Linealidad de la derivada

01 · Derivar por componentes

Una transformación que respeta combinaciones lineales

En el tema anterior aprendimos a derivar constantes y potencias. Ahora necesitamos combinar esos resultados. Si una función se construye sumando, restando o escalando otras funciones, no hace falta volver al cociente incremental para toda la expresión.

El operador derivada D es lineal:

Aquí f y g son funciones derivables, mientras que α y β son números constantes respecto de x. La fórmula reúne tres reglas:

02 · Primera propiedad

Regla del múltiplo constante

Sea F(x) = c f(x), donde c no depende de x. Desde la definición:

El factor c es común en el numerador y puede colocarse fuera del límite:

Por lo tanto:

Multiplicar todas las alturas de una función por c multiplica también sus cambios verticales y, en consecuencia, todas sus pendientes por c.

03 · Signo y magnitud

Qué hace el factor constante con las pendientes

Por ejemplo, para g(x) = −½x⁴:

El exponente 4 proviene de la regla de potencia; el factor −½ se conserva por la regla del múltiplo constante.

04 · Segunda propiedad

La derivada de una suma

Sea F(x) = f(x) + g(x). Formamos su cociente incremental:

Reagrupamos los incrementos de cada función:

Si f′(x) y g′(x) existen, el límite de la suma es la suma de los límites:

Ejemplo:

No mezclamos los términos antes de derivar porque no son semejantes. Simplemente aplicamos a cada uno la regla que corresponde.

05 · El signo se conserva

La derivada de una diferencia

Restar g equivale a sumar el múltiplo −1·g:

Aplicando las dos propiedades anteriores:

Para F(x) = x⁵ − 3x²:

El signo menos pertenece al término completo. Una forma segura de trabajar es considerar −3x² como (−3)·x² y conservar el coeficiente −3 durante la derivación.

06 · Fórmula unificada

Combinaciones lineales de funciones

Uniendo escala y suma obtenemos, para constantes α y β:

La propiedad se extiende a cualquier cantidad finita de funciones derivables:

Consideremos F(x) = 2x⁵ − 4x³ + 7x. Cada término es un múltiplo constante de una potencia:

1. 1
   Separar términos.

   2x⁵, −4x³ y 7x.

2. 2
   Conservar coeficientes.

   2·D[x⁵] − 4·D[x³] + 7·D[x].

3. 3
   Derivar potencias.

   2·5x⁴ − 4·3x² + 7·1.

4. 4
   Simplificar.

   F′(x) = 10x⁴ − 12x² + 7.

Este ejemplo anticipa el procedimiento sistemático para polinomios que estudiaremos en el próximo tema.

07 · Términos que desaparecen

Las constantes sumadas no cambian la pendiente

Si F(x) = f(x) + k, entonces:

Por eso x², x² + 5 y x² − 100 tienen la misma función derivada 2x. Sus gráficos son traslaciones verticales: cambian de altura, pero conservan la misma inclinación en entradas correspondientes.

08 · Hipótesis y dominio

La regla combina derivadas que existen

Para aplicar directamente la linealidad en un punto a, suponemos que las funciones componentes son derivables allí. Entonces cualquier combinación lineal también es derivable en a.

La implicación inversa no siempre vale. Una combinación puede ser derivable aunque sus piezas elegidas no lo sean, porque pueden cancelarse. Por ejemplo:

Ni f ni g son derivables en cero, pero su suma es la función constante cero. Esto no contradice la regla: la regla ofrece una condición suficiente cuando las derivadas de las partes existen; no afirma la recíproca.

También debe respetarse el dominio común. La suma f + g solo está definida donde ambas funciones lo están.

09 · Frontera de la propiedad

Productos, cocientes y composiciones no se distribuyen igual

La palabra «linealidad» se refiere específicamente a sumas y multiplicación por escalares. No autoriza a repartir la derivada sobre cualquier operación.

Un contraejemplo rápido muestra que la derivada de un producto no es el producto de las derivadas. Si f(x)=g(x)=x, entonces:

10 · Estrategia de cálculo

Un procedimiento para expresiones lineales

1. Identificá las sumas y restas del nivel principal de la expresión.
2. Asociá a cada término su signo y coeficiente numérico.
3. Dejá los coeficientes constantes sin modificar.
4. Aplicá la regla correspondiente a la parte funcional.
5. Eliminá los términos constantes, cuya derivada es cero.
6. Reuní y simplificá el resultado.

