Nodos, ramas y mallas

01 · Punto de partida

Un circuito que no se deja reducir

Hasta acá, todo circuito se resolvió con el mismo recurso: encontrar dos componentes en serie o en paralelo, reemplazarlos por su equivalente y repetir. En el Tema 13 quedó planteada una pregunta: ¿hay circuitos donde ese método no alcanza?

Ese circuito se llama puente, y se resuelve con las leyes de Kirchhoff, que ocupan los próximos cuatro temas. Esas leyes hablan de tres objetos: una se enuncia «en cada nodo», la otra «en cada malla», y las incógnitas son las corrientes «de cada rama». Antes de usarlas hay que saber, sin ambigüedad, qué es cada cosa. En este tema vas a poder responder:

• ¿Qué es exactamente un nodo, y por qué un cable largo cuenta como uno solo?
• ¿La fuente es una rama? ¿Y dos resistores en serie, son una o dos?
• ¿Qué diferencia hay entre un lazo y una malla?
• ¿Cómo sé si conté bien?
• ¿Cuántas corrientes distintas hay en un circuito, y cuántas ecuaciones hacen falta para encontrarlas?
• ¿Cómo reconozco que dos dibujos distintos son el mismo circuito?

02 · Primera definición

Nodo: todo lo que une un cable

Un nodo es el conjunto de todos los puntos del circuito que están unidos entre sí por conductores, sin ningún componente en el medio. Como un cable ideal no retiene tensión (Tema 11), todos esos puntos están a la misma tensión: eléctricamente son un solo punto, sin importar cuánto ocupen en el dibujo o en la mesa.

En la figura, el cable de arriba toca tres cosas: el positivo de la fuente, R1 y R3. Tiene un punto de unión dibujado, pero podría tener tres o ninguno: sigue siendo un único nodo. Los puntos gruesos de un esquema marcan dónde se sueldan dos cables, no dónde hay un nodo.

La prueba del lápiz

Apoyá el lápiz en un cable y pintá todo lo que puedas recorrer sin atravesar un componente. Lo pintado es un nodo. Levantá el lápiz, cambiá de color y repetí hasta que no quede cable sin pintar.

En la protoboard

Cada fila de cinco orificios es un nodo. Cada riel de alimentación es un nodo. Dos filas unidas por un cable pasan a ser un solo nodo.

Los nodos llevan nombre

Se los nombra con letras o con su función: A, B, GND. El nodo elegido como referencia de 0 V es el GND del Tema 9.

Un interruptor cerrado no es un cable

Es un componente: separa dos nodos, aunque estén a la misma tensión mientras esté cerrado. Así el esquema sigue valiendo cuando se abre.

Nodos simples y nodos principales

No todos los nodos tienen el mismo interés. Lo que importa es cuántos componentes llegan a cada uno.

03 · Segunda definición

Rama: lo que hay entre dos nodos

Una rama es un componente de dos terminales conectado entre dos nodos. Cada resistor, cada LED, cada interruptor y cada fuente es una rama. Los cables no: los cables son parte de los nodos.

La fuente es una rama

También une dos nodos y también la atraviesa una corriente. Olvidarla es el error de conteo más común.

Cada rama tiene una corriente

Por un componente de dos terminales entra y sale la misma corriente. Las incógnitas de un circuito son, en principio, las corrientes de sus ramas.

Cada rama tiene una tensión

La diferencia entre las tensiones de sus dos nodos. Conocer la tensión de todos los nodos es conocer la tensión de todas las ramas.

Las ramas en serie forman una rama principal

R1 y R2 comparten un nodo simple y, por lo tanto, la corriente. Juntas forman un único camino entre dos nodos principales: es la «rama» del Tema 11.

La tabla anterior es una descripción completa del circuito. No dice dónde está dibujado cada componente ni cuánto mide cada cable, pero con ella se lo puede reconstruir y analizar. Los programas de simulación reciben exactamente eso: una lista de componentes con los nodos a los que se conecta cada uno. Se la llama netlist, y vas a escribir una en la sección 12.

