Mixtos: reducción por etapas

01 · Punto de partida

Ni serie ni paralelo

Ya sabés resolver una fila de resistores y un conjunto de ramas. Pero casi ningún circuito real es una cosa o la otra: son filas que contienen ramas, y ramas que contienen filas. Alcanza con agregar un componente a un circuito conocido para salir de los dos casos puros.

Es un circuito mixto, y no pide ninguna fórmula nueva: se resuelve aplicando por turnos las reglas del Tema 8 y del Tema 12. Lo que hay que aprender es en qué orden. En este tema vas a poder responder:

• ¿Cómo sé qué resistores están en serie y cuáles en paralelo dentro de un circuito mezclado?
• ¿Por dónde empiezo a reducir, y cuándo termino?
• Una vez que tengo el equivalente, ¿cómo recupero lo que pasa en cada resistor?
• ¿Por qué bajó la tensión del punto de unión al conectar el tercer resistor?
• ¿Cómo controlo cada paso sin esperar al resultado final?
• ¿Hay circuitos que no se pueden reducir de esta forma?

02 · Reconocer

Reconocer un par

Todo el método se apoya en una habilidad: distinguir cuándo dos resistores forman realmente una serie o un paralelo, y cuándo solo lo parecen. Las definiciones son las de los Temas 7 y 11, aplicadas con cuidado.

En el circuito de la escena, los resistores de 470 Ω y 1 kΩ siguen dibujados uno a continuación del otro. Pero en su punto de unión ahora está conectado el de 2,2 kΩ: ya no están en serie. La corriente que sale del primero se divide, y solo una parte pasa por el segundo.

03 · Método

El método, en cuatro pasos

1. 1
   Buscar un par verdadero.

   Dos o más resistores que estén en serie o en paralelo según las pruebas de la sección anterior. Suele convenir empezar por el grupo más alejado de la fuente.

2. 2
   Reemplazarlo por su equivalente.

   Suma si es una serie (Tema 8); suma de conductancias o producto sobre suma si es un paralelo (Tema 12). Al nuevo resistor se le pone un nombre.

3. 3
   Redibujar.

   Se dibuja el circuito con el equivalente en lugar del grupo. El dibujo nuevo es más simple y deja a la vista el par siguiente.

4. 4
   Repetir hasta un solo resistor.

   Con la fuente y un único resistor, la corriente total sale de la Ley de Ohm. Ahí termina la ida y empieza la vuelta.

Redibujar no es opcional

Cada etapa cambia qué está en serie y qué en paralelo. Un par que no existía en el circuito original aparece recién después de colapsar otro.

Guardar todos los dibujos

Los circuitos intermedios son el mapa del camino de vuelta. Sin ellos, el equivalente final solo sirve para conocer la corriente de la fuente.

El orden no cambia el resultado

Si en una etapa hay dos pares verdaderos, se puede empezar por cualquiera. Lo que no se puede es combinar un par aparente.

04 · Primer ejemplo

La ida: una fila dentro de un paralelo

Una pila de 9 V alimenta dos caminos. Uno es una fila formada por R1, de 470 Ω, y R2, de 1 kΩ. El otro es un único resistor, R3, de 2,2 kΩ.

1. 1
   Buscar un par.

   R1 y R2 comparten un punto al que no llega nada más: están en serie. R3 no está en paralelo con ninguno de los dos por separado.

2. 2
   Etapa 1: colapsar la serie.

   Ra = 470 + 1000 = 1470 Ω. Al redibujar, Ra y R3 quedan entre los mismos dos puntos.

3. 3
   Etapa 2: colapsar el paralelo.

   Req = 1470 × 2200 ÷ 3670 = 881 Ω. Es menor que 1470 Ω, como corresponde a un paralelo.

4. 4
   Resolver.

   9 V ÷ 881 Ω = 10,2 mA entrega la pila, y 9 V × 10,2 mA = 92 mW en total.

Hasta acá se sabe todo lo que ve la fuente y nada de lo que pasa adentro. Para eso está la vuelta.

05 · Camino inverso

La vuelta: expandir

Se recorren los dibujos en orden inverso. En cada paso se abre un equivalente y se reparte lo que tenía entre los resistores que lo formaban. Solo hay dos casos, y cada uno usa la regla de su conexión:

1. 1
   Punto de partida: Req.