Para F(x) = −3x⁶ + 2x² − 8, el proceso produce:

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: combinar funciones y pendientes

Explorá la familia F(x) = x² + λx³. La linealidad predice F′(x) = 2x + 3λx². Modificá λ, el punto a y el tamaño de h para comparar esa predicción con una secante.

La curva amarilla representa F, la recta coral es una secante entre a y a+h, y la recta violeta es la tangente obtenida mediante linealidad.

Preguntas para explorar

1. Elegí λ = 0. ¿Qué función y qué derivada quedan?
2. Cambiá λ de positivo a negativo. ¿Cómo cambia el aporte 3λa²?
3. Ubicá a = 0. ¿Por qué ambos aportes son cero para cualquier λ?
4. Reducí h. ¿Cómo se acerca la pendiente secante a la suma exacta?

12 · Funciones como valores

Programar combinadores lineales

JavaScript permite representar funciones matemáticas mediante funciones del lenguaje. Podemos construir operaciones que reciban funciones y devuelvan otras:

const escalar = (c, f) => x => c * f(x);
const sumar = (f, g) => x => f(x) + g(x);
const restar = (f, g) => x => f(x) - g(x);

const cuadrado = x => x ** 2;
const cubo = x => x ** 3;

const f = sumar(
  escalar(2, cuadrado),
  escalar(-3, cubo)
);

console.log(f(2)); // 2·2² − 3·2³ = −16

Las mismas estructuras combinan las derivadas conocidas:

const derivadaCuadrado = x => 2 * x;
const derivadaCubo = x => 3 * x ** 2;

const derivadaF = sumar(
  escalar(2, derivadaCuadrado),
  escalar(-3, derivadaCubo)
);

console.log(derivadaF(2)); // 4·2 − 9·2² = −28

La forma del programa refleja la igualdad matemática: primero combinamos funciones y luego combinamos sus derivadas con los mismos escalares.

13 · Árboles de expresión

Traducir la linealidad a reglas simbólicas

Un derivador elemental puede representar constantes, potencias, sumas y múltiplos como nodos:

const constante = valor => ({ tipo: "constante", valor });
const potencia = exponente => ({ tipo: "potencia", exponente });
const suma = (izquierda, derecha) => ({ tipo: "suma", izquierda, derecha });
const multiplo = (factor, expresion) => ({ tipo: "multiplo", factor, expresion });

function derivar(expresion) {
  switch (expresion.tipo) {
    case "constante":
      return constante(0);

    case "potencia":
      if (expresion.exponente === 0) return constante(0);
      return multiplo(
        expresion.exponente,
        potencia(expresion.exponente - 1)
      );

    case "suma":
      return suma(
        derivar(expresion.izquierda),
        derivar(expresion.derecha)
      );

    case "multiplo":
      return multiplo(expresion.factor, derivar(expresion.expresion));

    default:
      throw new TypeError(`Tipo no soportado: ${expresion.tipo}`);
  }
}

La función derivar sigue la estructura del árbol. En una suma deriva ambos hijos; en un múltiplo conserva el factor y deriva la expresión interior.

Una combinación de ejemplo

// Representa 4x³ + 7.
const expresion = suma(
  multiplo(4, potencia(3)),
  constante(7)
);

console.log(JSON.stringify(derivar(expresion), null, 2));
// Estructura equivalente a 4 · (3x²) + 0.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: múltiplo constante

Derivá f(x) = −6x⁵.

Ejercicio 2: suma de potencias

Calculá la derivada de g(x) = x⁶ + 4x².

Ejercicio 3: signos y constante final

Derivá q(t) = 3t⁴ − 2t³ + 9.

Ejercicio 4: evaluar una combinación

Sean f′(2) = −1 y g′(2) = 4. Sin conocer las fórmulas de f y g, calculá la derivada de H = 3f − 2g en x = 2.

Ejercicio 5: detectar una aplicación inválida

Un estudiante afirma que d/dx[x²·x³] = (2x)(3x²) = 6x³. Explicá el error y comprobá el resultado simplificando primero.

Ejercicio 6: programar una combinación lineal

Completá la función para construir αf + βg.

function combinar(alpha, f, beta, g) {
  return x => null; // completar
}

function combinar(alpha, f, beta, g) {
  if (![alpha, beta].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Los coeficientes deben ser finitos");
  }
  return x => alpha * f(x) + beta * g(x);
}

const h = combinar(2, x => x ** 2, -1, x => x ** 3);
console.log(h(3)); // 18 − 27 = −9

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos sistemáticamente estas propiedades y la regla de la potencia para obtener derivadas de polinomios.