Derivadas de constantes y potencias

01 · De la definición a las reglas

Derivar sin reconstruir siempre el límite

Hasta ahora obtuvimos derivadas examinando el cociente incremental:

La definición sigue siendo el fundamento, pero repetir toda la simplificación para cada función sería poco eficiente. Las reglas de derivación condensan patrones que ya fueron demostrados y permiten transformar una función en su derivada mediante pasos algebraicos seguros.

Las dos primeras reglas cubren los bloques más sencillos:

02 · Regla de la constante

Una salida fija tiene cambio nulo

Sea f(x) = c, donde c es cualquier número real. Al modificar la entrada de x a x + h, ambos valores de la función siguen siendo c:

Para todo h ≠ 0, el numerador vale cero. No aparece una forma problemática: el cociente es exactamente cero antes de tomar el límite.

El símbolo usado para la constante no importa: d/dx[−3] = 0, d/dx[π] = 0 y d/dx[√2] = 0.

03 · Potencia básica

La derivada de x es 1

Para la función identidad f(x) = x, la salida copia la entrada. Su cociente incremental se simplifica inmediatamente:

La recta y = x aumenta una unidad vertical por cada unidad horizontal. Su pendiente es 1 en todo el dominio.

También podemos verla como x¹. La regla de la potencia anticipa el mismo resultado:

Como x⁰ = 1 en esta simplificación, la derivada deja de depender de x.

04 · Descubrir el patrón

Derivar x² desde la definición

Aplicamos el cociente incremental manteniendo x como variable:

1. 1
   Sustituir x + h.

   f(x + h) = (x + h)².

2. 2
   Formar el cociente.

   [(x + h)² − x²] / h.

3. 3
   Expandir y simplificar.

   (x² + 2xh + h² − x²) / h = 2x + h, para h ≠ 0.

4. 4
   Tomar el límite.

   Cuando h → 0, 2x + h → 2x.

La derivada ya no es constante. En x = 1 la pendiente es 2; en x = 3 es 6; y en x = −2 es −4. Una sola fórmula describe las pendientes de toda la parábola.

05 · Confirmar el patrón

Derivar x³

La expansión del cubo muestra qué términos sobreviven:

Como el límite se estudia con h ≠ 0, cancelamos el factor común:

Por lo tanto:

Los términos que todavía contienen h desaparecen en el límite. El término independiente de h, 3x², determina la pendiente instantánea.

06 · Regla general

La derivada de xⁿ para n entero positivo

Para n = 1, 2, 3, …, la regla es:

La demostración puede hacerse sin expandir una potencia enorme. Usamos la identidad de diferencia de potencias:

Tomando u = x + h y v = x, el factor u − v es precisamente h. Se cancela con el denominador del cociente incremental:

Cuando h → 0, cada sumando tiende a xⁿ⁻¹. Hay exactamente n sumandos, de modo que el límite es n xⁿ⁻¹.

07 · Qué dice la fórmula

El exponente controla cómo cambia la pendiente

Si n es par, n − 1 es impar: la derivada cambia de signo al atravesar cero. Si n es impar y mayor que uno, n − 1 es par: la derivada es no negativa a ambos lados y vale cero en el origen.

08 · Caso frontera

La potencia cero se trata como constante

La función f(x) = x⁰ se interpreta como la función constante 1, por lo que su derivada es 0. Sin embargo, sustituir mecánicamente n = 0 en n xⁿ⁻¹ produce 0x⁻¹, expresión que no está definida en x = 0.

Por eso formulamos aquí la regla de potencia para enteros positivos y resolvemos el exponente cero por separado.

Los exponentes negativos, fraccionarios y las raíces requieren atender sus dominios. La misma forma de la regla se extenderá cuidadosamente en el tema 19.

09 · Derivar y luego evaluar

Una función derivada, muchas pendientes

Para hallar la pendiente de f(x) = x⁶ en x = −2, conviene separar dos operaciones:

1. 1
   Construir la derivada.

   f′(x) = 6x⁵.

2. 2
   Sustituir el punto.

   f′(−2) = 6(−2)⁵.

3. 3
   Respetar los paréntesis.

   (−2)⁵ = −32, por lo tanto f′(−2) = −192.

f′(x) es una función; f′(−2) es un número. Derivar y evaluar son pasos relacionados, pero no idénticos.

10 · Reconocer la forma

No todo lo que contiene un exponente es xⁿ

La regla estudiada se aplica cuando la base es la variable y el exponente es un entero positivo fijo.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: potencia, secante y tangente

Elegí una constante o una potencia, mové el punto a y reducí h. Compará la pendiente secante calculada por definición con la derivada exacta.

