Resistencia equivalente en paralelo

01 · Punto de partida

Mide menos que cualquiera de los dos

En el Tema 8 una fila de resistores se convirtió en uno solo sumando sus valores. Para las ramas de un circuito paralelo también existe un único resistor que las reemplaza, pero la cuenta es otra y el resultado sorprende la primera vez.

Ese valor es la resistencia equivalente en paralelo. En este tema vas a ver de dónde sale, cómo estimarlo sin calculadora y qué uso tiene. Vas a poder responder:

• ¿Cómo se calcula el equivalente de dos, tres o más ramas?
• ¿Por qué da siempre menos que la menor de las ramas?
• ¿Qué atajos hay para dos resistores, para varios iguales o para uno mucho mayor que el otro?
• ¿Cómo armo un valor que no tengo combinando resistores en paralelo?
• ¿Qué información se pierde al reemplazar las ramas por su equivalente?
• ¿Por qué un resistor medido con los dedos en las puntas, o sin sacarlo del circuito, da de menos?

02 · Definición

Qué significa «equivalente» en paralelo

La definición es la misma del Tema 8: el equivalente es el único resistor que, puesto en lugar del conjunto, le pide a la fuente la misma corriente. Lo que cambia es el conjunto: ya no es una fila, sino varias ramas entre los mismos dos puntos.

Con esa definición, el equivalente ya se puede calcular sin ninguna fórmula nueva: se resuelve el paralelo como en el Tema 11 y se divide la tensión por la corriente total. Para 470 Ω y 1 kΩ con 9 V, 9 V ÷ 28,15 mA = 319,7 Ω, que se redondea a 320 Ω. El resto del tema busca un camino más corto y, sobre todo, entender por qué da lo que da.

03 · Demostración

Por qué se suman las inversas

La regla sale de las dos reglas del Tema 11 y de la Ley de Ohm. No hay que creerla: se deduce en cuatro pasos.

1. 1
   La tensión es la misma en todas las ramas.

   Es la primera regla del paralelo: sobre R1 y sobre R2 hay la misma tensión V.

2. 2
   Ley de Ohm en cada rama.

   I₁ = V ÷ R₁ e I₂ = V ÷ R₂.

3. 3
   La fuente entrega la suma.

   I = V ÷ R₁ + V ÷ R₂ = V × (1 ÷ R₁ + 1 ÷ R₂). La tensión, que es común, sale como factor.

4. 4
   Se compara con un solo resistor.

   Un único resistor que pida esa misma corriente cumple I = V × (1 ÷ R_eq). Los dos paréntesis tienen que ser iguales.

Con los números del ejemplo: 1 ÷ 470 + 1 ÷ 1000 = 0,002128 + 0,001 = 0,003128. El equivalente es la inversa de ese resultado: 1 ÷ 0,003128 = 319,7 Ω. Coincide con el valor obtenido dividiendo tensión por corriente.

04 · Concepto

Conductancia: lo que sí se suma

La inversa de la resistencia tiene nombre propio. Se llama conductancia, se escribe G y se mide en siemens (S). La resistencia dice cuánto se opone un componente al paso de la corriente; la conductancia, cuánto la deja pasar. Son la misma información, mirada desde el lado opuesto.

Con valores de este curso, el siemens resulta grande y se usa el milisiemens. Hay una coincidencia cómoda: la conductancia en mS es la inversa de la resistencia en kΩ, y multiplicada por los voltios da directamente miliamperios.

Con este vocabulario, la regla del paralelo deja de ser una fórmula rara y pasa a ser una suma común:

Para 470 Ω y 1 kΩ: 2,13 mS + 1 mS = 3,13 mS, que equivalen a 1 ÷ 3,13 = 0,32 kΩ. Y la corriente con 9 V sale de una multiplicación: 9 × 3,13 = 28,1 mA.

