Euler mejorado y punto medio

01 · Mejorar la información del paso

De una pendiente inicial a una pendiente media

Euler explícito avanza con f(tₙ,yₙ), como si la pendiente no cambiara durante el intervalo. Cuando la trayectoria se curva, esa hipótesis genera un error visible.

La forma integral indica qué necesitamos realmente:

Heun y el punto medio obtienen una mejor aproximación de esa media mediante dos evaluaciones de f.

02 · Euler mejorado

Método de Heun

Heun calcula una pendiente al inicio y utiliza Euler como predictor para estimar el extremo. Luego evalúa allí una segunda pendiente:

El predictor ỹₙ₊₁ no es el resultado final: solo sirve para conocer aproximadamente la pendiente del otro extremo. El avance aceptado usa el promedio de ambas pendientes.

03 · Interpretación integral

Un trapecio explícito

En la forma integral del PVI, la regla del trapecio aproximaría el área usando las pendientes de ambos extremos:

El valor exacto del extremo es desconocido. Heun lo sustituye por el predictor de Euler y conserva así una fórmula explícita.

04 · Mirar dentro del intervalo

Método del punto medio explícito

Otra estrategia consiste en aproximar el estado a mitad del paso y utilizar la pendiente calculada allí para recorrer el intervalo completo:

El estado intermedio es auxiliar y no debe confundirse con una solución independiente. La evaluación k₂ representa mejor lo que sucede dentro del paso que la pendiente inicial sola.

En ecuaciones no autónomas es indispensable avanzar también el tiempo hasta tₙ+h/2.

05 · Una misma familia

Condiciones de segundo orden

Consideremos dos etapas con un parámetro a≠0:

Al comparar su expansión con Taylor aparecen las condiciones:

Ambos satisfacen las condiciones de orden dos, aunque sus errores de términos superiores pueden ser diferentes.

06 · Cálculo de un paso

Comparación sobre y′=y

Desde t₀=0, y₀=1, con h=0.25:

Para esta ecuación lineal autónoma, Heun y punto medio coinciden: ambos multiplican por 1+h+h²/2. Esa igualdad no se mantiene en general. Por ejemplo, si f depende de forma no lineal de y, las segundas evaluaciones ocurren en estados diferentes.

07 · Implementación

Heun en JavaScript

function pasoHeun(f, t, y, h) {
  const k1 = f(t, y);
  const predictor = y + h * k1;
  const k2 = f(t + h, predictor);
  return y + h * (k1 + k2) / 2;
}

function integrar(f, t0, y0, tFinal, hMaximo, paso) {
  if (!(hMaximo > 0) || tFinal < t0) throw new Error("Intervalo inválido");
  const trayectoria = [{ t: t0, y: y0 }];
  let t = t0;
  let y = y0;
  while (t < tFinal) {
    const h = Math.min(hMaximo, tFinal - t);
    y = paso(f, t, y, h);
    t += h;
    if (!Number.isFinite(y)) throw new Error("Estado no finito");
    trayectoria.push({ t, y });
  }
  return trayectoria;
}

const puntos = integrar((t, y) => y, 0, 1, 1, 0.25, pasoHeun);
console.log("Heun en t=1:", puntos.at(-1).y);
console.log("valor exacto:", Math.E);

Separar la estrategia de paso del bucle permite reutilizar validaciones, almacenamiento y control del último intervalo.

08 · Segunda estrategia

Punto medio en JavaScript

function pasoPuntoMedio(f, t, y, h) {
  const k1 = f(t, y);
  const yMedio = y + h * k1 / 2;
  const k2 = f(t + h / 2, yMedio);
  return y + h * k2;
}

const f = (t, y) => t - y * y;
const t = 0;
const y = 1;
const h = 0.2;

const k1 = f(t, y);
const yMedio = y + h * k1 / 2;
const k2 = f(t + h / 2, yMedio);
const siguiente = pasoPuntoMedio(f, t, y, h);

console.log("k1:", k1);
console.log("estado intermedio:", yMedio);
console.log("k2:", k2);
console.log("nuevo estado:", siguiente);

Calcular k₁ antes de modificar el estado y conservar variables auxiliares hace explícita la dependencia entre etapas.

09 · Precisión teórica

Error local cúbico y global cuadrático

Las condiciones de orden eliminan los términos de error hasta grado dos. Si la solución y la función son suficientemente suaves:

Como se necesitan aproximadamente 1/h pasos, los defectos cúbicos acumulados producen un error global cuadrático.

El orden no determina por sí solo el error: Heun y punto medio comparten orden, pero poseen constantes de error distintas.