   881 Ω con 9 V y 10,2 mA.

2. 2
   Abrir el paralelo (etapa 2).

   Ra y R3 reciben los 9 V. Ra: 9 ÷ 1470 = 6,12 mA. R3: 9 ÷ 2200 = 4,09 mA. Suman 10,2 mA.

3. 3
   Abrir la serie (etapa 1).

   R1 y R2 llevan los 6,12 mA de Ra. R1: 6,12 mA × 470 Ω = 2,88 V. R2: 6,12 mA × 1 kΩ = 6,12 V. Suman 9 V.

La fila de R1 y R2 quedó exactamente igual que en el Tema 7: mismas tensiones, misma corriente. R3 no le cambió nada, porque es una rama aparte conectada directamente a la fuente. Es la independencia de las ramas del Tema 11, ahora con una fila dentro de una de ellas.

06 · Segundo ejemplo

Un paralelo dentro de una fila

Los mismos tres resistores y la misma pila, conectados como en la escena inicial: R1 sale del positivo, y en el punto donde termina, que llamamos B, se conectan R2 y R3, los dos hacia GND.

Ahí está la respuesta a la escena inicial. Sin R3, el punto B estaba a 6,12 V. Al conectar R3, la parte inferior de la fila dejó de valer 1 kΩ y pasó a valer 687,5 Ω: le toca una porción menor de los 9 V. Conectar algo a un punto intermedio cambia la tensión de ese punto. Es el efecto de carga, que el Tema 22 estudia a fondo.

07 · Notación

Escribir un circuito en una línea

Todo circuito que se puede reducir se puede escribir como una expresión, usando + para «en serie con» y ∥ para «en paralelo con». Los paréntesis indican qué se agrupa primero. Los dos ejemplos son:

La expresión se evalúa como cualquier otra: de adentro hacia afuera. El paréntesis más interno es la primera etapa. El orden de las etapas, que en el dibujo había que descubrir, en la expresión está a la vista.

Los paréntesis son obligatorios

Las dos expresiones de arriba tienen los mismos símbolos en el mismo orden y describen circuitos distintos. Sin paréntesis, la expresión es ambigua.

Cada operación es una etapa

La cantidad de operaciones de la expresión es la cantidad de equivalentes que hay que calcular.

La vuelta recorre la expresión al revés

De afuera hacia adentro: se abre primero la última operación que se hizo.

Tres resistores, ocho circuitos

Con R1 de 470 Ω, R2 de 1 kΩ y R3 de 2,2 kΩ se pueden armar ocho circuitos distintos. Ordenados de mayor a menor equivalente:

La serie pura y el paralelo puro son los extremos, y los seis mixtos quedan en el medio. Las mismas tres piezas le pueden pedir a la pila entre 2,45 mA y 32,2 mA: un factor de trece, que depende solo de cómo se las conecta.

08 · Más etapas

Tres etapas: un circuito escalera

El método no cambia cuando hay más resistores: solo hay más dibujos. Una fuente de 12 V alimenta R1, de 1 kΩ. Donde termina R1 salen dos caminos hacia GND: R2, de 2,2 kΩ, y una fila formada por R3, de 1 kΩ, y R4, de 1,2 kΩ.

En la primera etapa no se podía empezar por R1: no está en serie con R2, porque en el punto que comparten sale además la fila de R3 y R4. Recién después de dos etapas aparece el par que lo incluye. Por eso conviene arrancar por el grupo más alejado de la fuente.

09 · Control

Controles en cada etapa

Un error en la primera etapa arruina todo lo que sigue. La ventaja del método es que cada paso se puede controlar por separado, con reglas que ya conocés.

Los dos últimos controles son independientes del camino que seguiste para resolver. Si cierran, el resultado es correcto aunque hayas dudado en alguna etapa. Son los mismos balances de tensión y de potencia de los Temas 4 y 9, y el anticipo de las leyes de Kirchhoff.

10 · Caso particular

Con LED en el circuito

Un LED no tiene una resistencia fija, así que no puede formar parte de un equivalente. Lo que se puede hacer depende de dónde esté.

11 · Límite

Cuando no hay ningún par

El método depende de que en cada etapa exista al menos un par verdadero. Casi siempre lo hay, pero no está garantizado. El caso más conocido es el puente: dos filas en paralelo, R1 con R2 y R3 con R4, y un quinto resistor que une los puntos medios de las dos.