05 · Cálculo

Atajos para no usar la fórmula

La fórmula general vale siempre, pero casi todos los paralelos que vas a encontrar caen en alguno de tres casos que se resuelven de cabeza.

Dos resistores: producto sobre suma

Con solo dos ramas, la suma de inversas se puede reescribir sin fracciones:

Para 470 Ω y 1 kΩ: 470 × 1000 ÷ 1470 = 470 000 ÷ 1470 = 320 Ω. Es la cuenta que alguien había hecho por error en el Tema 8.

Varios iguales: dividir por la cantidad

N resistores iguales en paralelo aportan N veces la misma conductancia. El equivalente es el valor de uno dividido por la cantidad:

Dos de 1 kΩ dan 500 Ω, tres dan 333 Ω y cuatro dan 250 Ω: el valor que apareció al final del Tema 11.

Uno mucho mayor que el otro: casi no cuenta

Si una rama tiene k veces la resistencia de la otra, el equivalente es la menor multiplicada por k ÷ (k + 1). Dicho de otra forma: la rama grande le baja a la chica una fracción 1 ÷ (k + 1).

El símbolo ∥ se lee «en paralelo con». De la tabla salen dos reglas para estimar: una rama diez veces mayor mueve el resultado menos del 10 %, y una cien veces mayor se puede ignorar. Es el espejo de lo que pasaba en serie, donde el despreciable era el resistor mucho más chico.

06 · Propiedades

Cuatro propiedades del paralelo

Todas salen de que las conductancias son positivas y se suman. Sirven para estimar antes de calcular y para detectar un resultado equivocado sin rehacer la cuenta.

Siempre menor que la menor

La conductancia total es mayor que la de cualquier rama, así que la resistencia equivalente es menor que la de cualquiera. Es el control más rápido que existe: si el resultado supera a la rama más chica, la cuenta está mal.

Agregar una rama siempre lo baja

Cualquier rama nueva suma conductancia, por grande que sea su resistencia. El equivalente nunca sube por agregar caminos; a lo sumo, casi no se mueve.

Manda la rama más chica

La rama de menor resistencia es la que más conductancia aporta. Un solo resistor chico en paralelo con varios grandes fija, prácticamente, el valor del conjunto.

El orden no importa

La suma es conmutativa: no hay una «primera» rama. Tampoco importa cuál esté más cerca de la fuente.

El equivalente queda además acotado por abajo: no puede ser menor que la rama más chica dividida por la cantidad de ramas, que es lo que daría si todas fueran iguales a ella. Para 470 Ω y 1 kΩ, tiene que estar entre 235 Ω y 470 Ω.

Serie y paralelo: reglas espejo

¿Y la tolerancia?

Igual que en serie, no se acumula. Si todos los resistores son del ±5 %, el peor caso es que todos estén un 5 % arriba o todos un 5 % abajo, y entonces el equivalente también se corre un 5 %. Un paralelo de resistores del 5 % es un equivalente del 5 %.

07 · Aplicaciones

Para qué sirve

Fabricar un valor

La serie servía para subir un valor; el paralelo sirve para bajarlo. Entre las dos se puede llegar a casi cualquier resistencia con los valores normalizados del Tema 5.

Cuando ya tenés un resistor y querés saber qué ponerle al lado para llegar a un valor, se despeja de la fórmula de dos resistores:

Para bajar un resistor de 1 kΩ a 750 Ω: 1000 × 750 ÷ 250 = 3 kΩ. El valor normalizado más cercano, 3,3 kΩ, da 767 Ω: un 2,3 % por encima. La fórmula solo tiene solución si el valor buscado es menor que el resistor que ya tenés; si no, el paralelo no sirve y hay que ir a la serie.

Repartir el calor

Un único resistor de 500 Ω conectado a 9 V disipa 81 ÷ 500 = 162 mW: el 65 % de 1/4 W, por encima de la zona cómoda. Dos de 1 kΩ en paralelo hacen el mismo trabajo y disipan 81 mW cada uno, el 32 %.