La curva amarilla es la función, la recta coral es una secante entre a y a + h, y la recta violeta representa la tangente predicha por la regla.

Preguntas para explorar

1. Elegí la función constante. ¿Cambian las pendientes al mover a o h?
2. Para x², compará puntos opuestos como a = −1 y a = 1. ¿Qué ocurre con el signo?
3. Para x³, probá ambos lados del origen. ¿Por qué la pendiente exacta nunca es negativa?
4. Fijá una función y reducí h. ¿Cómo evoluciona el error entre secante y derivada?

12 · Representar la regla en código

Construir funciones de potencia y sus derivadas

En JavaScript podemos representar una función como un valor que recibe x. Una función de orden superior puede construir tanto la potencia como su derivada:

function potencia(exponente) {
  if (!Number.isInteger(exponente) || exponente < 0) {
    throw new RangeError("Se espera un entero no negativo");
  }
  return x => x ** exponente;
}

function derivadaDePotencia(exponente) {
  if (!Number.isInteger(exponente) || exponente < 0) {
    throw new RangeError("Se espera un entero no negativo");
  }

  // El caso constante evita evaluar 0 * x ** -1 en x = 0.
  if (exponente === 0) return () => 0;

  return x => exponente * x ** (exponente - 1);
}

const f = potencia(5);
const derivadaF = derivadaDePotencia(5);

console.log(f(2));          // 32
console.log(derivadaF(2)); // 80

La validación explicita el alcance matemático de esta versión: enteros no negativos. El caso exponente === 0 se resuelve antes de aplicar la fórmula general.

Conservar la expresión además de evaluarla

Si queremos mostrar una regla simbólica, un objeto puede guardar su estructura:

function nodoPotencia(exponente) {
  return { tipo: "potencia", variable: "x", exponente };
}

function derivarNodo(nodo) {
  if (nodo.tipo !== "potencia") {
    throw new TypeError("Nodo no soportado");
  }

  if (nodo.exponente === 0) {
    return { tipo: "constante", valor: 0 };
  }

  return {
    tipo: "monomio",
    coeficiente: nodo.exponente,
    exponente: nodo.exponente - 1
  };
}

console.log(derivarNodo(nodoPotencia(4)));
// { tipo: "monomio", coeficiente: 4, exponente: 3 }

Esta representación separa la forma de la expresión de su evaluación numérica, una idea que será útil al construir reglas más complejas.

13 · Comprobar sin reemplazar la prueba

Comparar la regla con el cociente incremental

Una prueba automatizada puede contrastar la fórmula exacta con una aproximación centrada:

function derivadaCentrada(f, x, h = 1e-5) {
  if (!(h > 0)) throw new RangeError("h debe ser positivo");
  return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);
}

function verificarPotencia(n, puntos) {
  const f = x => x ** n;
  const exacta = n === 0 ? () => 0 : x => n * x ** (n - 1);

  return puntos.map(x => {
    const esperado = exacta(x);
    const aproximado = derivadaCentrada(f, x);
    return {
      n,
      x,
      esperado,
      aproximado,
      error: Math.abs(esperado - aproximado)
    };
  });
}

console.table(verificarPotencia(4, [-2, -1, 0, 1, 2]));

Además, hacer h extremadamente pequeño puede empeorar el resultado por redondeo y cancelación numérica. La aproximación computacional y la derivada simbólica no son el mismo objeto.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: constantes

Calculá las derivadas de f(x) = 12, g(t) = −π y q(z) = 0.

Ejercicio 2: aplicar la regla de potencia

Obtené las derivadas de x⁴, x⁷ y x¹⁰.

Ejercicio 3: derivar y evaluar

Sea f(x) = x⁵. Calculá f′(−2).

Ejercicio 4: justificar desde la definición

Usá la diferencia de potencias para demostrar que la derivada de x⁴ es 4x³.

Ejercicio 5: elegir la regla correcta

¿Cuáles pueden derivarse con las reglas de este tema sin usar ninguna regla adicional: 9, x⁹, 9x, 9ˣ y (x + 2)⁹?

Ejercicio 6: completar una implementación

Corregí esta función para que también funcione con n = 0 y x = 0.

function evaluarDerivadaPotencia(n, x) {
  return n * x ** (n - 1);
}

function evaluarDerivadaPotencia(n, x) {
  if (!Number.isInteger(n) || n < 0) {
    throw new RangeError("n debe ser un entero no negativo");
  }
  if (n === 0) return 0;
  return n * x ** (n - 1);
}

console.log(evaluarDerivadaPotencia(0, 0)); // 0
console.log(evaluarDerivadaPotencia(4, 2)); // 32

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema combinaremos estas derivadas mediante la linealidad: múltiplos constantes, sumas y restas.