04 · Tercera definición

Lazo y malla

Un lazo es cualquier camino cerrado: se parte de un nodo, se avanza de rama en rama sin pasar dos veces por el mismo nodo, y se vuelve al punto de partida. Una malla es un lazo que no encierra a ningún otro: una «ventana» del esquema.

La distinción importa por una razón práctica. La ley de tensiones que anticipaste en el Tema 9 da una ecuación por cada lazo, pero no todas aportan información nueva: la ecuación del contorno exterior se obtiene combinando las de las dos ventanas. Las mallas son una forma segura de elegir lazos independientes, sin que sobre ni falte ninguno.

05 · Procedimiento

Cómo contar sin equivocarse

El orden importa: primero los nodos, después las ramas y al final las mallas. Las ramas se definen por los nodos que unen, así que un error en los nodos se arrastra a todo lo demás.

1. 1
   Pintar y nombrar los nodos.

   Con la prueba del lápiz. Cada color, un nodo y una letra. El de la fuente negativa suele ser GND.

2. 2
   Listar las ramas.

   Una por cada componente, con los dos nodos que une. No te olvides de la fuente.

3. 3
   Contar las ventanas.

   Cada región cerrada del dibujo que no contiene a otra es una malla.

4. 4
   Controlar con la fórmula.

   Las mallas tienen que ser ramas menos nodos más uno. Si no coincide, se revisa el paso 1.

Aplicado a los circuitos que ya conocés:

Dos filas de la tabla merecen atención. El circuito serie y el del LED tienen los mismos números: para este tema son el mismo circuito, porque lo que se cuenta es cómo están conectados los componentes y no qué son. Y el semáforo, con siete ramas, tiene las mismas mallas que el puente, con seis: cuatro de sus ramas están en serie de a pares y no agregan caminos nuevos.

06 · Control

La fórmula que controla el conteo

Para cualquier circuito de una sola pieza, es decir, donde desde cualquier nodo se puede llegar a cualquier otro:

No es una coincidencia de los ejemplos. Se entiende armando un circuito rama por rama y mirando qué pasa con cada una que se agrega. Toda rama nueva hace una de dos cosas:

Para conectar n nodos sin cerrar ningún camino hacen falta n − 1 ramas. Cada rama por encima de esa cantidad cierra una malla. Por eso las mallas son r − (n − 1), que es la fórmula. La primera fila de la tabla lo confirma: una fuente sola, sin nada conectado, tiene 1 − 2 + 1 = 0 mallas, y no circula corriente.

Tres usos

Controlar un conteo

Si contaste 3 nodos, 4 ramas y 3 mallas, algo está mal: 4 − 3 + 1 = 2. Lo más probable es que hayas contado el contorno exterior como malla.

Evitar contar ventanas

En un esquema enredado, los nodos y las ramas se cuentan con seguridad; las ventanas, no. La fórmula da las mallas sin mirarlas.

Prever el efecto de un cambio

Agregar un componente entre dos nodos existentes suma una malla. Intercalar un componente en una rama suma un nodo y una rama: las mallas no cambian.

07 · Simplificación

Contar fino o contar reducido

El conteo de la sección 05 trata a cada componente como una rama. Es el más seguro, pero da más ramas que corrientes distintas, porque los componentes en serie comparten la corriente. Para planear un análisis conviene el conteo reducido: solo nodos principales, y cada fila de componentes en serie como una única rama principal.

Las mallas dan lo mismo de las dos formas, y no por casualidad: eliminar un nodo simple funde dos ramas en una, así que se resta un nodo y una rama a la vez. El número de ramas del conteo reducido es el que interesa: es la cantidad de corrientes distintas que hay en el circuito. En el semáforo son cuatro, la de la fuente y la de cada LED, aunque haya siete componentes.