Ese reparto parejo vale solo entre resistores iguales. Con valores distintos, cada rama disipa V² ÷ R: en paralelo, la rama de menor resistencia es la que más calienta, al revés que en una fila. El Tema 15 trabaja ese reparto con detalle.

08 · Alcance

Lo que conserva y lo que esconde

Reemplazar las ramas por su equivalente es resumir, y todo resumen pierde detalle. Estos dos diseños tienen el mismo equivalente, 500 Ω, con una pila de 9 V:

La tensión de cada rama, en cambio, no se pierde: en paralelo es la misma para todas y es la del equivalente. Es la diferencia con la serie, donde lo que desaparecía eran justamente las tensiones internas.

09 · Método

Colapsar, resolver, expandir

Es el mismo viaje de ida y vuelta del Tema 8, con las operaciones cambiadas. Con una fuente de 12 V y ramas de 1 kΩ, 2,2 kΩ y 4,7 kΩ:

1. 1
   Colapsar.

   Se suman las conductancias: 1 + 0,455 + 0,213 = 1,667 mS. El equivalente es 1 ÷ 1,667 = 600 Ω, menor que la rama de 1 kΩ.

2. 2
   Resolver el circuito simple.

   Fuente y un solo resistor: 12 V ÷ 600 Ω = 20,0 mA.

3. 3
   Expandir.

   La tensión de cada rama original es la de la fuente: 12 mA, 5,45 mA y 2,55 mA.

4. 4
   Verificar.

   12 + 5,45 + 2,55 = 20,0 mA. El viaje de vuelta cierra con el de ida.

Cuando el dato es la tensión, como acá, el paso por el equivalente se puede evitar: alcanza con calcular cada rama y sumar, como en el Tema 11. Colapsar se vuelve imprescindible cuando el dato es la corriente que entra al conjunto, o cuando el paralelo es solo una parte de un circuito más grande.

Cuando lo que se conoce es la corriente

Supongamos que al paralelo de 470 Ω y 1 kΩ le llegan 30 mA y no se conoce la tensión:

Las partes son 68 % y 32 %, y salen también de un cociente directo: la fracción de la corriente que toma una rama es R_eq ÷ R de esa rama. Es el espejo de la fracción R ÷ R_eq que repartía la tensión en el Tema 9, y se la conoce como divisor de corriente; el Tema 23 la desarrolla.

En los circuitos mixtos del Tema 13 vas a aplicar este esquema varias veces seguidas: cada grupo en paralelo se colapsa a un resistor, que a su vez queda en serie con otros.

10 · Realidad

Los paralelos que nadie puso

En el Tema 8, todo lo que la corriente tenía que atravesar sumaba resistencia. La versión paralela de esa idea es igual de práctica: todo camino alternativo entre los mismos dos puntos baja la resistencia, aunque no figure en el esquema.

Que el camino oculto importe depende de la proporción, como siempre. Suponiendo 500 kΩ entre mano y mano:

Es la tabla de la sección 05 leída al revés: un camino cien veces mayor que el resistor no se nota, y uno comparable arruina la medición. Por eso los resistores de valor alto se miden sin tocar las partes metálicas de las puntas.

11 · Verificación

Medir un equivalente en paralelo

Con el circuito sin alimentación y el selector en resistencia, se apoya una punta en cada uno de los dos puntos comunes. La lectura es el equivalente de todo lo que hay entre ellos.

Los resistores se miden sueltos antes de montarlos: una vez en paralelo, el multímetro ya no puede distinguir uno del otro. Hay además una segunda forma de obtener el equivalente, con el circuito funcionando: dividir la tensión medida por la corriente total. En la verificación del Tema 11, 8,62 V ÷ 27,2 mA = 317 Ω. Las dos mediciones coinciden.

