Definición de derivada en un punto

01 · Formalización

Nombrar el límite de los cocientes

En el tema anterior observamos pendientes de secantes mientras el segundo punto se acercaba al primero. Si esas pendientes se aproximan a un único número finito, llamamos a ese número derivada de la función en el punto.

La expresión se lee: «la derivada de f en a es el límite, cuando h tiende a cero, del cociente incremental». El símbolo f′(a) representa un número asociado al punto a.

02 · Anatomía de la definición

Qué representa cada componente

El límite convierte una colección de razones promedio en una cantidad local. No elimina el intervalo desde el comienzo: estudia cómo se comporta el cociente mientras el intervalo se reduce.

03 · Una forma equivalente

Usar x como punto móvil

También podemos llamar x a la entrada móvil. Como h = x − a, cuando h → 0 tenemos x → a. La definición equivalente es:

Las dos formas producen la misma derivada. Elegiremos la que facilite más el cálculo o la interpretación del problema.

04 · Primeros principios

Un método para aplicar la definición

Calcular «desde primeros principios» significa comenzar con la definición, sin utilizar todavía reglas de derivación.

1. 1
   Evaluar f(a + h)

   Sustituir cuidadosamente la entrada de la función por la expresión completa a + h.

2. 2
   Formar la diferencia

   Restar f(a) y simplificar el numerador respetando paréntesis y signos.

3. 3
   Dividir por h

   Factorizar o racionalizar para eliminar el factor que causa la forma 0/0, manteniendo h ≠ 0.

4. 4
   Calcular el límite

   Estudiar la expresión simplificada cuando h → 0.

5. 5
   Interpretar

   Comunicar el valor, el punto y las unidades correspondientes.

05 · Ejemplo algebraico

Derivada de x² en un punto cualquiera

Sea f(x) = x² y fijemos una entrada cualquiera a. Aplicamos la definición:

Desarrollamos el cuadrado:

Factorizamos h y simplificamos para h ≠ 0:

Finalmente calculamos el límite:

Así, la derivada de x² en a = 3 es 6; en a = −2 es −4; y en a = 0 es 0. La entrada elegida determina el valor local.

06 · Cambio constante

Derivada de una función lineal

Sea f(x) = mx + c. Para no confundir el coeficiente m con el incremento h, conservamos ambas letras:

Los términos ma y c se cancelan:

El cociente ya vale m para cualquier incremento no nulo. Por eso su límite también es m y f′(a) = m en todos los puntos.

En particular, una función constante f(x) = c tiene pendiente 0 y derivada 0: su salida no cambia cuando cambia la entrada.

07 · Otro tipo de simplificación

Derivada de 1/x desde la definición

Consideremos f(x) = 1/x en un punto a ≠ 0:

Unificamos las fracciones del numerador:

Dividimos por h y simplificamos:

Cuando h → 0, obtenemos:

Este ejemplo muestra que no siempre se factoriza un polinomio. A veces debemos operar fracciones o, en expresiones con raíces, racionalizar.

08 · Cuándo existe

Un valor finito y común a ambos lados

Para afirmar que f′(a) existe como número real en un punto interior del dominio deben cumplirse varias condiciones:

• La función está definida en a: la fórmula utiliza explícitamente f(a).
• Hay entradas del dominio cercanas: necesitamos formar cocientes con puntos vecinos.
• Coinciden los límites laterales: incrementos positivos y negativos deben conducir al mismo valor.
• El valor límite es finito: un crecimiento sin cota no es una derivada real finita.

Cuando alguna condición falla, decimos que la función no es derivable en ese punto. Esto no implica que la función sea inútil o esté mal definida: describe una propiedad local concreta.

09 · Ejemplos de no derivabilidad

Esquinas, oscilaciones y pendientes sin cota

Los tres gráficos pueden ser continuos en el punto señalado. Por lo tanto, continuidad y derivabilidad no son equivalentes. La relación entre ambas propiedades se estudiará específicamente en el tema 10.