El puente es el único de la tabla donde los dos conteos coinciden. No tiene ningún nodo simple: a cada uno de sus cuatro nodos llegan tres componentes. Esa es, dicha con precisión, la razón por la que no se dejaba reducir.

08 · Relectura

Serie y paralelo, redefinidos

Con nodos y ramas, las dos conexiones básicas se pueden definir sin apelar al dibujo ni a la intuición. Son las definiciones de los Temas 7 y 11, ahora en una línea cada una.

Reducir un circuito, como en el Tema 13, es entonces una operación sobre la lista de ramas: se busca un nodo simple o dos ramas con el mismo par de nodos, se las reemplaza por una sola y se vuelve a buscar. El circuito puente muestra qué pasa cuando la búsqueda no encuentra nada.

Alcanza con sacar R5 para que todo cambie: B y C pasan a ser nodos simples, R1 queda en serie con R2 y R3 con R4, y el circuito vuelve a ser el de dos filas en paralelo. Un solo componente decide si los métodos del bloque anterior sirven o no.

09 · Anticipo

Del conteo al plan de análisis

Contar no es un ejercicio de clasificación. Los tres números dicen, antes de escribir una sola ecuación, cuánto trabajo pide el circuito. Resolver un circuito es encontrar la corriente de cada rama principal, y para encontrar esa cantidad de incógnitas hace falta la misma cantidad de ecuaciones independientes.

Las cuentas cierran siempre, porque (n − 1) + m es justamente r: es la fórmula de la sección 06 escrita de otra manera.

¿Por qué un nodo menos?

En el circuito paralelo hay dos nodos principales. En A, la corriente de la fuente se divide en dos; en GND, esas dos vuelven a juntarse. Las dos ecuaciones dicen exactamente lo mismo. Pasa en cualquier circuito: cada corriente sale de un nodo y entra en otro, así que la ecuación del último nodo ya está contenida en las de todos los demás. Se descarta uno, y lo habitual es descartar GND.

10 · Topología

El mismo circuito, otro dibujo

Un circuito queda definido por qué componentes hay y entre qué nodos está cada uno. La posición en el papel, el largo de los cables y la orientación de los componentes no forman parte de esa definición. Dos dibujos que no se parecen en nada pueden ser el mismo circuito, y un esquema prolijo y su montaje en protoboard casi nunca se parecen.

En el montaje aparecen cuatro lugares: dos rieles y dos filas. Pero el cable une el riel rojo con la fila 20, así que son un mismo nodo. Quedan tres: el riel rojo junto con la fila 20 es A, la fila 12 es B y el riel azul es GND. Con esa traducción, la tabla es idéntica a la de la sección 03.

Para comparar dos esquemas

Se arma la lista de ramas de cada uno, con los nodos que une cada rama. Si con algún cambio de nombres las dos listas coinciden, son el mismo circuito.

Para pasar del montaje al esquema

Primero se agrupan en nodos las filas y los rieles unidos por cables. Después se anota cada componente con sus dos nodos. Recién entonces se dibuja.

Para redibujar un esquema confuso

Se ubican los nodos principales, con el positivo arriba y GND abajo, y se cuelga cada rama entre los suyos. Los cruces de cables suelen desaparecer solos.

11 · Verificación

Encontrar los nodos con el multímetro

La prueba del lápiz se puede hacer sobre el montaje real. Con el circuito sin alimentación y el multímetro en continuidad, dos puntos por los que el instrumento suena están unidos por conductor: pertenecen al mismo nodo.

La última fila es el control que conviene hacer antes de conectar la pila a cualquier montaje nuevo. Si entre los dos rieles el multímetro suena, hay dos nodos que deberían ser distintos y están unidos.

Esta forma de pensar ordena el diagnóstico del Tema 14: un cortocircuito es un nodo de menos, y un circuito abierto es un nodo de más. En los dos casos, el circuito montado ya no tiene los números del esquema.