El equivalente delata a la rama abierta

En el Tema 11 quedó pendiente un problema: una rama abierta no se ve midiendo tensiones. El equivalente lo resuelve, porque al faltar un camino la resistencia medida sube, y cuánto sube indica qué rama es. Para un paralelo de 470 Ω, 1 kΩ y 2,2 kΩ:

Si da más de lo esperado

Falta un camino: una rama abierta o un contacto que no cierra. Cuanto más chica es la rama que falta, más sube la lectura.

Si da menos de lo esperado

Sobra un camino: un componente que no tuviste en cuenta, dos filas de la protoboard unidas o tus dedos en las puntas.

Si da cero

Los dos puntos comunes están unidos por un cortocircuito. No conectes la fuente hasta encontrarlo.

12 · Software

El equivalente en Python

Colapsar, resolver y expandir

def equivalente_paralelo(ramas):
    """Suma las conductancias de las ramas y vuelve a resistencia."""
    g_total = sum(1 / r for r in ramas)          # en siemens
    return 1 / g_total

def resolver_paralelo(v_fuente, ramas):
    r_eq = equivalente_paralelo(ramas)                           # colapsar
    assert r_eq <= min(ramas) + 1e-9, "Imposible: mayor que la menor rama"
    i_total = v_fuente / r_eq                                    # resolver
    print(f"{ramas} con {v_fuente} V")
    print(f"  G = {1000 / r_eq:.3f} mS  Req = {r_eq:.1f} ohm  I total = {i_total * 1000:.2f} mA")
    suma = 0.0
    for n, r in enumerate(ramas, 1):                             # expandir
        i = v_fuente / r
        suma += i
        print(f"  R{n} = {r:>5} ohm  {1000 / r:6.3f} mS  {i * 1000:6.2f} mA  {r_eq / r * 100:5.1f} %")
    assert abs(suma - i_total) < 1e-9, "La vuelta no cierra con la ida"
    return r_eq

resolver_paralelo(9, [470, 1000])
resolver_paralelo(12, [1000, 2200, 4700])

Compará con sum(resistencias) del Tema 8: es la misma suma, hecha sobre las inversas. La última columna es R_eq ÷ R: la parte de la corriente de cada rama.

Los atajos, contra la fórmula general

def producto_sobre_suma(a, b):
    return a * b / (a + b)

print("Dos resistores: atajo y formula general")
for a, b in [(470, 1000), (1000, 1000), (470, 4700), (470, 47000)]:
    atajo = producto_sobre_suma(a, b)
    general = equivalente_paralelo([a, b])
    baja = (1 - atajo / min(a, b)) * 100
    print(f"  {a:>5} || {b:>5} = {atajo:6.1f} ohm (general {general:6.1f})  baja {baja:4.1f} % a la menor")

print("N resistores iguales de 1000 ohm: R / N")
for n in range(1, 6):
    print(f"  {n}: {equivalente_paralelo([1000] * n):6.1f} ohm")

print("Producto sobre suma con tres resistores")
mal = 470 * 1000 * 2200 / (470 + 1000 + 2200)
bien = producto_sobre_suma(producto_sobre_suma(470, 1000), 2200)
print(f"  mal (los tres de una vez): {mal:.0f} ohm")
print(f"  bien (de a dos): {bien:.1f} ohm, igual que {equivalente_paralelo([470, 1000, 2200]):.1f}")

Fabricar un valor con lo que hay en la caja

E12 = [10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68, 82]
CAJA = [base * decada for decada in (10, 100, 1000) for base in E12]   # de 100 ohm a 82 k

def fabricar(objetivo, cuantas=4):
    """Las mejores combinaciones de dos resistores de la caja en paralelo."""
    opciones = []
    for i, a in enumerate(CAJA):
        for b in CAJA[i:]:
            r_eq = a * b / (a + b)
            error = (r_eq - objetivo) / objetivo * 100
            opciones.append((abs(error), error, a, b, r_eq))
    opciones.sort()
    print(f"Objetivo: {objetivo} ohm")
    for _, error, a, b, r_eq in opciones[:cuantas]:
        print(f"  {a:>5} || {b:>5} = {r_eq:7.1f} ohm ({error:+.1f} %)")