Sin R5, el circuito es (R1 + R2) ∥ (R3 + R4) y se reduce en tres etapas. Con R5, no tiene ninguna. No es un circuito más difícil para este método: es un circuito fuera de su alcance. No se puede escribir con + y ∥.

12 · Verificación

Verificar un circuito mixto

En un circuito mixto no hace falta medir cada resistor. Alcanza con medir la tensión de cada punto de unión respecto de GND, como en el Tema 9: de esas pocas lecturas sale todo lo demás.

Todas las lecturas quedaron un 2 % por debajo de lo predicho, en la misma proporción: la pila entrega 8,82 V en lugar de 9 V. Cuando el desvío es parejo, el circuito está bien y lo que difiere es la fuente. Lo que hay que mirar es la relación entre B y A, que debería ser 0,594 y es 5,24 ÷ 8,82 = 0,594.

Si B da más alto de lo previsto

La parte de abajo tiene más resistencia que la calculada: R2 o R3 no están conectados, o uno es de mayor valor. Con R3 suelto, B vuelve a los 6,12 V de la serie.

Si B da más bajo

Hay más carga colgada de B que la prevista, o R1 es mayor de lo que creés.

Si el control de corrientes no cierra

La corriente que llega a B no coincide con la que sale: alguno de los tres resistores no tiene el valor con el que hiciste la cuenta.

13 · Software

La reducción en Python

Un circuito como expresión, reducido por etapas

def serie(*partes):
    return ("serie",) + partes

def paralelo(*partes):
    return ("paralelo",) + partes

def es_resistor(c):
    return c[0] not in ("serie", "paralelo")          # un resistor es (nombre, ohmios)

def reducir(c, nivel=0):
    """Equivalente de un circuito, de adentro hacia afuera, mostrando cada etapa."""
    if es_resistor(c):
        return c[1]
    valores = [reducir(parte, nivel + 1) for parte in c[1:]]
    r = sum(valores) if c[0] == "serie" else 1 / sum(1 / v for v in valores)
    signo = " + " if c[0] == "serie" else " || "
    control = r > max(valores) if c[0] == "serie" else r < min(valores)
    assert control, "Etapa imposible"
    print(f"{'  ' * nivel}{c[0]}: {signo.join(f'{v:.1f}' for v in valores)} = {r:.1f} ohm")
    return r

R1, R2, R3, R4 = ("R1", 470), ("R2", 1000), ("R3", 2200), ("R4", 1200)

print("(R1 + R2) || R3")
reducir(paralelo(serie(R1, R2), R3))
print("R1 + (R2 || R3)")
reducir(serie(R1, paralelo(R2, R3)))

Las etapas más internas aparecen primero y con más sangría. El assert aplica en cada una el control de la sección 09.

La vuelta: tensión, corriente y potencia de cada pieza

def req(c):
    """Lo mismo que reducir(), sin imprimir."""
    if es_resistor(c):
        return c[1]
    valores = [req(parte) for parte in c[1:]]
    return sum(valores) if c[0] == "serie" else 1 / sum(1 / v for v in valores)

def expandir(c, v, i, nivel=0):
    """Reparte v e i hacia adentro. Devuelve la potencia de todo lo que contiene."""
    sangria = "  " * nivel
    if es_resistor(c):
        print(f"{sangria}{c[0]} = {c[1]:>5} ohm  {v:5.2f} V  {i * 1000:6.2f} mA  {v * i * 1000:6.1f} mW")
        return v * i
    print(f"{sangria}{c[0]} de {req(c):.1f} ohm: {v:.2f} V y {i * 1000:.2f} mA")
    total = 0.0
    for parte in c[1:]:
        if c[0] == "serie":                 # misma corriente; la tension se reparte
            total += expandir(parte, i * req(parte), i, nivel + 1)
        else:                               # misma tension; la corriente se reparte
            total += expandir(parte, v, v / req(parte), nivel + 1)
    return total

def resolver(c, v_fuente):
    i = v_fuente / req(c)
    potencia = expandir(c, v_fuente, i)
    assert abs(potencia - v_fuente * i) < 1e-9, "El balance de potencia no cierra"
    print(f"Fuente: {v_fuente} V, {i * 1000:.2f} mA, {potencia * 1000:.1f} mW")

resolver(serie(R1, paralelo(R2, R3)), 9)
print()
resolver(serie(("R1", 1000), paralelo(("R2", 2200), serie(("R3", 1000), ("R4", 1200)))), 12)

La función tiene dos ramas, una por cada regla de la sección 05. No hace falta más para resolver cualquier circuito que se pueda escribir con + y ∥.