10 · Significado del resultado

La derivada conserva unidades y contexto

La derivada es el límite de un cociente de cambios, de modo que sus unidades son las unidades de salida divididas por las de entrada:

Posición respecto del tiempo

La derivada se expresa en metros por segundo y representa velocidad instantánea.

Temperatura respecto del tiempo

Se expresa en grados por minuto y mide calentamiento o enfriamiento local.

Latencia respecto de usuarios

Se expresa en milisegundos por usuario cerca de una carga determinada.

Memoria respecto del tiempo

Se expresa en megabytes por segundo y describe asignación o liberación local.

El signo también debe interpretarse: una derivada positiva indica aumento local, una negativa indica disminución local y una derivada cero indica una dirección horizontal en ese punto. No permite, por sí sola, describir toda la función.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: probar la existencia del límite

El laboratorio calcula simultáneamente los cocientes incrementales con h y −h. Reducí la distancia y compará si ambos valores se estabilizan juntos.

La recta violeta representa una secante desde la izquierda y la coral una secante desde la derecha. Ambas comparten el punto fijo.

Preguntas para explorar

1. En x², aumentá el nivel. ¿Cómo cambia la diferencia entre ambos cocientes?
2. En 1/x, comprobá que ambos lados se acercan a −1.
3. En |x|, explicá por qué reducir |h| no acerca los dos resultados.
4. En la función oscilatoria, mové lentamente el nivel. ¿Aparece una tendencia estable?

12 · Implementación

Explorar la definición con JavaScript

Una función puede generar cocientes laterales para varios tamaños de incremento:

function cociente(f, a, h) {
  if (h === 0) throw new Error("h debe ser distinto de cero");
  return (f(a + h) - f(a)) / h;
}

function tablaDeDerivacion(f, a, niveles = 5) {
  return Array.from({ length: niveles }, (_, indice) => {
    const h = 10 ** -(indice + 1);
    return {
      h,
      izquierda: cociente(f, a, -h),
      derecha: cociente(f, a, h)
    };
  });
}

console.log(tablaDeDerivacion(x => x ** 2, 2));

Una conjetura, no una demostración

Podemos promediar los últimos valores laterales y medir su desacuerdo. El resultado es una estimación experimental:

function estimarDerivada(f, a, h = 1e-5) {
  if (h <= 0) throw new Error("h debe ser positivo");

  const izquierda = (f(a - h) - f(a)) / -h;
  const derecha = (f(a + h) - f(a)) / h;

  return {
    estimacion: (izquierda + derecha) / 2,
    desacuerdo: Math.abs(derecha - izquierda),
    h
  };
}

console.log(estimarDerivada(x => x ** 2, 2));
console.log(estimarDerivada(x => Math.abs(x), 0));

Para x², el desacuerdo disminuye al reducir h. Para |x|, permanece igual a 2. Aun así, ninguna cantidad finita de muestras demuestra por sí sola la existencia del límite.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios desde la definición

Ejercicio 1: una función lineal

Usá la definición para calcular la derivada de f(x) = 5x − 3 en a = 7.

Ejercicio 2: una cuadrática desplazada

Calculá desde primeros principios la derivada de f(x) = x² + 4 en a = 3.

Ejercicio 3: forma alternativa

Usá lim(x → a)[f(x) − f(a)]/(x − a) para hallar la derivada de f(x) = x² en a = −1.

Ejercicio 4: decidir existencia

Para la función f(x) = |x − 3|, analizá los cocientes laterales en a = 3.

Ejercicio 5: implementar la definición

Completá la función para devolver los cocientes de ambos lados.

function cocientesLaterales(f, a, h) {
  if (h <= 0) throw new Error("h debe ser positivo");

  return {
    izquierda: null, // completar
    derecha: null    // completar
  };
}

function cocientesLaterales(f, a, h) {
  if (h <= 0) throw new Error("h debe ser positivo");

  return {
    izquierda: (f(a - h) - f(a)) / -h,
    derecha: (f(a + h) - f(a)) / h
  };
}

console.log(cocientesLaterales(x => x ** 2, 2, 0.001));

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema profundizaremos en la interpretación geométrica de la derivada, construiremos la recta tangente y estudiaremos qué información local aporta.