def el_que_falta(r1, objetivo):
    """Que resistor poner en paralelo con r1 para llegar al objetivo."""
    assert objetivo < r1, "En paralelo solo se puede bajar"
    return r1 * objetivo / (r1 - objetivo)

fabricar(300)
fabricar(640)
print(f"Para bajar 1000 ohm a 750: {el_que_falta(1000, 750):.0f} ohm")

Cambiá la última línea por el_que_falta(1000, 1200): el assert te recuerda que en paralelo el valor no puede subir.

El efecto de un paralelo oculto

def medir_con_camino_oculto(valores, oculto, nombre):
    print(f"{nombre}: {oculto / 1000:.0f} k en paralelo")
    for r in valores:
        leido = equivalente_paralelo([r, oculto])
        print(f"  resistor de {r:>8} ohm -> lee {leido:9.0f} ohm ({(leido - r) / r * 100:+.1f} %)")

valores = [1000, 10000, 100000, 1000000]
medir_con_camino_oculto(valores, 500e3, "Dedos en las puntas")
medir_con_camino_oculto(valores, 10e6, "Multimetro midiendo tension")

13 · Simulador

Ramas y su equivalente

Un paralelo de hasta cuatro ramas, cada una con su interruptor, y dos vistas. En la vista real ves cada rama con su conductancia y su corriente. En la vista equivalente el conjunto se convierte en un único resistor: fijate qué números cambian al pasar de una a otra, y cuáles no.

Recorrido guiado (7 minutos)

1. 1
   Mirá la vista real y pasá a la equivalente.

   Las ramas de 470 Ω y 1 kΩ se convierten en un resistor de 320 Ω. La corriente de la fuente y la potencia total no se mueven; el detalle de cada rama desaparece.

2. 2
   Volvé a la vista real y conectá R3 y después R4.

   Con 2,2 kΩ el equivalente baja a 279 Ω. Con 10 kΩ, a 272 Ω: esa rama aporta menos del 3 % de la conductancia.

3. 3
   Cambiá R4 a 100 Ω.

   El equivalente cae a 74 Ω. Una sola rama aporta el 74 % de la conductancia y se lleva el 74 % de la corriente: en paralelo manda la más chica.

4. 4
   Poné las cuatro ramas en 1 kΩ y conectalas de a una.

   1 kΩ, 500 Ω, 333 Ω, 250 Ω: el valor de una dividido por la cantidad.

5. 5
   Dejá solo R1 y R2 en 1 kΩ, y pasá a la vista equivalente.

   500 Ω. Ahora desconectá esas dos y conectá tres ramas de 1,5 kΩ: en pantalla no cambia nada. Desde afuera no hay forma de saber cuál de los dos conjuntos está adentro.

6. 6
   Cambiá la fuente a 12 V.

   La corriente sube; el equivalente no. La resistencia equivalente es una propiedad de los resistores, no de la fuente.

Preguntas para pensar

1. En el paso 2, la rama de 10 kΩ casi no cambió el equivalente. ¿Cómo lo hubieras anticipado sin hacer la cuenta?
2. En el paso 5 cambiaste todas las ramas y la fuente «no se enteró». ¿Qué medición sí delataría el cambio?
3. Tenés cuatro resistores de 1 kΩ y 1/4 W en paralelo. ¿Qué equivalente forman, cuánta potencia soporta el conjunto y con qué tensión máxima?

14 · Entrenador

Entrenador de equivalentes

Ocho preguntas al azar sobre un banco de veinte: la regla, los atajos, estimaciones, conductancias y qué pasa cuando las ramas cambian.

7 u 8 aciertos

Calculás y estimás equivalentes en paralelo sin confundirlos con los de la serie. Podés pasar al Tema 13.

