Del cambio promedio al cambio instantáneo

01 · Una pregunta nueva

¿Cómo cambia una función en un solo punto?

Una razón de cambio promedio necesita dos entradas distintas. Si un vehículo recorre 150 km en 3 h, sabemos que su velocidad promedio fue 50 km/h, pero no podemos afirmar que el velocímetro marcó siempre ese valor.

Podemos calcular promedios durante una hora, un minuto o una décima de segundo alrededor de un instante. Cuanto más corto sea el intervalo, más localizada será la información. Esto conduce a la pregunta central del cálculo diferencial:

No podemos responder sustituyendo dos veces el mismo punto en la fórmula promedio, porque obtendríamos:

La expresión 0/0 no es un número. Necesitamos conservar dos puntos distintos mientras estudiamos qué sucede cuando la distancia entre ellos se hace cada vez menor.

02 · Un punto fijo y otro móvil

Expresar el intervalo mediante h

Fijamos el punto de interés en x = a. El segundo punto se ubica en x = a + h, donde h representa el desplazamiento horizontal entre ambos:

La razón de cambio promedio entre esos puntos es el cociente incremental:

Si h > 0, el punto móvil está a la derecha de a. Si h < 0, está a la izquierda. En ambos casos el cociente calcula la pendiente de una secante.

03 · Ejemplo fundamental

Reducir el intervalo en f(x) = x²

Queremos estudiar cómo cambia f(x) = x² cerca de a = 2. Sustituimos la función en el cociente incremental:

Desarrollamos y simplificamos, recordando que h ≠ 0:

Cada valor no nulo de h produce una secante diferente, cuya pendiente es 4 + h.

Desde la derecha las pendientes bajan hacia 4; desde la izquierda suben hacia 4. Aunque nunca usamos h = 0, aparece una tendencia común.

04 · El papel del límite

Aproximarse sin dividir por cero

El lenguaje de los límites permite expresar la tendencia observada:

No reemplazamos h por cero en el cociente original. Primero trabajamos con h ≠ 0, simplificamos la expresión y luego estudiamos el valor al que se aproxima.

05 · Interpretación geométrica

De la recta secante a la recta tangente

Mientras Q se acerca a P, la secante gira. Si sus pendientes se aproximan a un único número, también aparece una posición límite de las rectas. Esa posición es la recta tangente en P.

Secante

Pasa por dos puntos distintos del gráfico y describe el cambio promedio en un intervalo.

Tangente

Representa la dirección local del gráfico en un punto y su pendiente describe el cambio instantáneo.

La tangente no debe entenderse solamente como una recta que «toca sin cortar». En algunas funciones una tangente puede atravesar el gráfico. Su característica esencial es ser la posición límite de secantes cercanas y representar la dirección local.

Para f(x) = x² en x = 2, la pendiente límite es 4. La recta que pasa por (2, 4) con esa pendiente es:

06 · Dos escalas del cambio

Promedio e instantáneo no responden lo mismo

En una función lineal ambas razones coinciden porque la pendiente es constante. En una función curva, una razón promedio puede diferir considerablemente de la razón instantánea en cualquiera de los extremos.

07 · Interpretación física

Del velocímetro al modelo matemático

Si s(t) representa la posición de un objeto, la velocidad promedio entre t y t + h es:

Para conocer la velocidad en el instante t, reducimos el intervalo temporal. Consideremos s(t) = 5t² metros y el instante t = 3 s:

Cuando h se acerca a cero, las velocidades promedio se aproximan a 30 m/s. Esta es la velocidad instantánea sugerida por el modelo en t = 3 s.

08 · Aproximación bilateral

Acercarse desde la derecha y desde la izquierda

Para que exista una única razón instantánea en un punto interior del dominio, las pendientes deben aproximarse al mismo valor usando incrementos positivos y negativos.

En la función f(x) = |x| alrededor de 0, las secantes de la derecha tienen pendiente 1 y las de la izquierda tienen pendiente −1. No se aproximan a un mismo número. Gráficamente aparece una esquina, y no hay una única dirección tangente.

Este ejemplo anticipa que una función puede ser continua y aun así no poseer cambio instantáneo bien definido en ciertos puntos.

