h=0.2 a y′=t−2y desde (t₀,y₀)=(0,1).

Ejercicio 2: recurrencia cerrada

Para y′=3y, escribí yₙ en función de y₀, h y n.

Ejercicio 3: estabilidad

¿Qué pasos hacen estable a Euler para y′=−8y?

Ejercicio 4: error observado

Con pasos h y h/2 se obtienen errores 0.018 y 0.0094. Estimá el orden observado.

Ejercicio 5: sistema

Desde (x₀,v₀)=(1,0), aplicá un paso con h=0.1 al sistema x′=v, v′=−x.

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema reemplazaremos la única pendiente inicial por una estimación de la pendiente media para construir Euler mejorado y el método del punto medio.