Interpretación geométrica: la recta tangente

01 · Significado geométrico

La derivada es una pendiente local

En el tema anterior definimos la derivada en un punto mediante el límite del cociente incremental:

Para cada h ≠ 0, el cociente es la pendiente de una secante que pasa por P = (a, f(a)) y Q = (a + h, f(a + h)). Si esas pendientes se aproximan a un número finito, ese número es la pendiente de la recta tangente en P.

02 · Más que tocar una curva

Qué caracteriza realmente a una tangente

En geometría elemental suele decirse que una tangente «toca una curva en un solo punto». Esa descripción funciona para una circunferencia, pero no sirve como definición general para gráficos de funciones.

La tangente en x = a se caracteriza por dos propiedades:

• Pasa por el punto (a, f(a)).
• Su pendiente es el límite de las pendientes secantes cuando el segundo punto se acerca al primero.

Una tangente puede cortar nuevamente la curva, atravesarla en el mismo punto o coincidir con ella en muchos puntos. Lo importante es que representa su dirección local.

03 · Ecuación fundamental

Construir la recta tangente

Una recta queda determinada por un punto y una pendiente. Conocemos el punto (a, f(a)) y la pendiente f′(a). Usando la forma punto-pendiente:

También podemos despejar y:

Esta forma muestra claramente los dos datos necesarios:

f(a)

Altura del punto donde se apoya la tangente.

f′(a)

Pendiente que determina su dirección e inclinación.

04 · Ejemplo completo

Tangente a f(x) = x² en x = 2

Desde la definición obtuvimos que para f(x) = x² se cumple f′(a) = 2a. En a = 2:

Podemos comprobar que la recta pasa por el punto correcto: si x = 2, entonces y = 4. Además, su pendiente es 4.

La diferencia se hace pequeña cerca del punto de tangencia. Esto expresa que, observada con suficiente aumento, una función derivable se parece localmente a su tangente.

05 · Leer la derivada en el gráfico

Signo y magnitud de la pendiente

El valor absoluto |f′(a)| mide la intensidad del cambio por unidad de entrada. Una derivada −10 describe un descenso más pronunciado que una derivada −0,2.

Como en las secantes, la apariencia visual depende de la escala de los ejes. Una lectura cuantitativa debe basarse en el valor de la pendiente y sus unidades.

06 · Pendiente cero

Una tangente horizontal no cuenta toda la historia

Si f′(a) = 0, la tangente tiene ecuación y = f(a). La función no presenta cambio lineal de primer orden en ese punto, pero eso no significa que sea constante en un intervalo.

Ambas funciones tienen la misma tangente en el origen, pero su comportamiento global es diferente. Por eso una derivada igual a cero no permite concluir por sí sola que haya un máximo o un mínimo.

07 · Tangentes que cruzan la curva

La condición local permite intersecciones

Para f(x) = x³ en a = 1, el cálculo desde la definición produce f′(1) = 3. La tangente es:

La diferencia entre la función y la recta se factoriza así:

Además de tocar en x = 1, la recta vuelve a cortar la curva en x = −2. Esto no modifica su condición de tangente en x = 1, porque esa condición describe lo que ocurre localmente alrededor del punto elegido.

08 · Cuando la geometría cambia

Esquinas y tangentes verticales

Una tangente vertical puede describirse mediante una recta x = a, pero su pendiente no es un número real. Por eso la derivada ordinaria f′(a) no existe como valor finito.

09 · Dirección perpendicular

La recta normal

La recta normal pasa por el mismo punto y es perpendicular a la tangente. Si f′(a) ≠ 0, su pendiente es el opuesto del recíproco:

Para f(x) = x² en a = 2, la tangente tiene pendiente 4 y la normal tiene pendiente −1/4:

Si la tangente es horizontal, la normal es vertical y se escribe x = a. Las normales aparecen al orientar objetos respecto de una superficie, calcular reflexiones y construir geometría en gráficos, aunque aquí solo necesitamos su relación elemental con la tangente.