09 · Exploración interactiva

Laboratorio: acercar la secante

Elegí una función y el lado de aproximación. Al aumentar el nivel, el valor absoluto de h se reduce diez veces y el punto Q se acerca al punto fijo P.

La curva amarilla representa la función, la recta violeta es la secante y la línea coral muestra la dirección límite sugerida. Q se acerca a P sin coincidir con él.

Preguntas para explorar

1. En el modelo cuadrático, compará los resultados desde ambos lados.
2. En la función cúbica, aumentá el nivel y observá hacia qué pendiente se estabiliza la secante.
3. En la función seno, verificá que los cocientes se acercan a 1.
4. En |x|, compará izquierda y derecha. ¿Por qué no aparece un único valor?

10 · Implementación

Generar una tabla de cocientes incrementales

Podemos evaluar secantes con incrementos positivos y negativos cada vez menores. El código explora la tendencia, pero no sustituye una justificación matemática:

function cocienteIncremental(f, a, h) {
  if (h === 0) throw new Error("h debe ser distinto de cero");
  return (f(a + h) - f(a)) / h;
}

function explorarCambioLocal(f, a, niveles = 5) {
  const filas = [];

  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    filas.push({
      h,
      derecha: cocienteIncremental(f, a, h),
      izquierda: cocienteIncremental(f, a, -h)
    });
  }

  return filas;
}

const f = x => x ** 2;
console.log(explorarCambioLocal(f, 2));

Las columnas se aproximan a 4 desde lados opuestos. Conservar h en cada fila permite relacionar la precisión observada con el tamaño del intervalo.

Detectar desacuerdo entre lados

function compararLados(f, a, h = 1e-5) {
  if (h <= 0) throw new Error("h debe ser positivo");

  const derecha = (f(a + h) - f(a)) / h;
  const izquierda = (f(a - h) - f(a)) / -h;

  return {
    derecha,
    izquierda,
    diferencia: Math.abs(derecha - izquierda)
  };
}

console.log(compararLados(x => Math.abs(x), 0));

Para |x| en 0, el resultado derecho es 1, el izquierdo es −1 y la diferencia es 2. Reducir h no elimina el desacuerdo.

11 · Alcance computacional

Un h menor no siempre produce un cálculo mejor

Matemáticamente analizamos qué sucede cuando h tiende a cero. En una computadora, los números tienen precisión finita. Si h es demasiado pequeño, a + h puede almacenarse como si fuera igual a a.

const a = 2;
const h = 1e-20;

console.log(a + h === a); // true
console.log(((a + h) ** 2 - a ** 2) / h); // 0

Ese cero no representa la tendencia matemática correcta; es consecuencia del redondeo. En este tema usamos el código para visualizar el proceso conceptual. El diseño y análisis de métodos confiables de diferenciación numérica se estudiará en el curso de Cálculo Numérico.

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: simplificar un cociente

Para f(x) = 3x² y a = 1, simplificá [f(1 + h) − f(1)]/h con h ≠ 0. Indicá su tendencia cuando h → 0.

Ejercicio 2: interpretar una tabla

Las pendientes secantes alrededor de un punto son 2,9, 2,99 y 2,999 desde la izquierda, y 3,1, 3,01 y 3,001 desde la derecha. ¿Qué cambio instantáneo sugieren?

Ejercicio 3: velocidad instantánea

La posición de un objeto es s(t) = 2t² + 1 metros. Usá el cociente incremental para encontrar la velocidad sugerida en t = 4 s.

Ejercicio 4: analizar una esquina

Para f(x) = |x − 2|, calculá el cociente incremental en a = 2 con h > 0 y con h < 0.

Ejercicio 5: completar el explorador

Completá la expresión que calcula la pendiente secante.

function explorar(f, a, pasos) {
  return pasos.map(h => ({
    h,
    pendiente: null // Reemplazar con el cociente incremental
  }));
}

function explorar(f, a, pasos) {
  return pasos.map(h => {
    if (h === 0) throw new Error("h no puede ser cero");

    return {
      h,
      pendiente: (f(a + h) - f(a)) / h
    };
  });
}

const f = x => x ** 2;
console.log(explorar(f, 2, [1, 0.1, 0.01, -0.01, -0.1]));

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema expresaremos estas ideas mediante la definición de derivada en un punto y aprenderemos a decidir rigurosamente cuándo esa derivada existe.