6 o menos

Volvé a jugar: las preguntas cambian. Antes de calcular, acotá: el resultado tiene que quedar por debajo de la rama más chica.

15 · Mirada de programador

Capacidad agregada

Un conjunto de ramas se parece a un grupo de servidores detrás de un balanceador. Lo que se suma no es el costo de cada uno, sino su capacidad: la conductancia es el rendimiento de cada rama, y la resistencia, su inversa.

Hay además una fórmula que quizá ya conozcas con otro nombre. «Producto sobre suma» es la mitad de la media armónica, la misma que aparece en la métrica F1 de un clasificador (2 × precisión × exhaustividad ÷ suma) o al promediar velocidades. Todas responden a la misma situación: magnitudes que no se pueden sumar directamente, pero cuyas inversas sí.

Y en código, serie y paralelo son la misma función aplicada a distintas unidades: sum(rs) en un caso y 1 / sum(1 / r for r in rs) en el otro. Elegir la representación en la que la operación es una suma simplifica el problema, igual que al pasar a logaritmos para convertir productos en sumas.

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de equivalente en paralelo

Ejercicio 1: colapsar y expandir

Una pila de 9 V alimenta tres resistores en paralelo, de 330 Ω, 1 kΩ y 2,2 kΩ. Calculá el equivalente sumando conductancias, la corriente de la fuente y la corriente de cada rama. Verificá que la vuelta cierre.

Ejercicio 2: de la corriente al equivalente

Una fuente de 12 V entrega 30 mA a dos resistores en paralelo. Uno es de 680 Ω. ¿Cuál es el equivalente del conjunto? ¿Cuánto vale el otro resistor?

Ejercicio 3: resultados imposibles

Tres personas calculan paralelos y obtienen: 1470 Ω para 470 Ω ∥ 1 kΩ; 520 Ω para 470 Ω ∥ 4,7 kΩ; y 0,0031 Ω para 470 Ω ∥ 1 kΩ. Sin rehacer las cuentas, ¿por qué los tres están mal? ¿Qué error cometió cada una?

Ejercicio 4: fabricar valores

En la caja solo quedan resistores de 1 kΩ y de 2,2 kΩ, varios de cada uno. Necesitás aproximadamente 700 Ω y 250 Ω. ¿Qué combinaciones en paralelo usás? Después: ¿qué resistor habría que poner en paralelo con uno de 1 kΩ para obtener 750 Ω?

Ejercicio 5: un paralelo oculto

Medís un resistor de 220 kΩ sosteniéndolo con los dedos contra las puntas y el multímetro marca 153 kΩ. ¿Qué resistencia hay entre tus manos? ¿Afectaría ese mismo camino a la medición de un resistor de 470 Ω?

Ejercicio 6: encontrar la rama abierta

Un paralelo tiene tres ramas, de 470 Ω, 1 kΩ y 2,2 kΩ. Con la pila conectada, las tres miden 9 V. Sin alimentación, entre los puntos comunes medís 387 Ω. ¿Cuánto esperabas medir? ¿Qué rama no conduce?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 13?

Podés avanzar si sos capaz de hacer esto sin mirar:

• Calcular 470 Ω ∥ 1 kΩ y decir entre qué valores tenía que caer el resultado.
• Dar de cabeza el equivalente de tres resistores de 330 Ω y el de 1 kΩ ∥ 10 kΩ.
• Explicar por qué en paralelo se suman las conductancias y en serie las resistencias.
• Decir qué resistor poner junto a uno de 1 kΩ para obtener 500 Ω.
• Nombrar dos cosas que el equivalente no permite conocer.

Ya sabés colapsar una fila y un conjunto de ramas. Los circuitos reales mezclan las dos cosas: ramas que contienen filas, y filas que contienen ramas. En el próximo tema, los circuitos mixtos, que se reducen por etapas aplicando estas dos reglas una y otra vez.