10 · Representación computacional

Construir una tangente mediante una función

Si conocemos f(a) y f′(a), podemos crear una función que represente la recta tangente:

function crearTangente(f, derivada, a) {
  const fa = f(a);
  const pendiente = derivada(a);

  if (!Number.isFinite(fa) || !Number.isFinite(pendiente)) {
    throw new Error("El punto y la pendiente deben ser finitos");
  }

  return {
    punto: { x: a, y: fa },
    pendiente,
    evaluar: x => fa + pendiente * (x - a)
  };
}

const f = x => x ** 2;
const derivada = x => 2 * x;
const tangente = crearTangente(f, derivada, 2);

console.log(tangente.pendiente); // 4
console.log(tangente.evaluar(2)); // 4
console.log(tangente.evaluar(2.1)); // 4.4

La función evaluar implementa directamente f(a) + f′(a)(x − a). En este ejemplo, cerca de 2, sus resultados son próximos a los de x².

Medir la diferencia local

const f = x => x ** 2;
const a = 2;
const fa = f(a);
const pendiente = 4;
const tangente = x => fa + pendiente * (x - a);

for (const h of [1, 0.5, 0.1, 0.01]) {
  const x = a + h;
  console.log({
    h,
    funcion: f(x),
    tangente: tangente(x),
    diferencia: Math.abs(f(x) - tangente(x))
  });
}

Para esta función, al dividir h por diez, la diferencia se divide por cien: vale exactamente h². La tangente captura el cambio lineal y deja un error de orden menor cerca del punto.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: mover la tangente

Elegí una función y desplazá el punto a. El laboratorio calcula el punto, la pendiente y la ecuación de la tangente, y muestra cómo la recta gira mientras recorre la curva.

La curva amarilla representa la función y la recta coral representa su tangente en el punto seleccionado.

Preguntas para explorar

1. En x², desplazá el punto desde valores negativos hasta positivos. ¿Cuándo es horizontal la tangente?
2. En x³, observá la tangente en a = 0. ¿La función deja de crecer?
3. En 1/x, compará las pendientes a ambos lados del origen.
4. En la función lineal, explicá por qué la tangente coincide siempre con el gráfico.

12 · Gráficos digitales

Una tangente depende de la escala visible

Un gráfico en pantalla está formado por una cantidad finita de píxeles. Si mostramos un intervalo muy amplio, la curva y la tangente pueden parecer iguales durante una gran distancia; si ampliamos demasiado, los errores de redondeo o trazado pueden hacerse visibles.

Para dibujar una tangente de manera estable conviene:

• calcular el punto y la pendiente antes de generar los extremos de la recta;
• usar la misma transformación de coordenadas para la curva y la tangente;
• recortar las líneas al área visible del gráfico;
• mostrar numéricamente la pendiente para no depender solo de la apariencia.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: construir una tangente

Una función cumple f(3) = 7 y f′(3) = −2. Encontrá la ecuación de su tangente en x = 3.

Ejercicio 2: verificar el punto

Para f(x) = x² en a = −1, sabemos que f′(−1) = −2. Construí la tangente y comprobá que pasa por el gráfico.

Ejercicio 3: leer el signo

En tres puntos de una curva las derivadas son 4, 0 y −1,5. Describí la dirección de cada tangente.

Ejercicio 4: recta normal

Encontrá la normal a f(x) = x² en a = 1, sabiendo que f′(1) = 2.

Ejercicio 5: completar una función

Completá la expresión de la tangente.

function tangenteEn(f, derivada, a) {
  const fa = f(a);
  const m = derivada(a);

  return x => null; // completar
}

function tangenteEn(f, derivada, a) {
  const fa = f(a);
  const m = derivada(a);

  return x => fa + m * (x - a);
}

const tangente = tangenteEn(x => x ** 2, x => 2 * x, 2);
console.log(tangente(2));   // 4
console.log(tangente(2.1)); // 4.4

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema interpretaremos la derivada en un contexto físico mediante la velocidad instantánea y la relación entre posición, desplazamiento y tiempo.