10 · Verificación computacional

Medir el orden observado

function resolver(paso, pasos) {
  const f = (t, y) => y;
  const h = 1 / pasos;
  let t = 0;
  let y = 1;
  for (let n = 0; n < pasos; n++) {
    y = paso(f, t, y, h);
    t += h;
  }
  return y;
}

const heun = (f, t, y, h) => {
  const k1 = f(t, y);
  const k2 = f(t + h, y + h * k1);
  return y + h * (k1 + k2) / 2;
};

let errorAnterior;
for (const pasos of [4, 8, 16, 32, 64]) {
  const error = Math.abs(Math.E - resolver(heun, pasos));
  const cociente = errorAnterior === undefined ? "—" : errorAnterior / error;
  console.log(pasos, error.toExponential(4), cociente);
  errorAnterior = error;
}

Los cocientes se aproximan a 4. También puede calcularse el orden observado mediante:

Un estudio serio utiliza varios refinamientos: un único par de pasos puede estar fuera del régimen asintótico.

11 · Trabajo por precisión

Comparar el costo de manera justa

Euler usa una evaluación de f por paso; Heun y punto medio usan dos. Pero contar solamente pasos favorece artificialmente a Euler.

La comparación relevante fija una tolerancia y mide evaluaciones, tiempo y memoria necesarios para alcanzarla. Un método más costoso por paso puede resultar mucho más económico en total.

12 · La ecuación de prueba

Estabilidad de los métodos RK2

Al aplicar Heun o punto medio a y′=λy, ambos producen:

La región de estabilidad está formada por los valores complejos de z para los que |R(z)|<1. Sobre el eje real negativo:

El intervalo estable real es el mismo que para Euler explícito. La mejora de orden no implica automáticamente una región de estabilidad mayor.

• Para λ=−10, se requiere h<0.2.
• Con h=0.1, R(−1)=0.5.
• Con h=0.3, R(−3)=2.5 y la aproximación crece.

En problemas rígidos, el límite de estabilidad puede obligar a usar pasos diminutos aunque la precisión admita pasos mayores.

13 · Estados vectoriales

Las etapas en un sistema

Las fórmulas se mantienen, pero cada k es un vector. Las operaciones deben realizarse componente a componente sin modificar el estado original:

const sumarEscalado = (estado, escala, derivada) =>
  estado.map((valor, i) => valor + escala * derivada[i]);

function pasoHeunVector(f, t, estado, h) {
  const k1 = f(t, estado);
  const predictor = sumarEscalado(estado, h, k1);
  const k2 = f(t + h, predictor);
  return estado.map((valor, i) => valor + h * (k1[i] + k2[i]) / 2);
}

const oscilador = (t, [x, v]) => [v, -x];
let estado = [1, 0];
let t = 0;
const h = 0.1;
for (let n = 0; n < 100; n++) {
  estado = pasoHeunVector(oscilador, t, estado, h);
  t += h;
}
const energia = 0.5 * (estado[0] ** 2 + estado[1] ** 2);
console.log("estado:", estado);
console.log("energía inicial:", 0.5, "energía final:", energia);

Heun reduce considerablemente la deriva energética respecto de Euler en este ejemplo, pero no conserva energía exactamente. Orden y preservación geométrica son propiedades diferentes.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: tres aproximaciones frente a la solución exacta

La gráfica superpone Euler, Heun y punto medio usando la misma malla. Cambiá el modelo y refiná los pasos para comparar precisión y costo.

Preguntas para explorar

1. Duplicá la cantidad de pasos. ¿El error de los métodos RK2 cae aproximadamente cuatro veces?
2. En crecimiento lineal, comprobá que Heun y punto medio coinciden.
3. En el modelo logístico, observá que las dos curvas de segundo orden ya no son idénticas.
4. En el modelo forzado, explicá por qué el tiempo usado en la segunda evaluación es importante.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: un paso de Heun

Aplicá Heun con h=0.2 a y′=t+y desde (0,1).

Ejercicio 2: un paso de punto medio

Resolvé el mismo paso con el método del punto medio.

Ejercicio 3: comprobar condiciones

Para a=2/3, encontrá los pesos b₁ y b₂ que producen orden dos.

Ejercicio 4: orden observado

Los errores para h y h/2 son 0.0032 y 0.00081. Estimá el orden.

Ejercicio 5: estabilidad

Para y′=−20y, determiná el máximo paso estable de Heun sobre el eje real.

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema ampliaremos esta construcción a los métodos de Runge-Kutta, incluyendo el conocido esquema clásico de cuarto orden.