Los ocho circuitos de tres resistores

circuitos = {
    "R1 + R2 + R3":     serie(R1, R2, R3),
    "R1 + (R2 || R3)":  serie(R1, paralelo(R2, R3)),
    "R2 + (R1 || R3)":  serie(R2, paralelo(R1, R3)),
    "R3 + (R1 || R2)":  serie(R3, paralelo(R1, R2)),
    "(R1 + R2) || R3":  paralelo(serie(R1, R2), R3),
    "(R1 + R3) || R2":  paralelo(serie(R1, R3), R2),
    "(R2 + R3) || R1":  paralelo(serie(R2, R3), R1),
    "R1 || R2 || R3":   paralelo(R1, R2, R3),
}
for nombre, c in sorted(circuitos.items(), key=lambda par: -req(par[1])):
    print(f"{nombre:<17} {req(c):7.1f} ohm  {9 / req(c) * 1000:5.2f} mA")

Colgar una carga de un punto intermedio

def punto_medio(v_fuente, r1, r2, carga=None):
    abajo = r2 if carga is None else req(paralelo(("R2", r2), ("carga", carga)))
    return v_fuente * abajo / (r1 + abajo)

sin_carga = punto_medio(9, 470, 1000)
print(f"Sin nada conectado: {sin_carga:.2f} V")
for carga in [100000, 33000, 10000, 2200, 1000, 470]:
    v = punto_medio(9, 470, 1000, carga)
    print(f"  con {carga:>6} ohm: {v:.2f} V ({(v - sin_carga) / sin_carga * 100:+.1f} %)")

Una carga cien veces mayor que los resistores de la fila casi no se nota; una comparable se lleva una cuarta parte de la tensión.

14 · Simulador

Colapsar y expandir por etapas

Cuatro circuitos mixtos para reducir paso a paso. Con «Colapsar» el simulador reemplaza el próximo par por su equivalente y redibuja; con «Expandir» lo vuelve a abrir. En cada etapa, la tabla muestra la tensión, la corriente y la potencia de lo que hay en pantalla.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   Mirá el estado inicial y tocá «Colapsar» dos veces.

   Es el primer ejemplo. La fila se convierte en Ra, de 1470 Ω, y después todo en un resistor de 881 Ω. La corriente de la fuente no cambia en ninguna etapa.

2. 2
   Volvé con «Expandir», mirando la tabla.

   Al abrir el paralelo aparecen dos corrientes con la misma tensión. Al abrir la serie, dos tensiones con la misma corriente.

3. 3
   Elegí R1 + (R2 ∥ R3) sin cambiar los valores.

   Las mismas piezas: 1157,5 Ω y 7,78 mA. El punto de unión queda a 5,35 V. Ahora la primera etapa es el paralelo.

4. 4
   Cambiá R3 a 100 kΩ, y después a 470 Ω.

   Con 100 kΩ el punto de unión sube a 6,10 V, casi lo mismo que sin R3. Con 470 Ω cae a 3,64 V.

5. 5
   Elegí la escalera, con 12 V, R1 de 1 kΩ, R2 de 2,2 kΩ, R3 de 1 kΩ y R4 de 1,2 kΩ.

   Tres etapas: Ra de 2,2 kΩ, Rb de 1,1 kΩ y un equivalente de 2,1 kΩ. Es el ejemplo de la sección 08; compará la tabla en cada etapa.

6. 6
   Elegí (R1 + R2) ∥ (R3 + R4).

   Dos filas en paralelo: es el puente sin el resistor del medio. En la primera etapa hay dos pares posibles; el simulador empieza por el de la izquierda.

Preguntas para pensar

1. En el paso 1, la corriente de la fuente es la misma en las tres etapas. ¿Por qué tiene que ser así?
2. En el paso 3 no cambiaste ningún valor y la primera etapa pasó de ser una serie a ser un paralelo. ¿Qué cambió?
3. En el paso 4, ¿por qué un R3 de 100 kΩ casi no mueve la tensión del punto de unión?

15 · Entrenador

Entrenador de circuitos mixtos

Ocho preguntas al azar sobre un banco de veinte: reconocer pares, orden de las etapas, equivalentes, la vuelta y los controles.

7 u 8 aciertos

Reconocés los pares y manejás la ida y la vuelta. Podés pasar al Tema 14.

6 o menos

Volvé a jugar: las preguntas cambian. Antes de combinar dos resistores, preguntate qué más llega al punto que comparten.

16 · Mirada de programador

Evaluar un árbol de expresión

Un circuito reducible es una expresión con dos operadores, y resolverlo es lo que hace cualquier intérprete: construir el árbol, evaluarlo desde las hojas y, después, propagar información desde la raíz.

La función expandir() de la sección 13 tiene menos de veinte líneas porque el problema es recursivo: un circuito mixto es una serie o un paralelo de cosas que, a su vez, son resistores o circuitos mixtos. El mismo código sirve para tres piezas o para trescientas.

El límite del método también tiene nombre en software. El puente no es un árbol sino un grafo con ciclos entrelazados, y una evaluación recursiva no alcanza: hace falta plantear un sistema de ecuaciones y resolverlo entero. Es exactamente lo que hacen las leyes de Kirchhoff, y lo que vas a ver a partir del Tema 16.

17 · Comprensión

Confusiones frecuentes

18 · Práctica guiada

Ejercicios de circuitos mixtos

Ejercicio 1: una fila dentro de un paralelo

Un puerto USB de 5 V alimenta (R1 + R2) ∥ R3, con R1 de 330 Ω, R2 de 680 Ω y R3 de 1 kΩ. Calculá el equivalente, la corriente de la fuente, la corriente de cada camino y la tensión sobre R1 y R2.

Ejercicio 2: un paralelo dentro de una fila

Una pila de 9 V alimenta (R1 ∥ R2) + R3, con R1 y R2 de 1 kΩ y R3 de 470 Ω. Calculá el equivalente, la corriente de la fuente, la tensión sobre R3 y la potencia de cada resistor. ¿Alguno queda exigido con 1/4 W?

Ejercicio 3: de las palabras a la expresión

«R1 está en serie con el paralelo de R2 y R3, y todo ese conjunto está en paralelo con R4.» Escribí la expresión. Con R1, R2 y R3 de 1 kΩ, R4 de 1,5 kΩ y una pila de 9 V, calculá el equivalente y la corriente de cada resistor.

Ejercicio 4: el par aparente

En el circuito R1 + (R2 ∥ R3), con 470 Ω, 1 kΩ y 2,2 kΩ, alguien razona: «R1 y R2 están en fila: los sumo, 1470 Ω, y el resultado en paralelo con R3 da 881 Ω». ¿Dónde está el error? ¿Cuánto se equivoca en la corriente de la fuente?

Ejercicio 5: cuánto carga

En la fila de 470 Ω y 1 kΩ con 9 V, el punto de unión está a 6,12 V. Usando el último bloque de la sección 13, decí a cuánto baja si conectás ahí, hacia GND, un resistor de 10 kΩ, y a cuánto si es de 1 kΩ. ¿Qué valor hace falta para que baje menos del 1 %?

Ejercicio 6: una escalera

Una pila de 9 V alimenta R1 + (R2 ∥ (R3 + R4)), con R1 de 470 Ω, R2 de 1 kΩ, R3 de 470 Ω y R4 de 330 Ω. Resolvé la ida y la vuelta, y verificá con resolver().

19 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 14?

Podés avanzar si sos capaz de hacer esto sin mirar:

• Decir, en R1 + (R2 ∥ R3), por qué R1 y R2 no están en serie.
• Reducir (470 Ω + 1 kΩ) ∥ 2,2 kΩ y dar la corriente con 9 V.
• Hacer la vuelta completa de ese circuito y controlar que cierre.
• Escribir con + y ∥ un circuito descripto con palabras.
• Explicar por qué el puente no se puede reducir.

Ya podés predecir cómo se comporta un circuito sano. El paso siguiente es predecir cómo se comporta cuando algo falla: un resistor que se abre, un cable que puentea lo que no debía. En el próximo tema, cortocircuito y circuito abierto, con números.