12 · Software

Un circuito como dato, en Python

La lista de ramas y el conteo

# Cada rama: (componente, un nodo, el otro nodo). Los cables no aparecen: son los nodos.
SERIE = [("V1", "A", "GND"), ("R1", "A", "B"), ("R2", "B", "GND")]
PARALELO = [("V1", "A", "GND"), ("R1", "A", "GND"), ("R2", "A", "GND")]
MIXTO = [("V1", "A", "GND"), ("R1", "A", "B"), ("R2", "B", "GND"), ("R3", "A", "GND")]
PUENTE = [("V1", "A", "GND"), ("R1", "A", "B"), ("R2", "B", "GND"),
          ("R3", "A", "C"), ("R4", "C", "GND"), ("R5", "B", "C")]
SEMAFORO = [("V1", "A", "GND"),
            ("R1", "A", "N1"), ("LED1", "N1", "GND"),
            ("R2", "A", "N2"), ("LED2", "N2", "GND"),
            ("R3", "A", "N3"), ("LED3", "N3", "GND")]

def contar(circuito, nombre):
    nodos = sorted({nodo for _, a, b in circuito for nodo in (a, b)})
    n, r = len(nodos), len(circuito)
    m = r - n + 1
    print(f"{nombre}: nodos {nodos}")
    print(f"  n = {n}  r = {r}  mallas = {r} - {n} + 1 = {m}")
    return n, r, m

for nombre, circuito in [("Serie", SERIE), ("Paralelo", PARALELO), ("Mixto", MIXTO),
                         ("Puente", PUENTE), ("Semaforo", SEMAFORO)]:
    contar(circuito, nombre)

Los nodos no se declaran: salen de la lista de ramas. Agregá una rama ("R6", "A", "GND") al puente y fijate cuál de los tres números cambia.

Buscar pares en serie y en paralelo

def componentes_por_nodo(circuito):
    """Para cada nodo, la lista de componentes que llegan a él."""
    llegan = {}
    for nombre, a, b in circuito:
        llegan.setdefault(a, []).append(nombre)
        llegan.setdefault(b, []).append(nombre)
    return llegan

def pares(circuito):
    serie = [(nodo, comps) for nodo, comps in componentes_por_nodo(circuito).items() if len(comps) == 2]
    paralelo = []
    for i, (n1, a1, b1) in enumerate(circuito):
        for n2, a2, b2 in circuito[i + 1:]:
            if {a1, b1} == {a2, b2}:                 # el mismo par de nodos
                paralelo.append((n1, n2))
    return serie, paralelo

def reducible(circuito, nombre):
    serie, paralelo = pares(circuito)
    print(nombre)
    for nodo, (c1, c2) in serie:
        print(f"  {c1} y {c2} en serie: comparten el nodo simple {nodo}")
    for c1, c2 in paralelo:
        print(f"  {c1} y {c2} en paralelo")
    if not serie and not paralelo:
        print("  ningun par en serie ni en paralelo: no se reduce, hace falta Kirchhoff")

reducible(MIXTO, "Mixto")
reducible(PUENTE, "Puente")
reducible([rama for rama in PUENTE if rama[0] != "R5"], "Puente sin R5")

Las definiciones de la sección 08 ocupan una línea de código cada una. El puente no devuelve nada; sin R5, aparecen dos pares en serie.

El plan de análisis

def plan(circuito, nombre):
    """Corrientes distintas y ecuaciones necesarias. Supone que no hay ramas colgando."""
    llegan = componentes_por_nodo(circuito)
    n, r = len(llegan), len(circuito)
    m = r - n + 1
    principales = [nodo for nodo, comps in llegan.items() if len(comps) >= 3]
    simples = n - len(principales)
    corrientes = r - simples if principales else 1     # cada nodo simple funde dos ramas
    de_nodos = max(len(principales) - 1, 0)
    assert de_nodos + m == corrientes, "El plan no cierra"
    print(f"{nombre}: {corrientes} corriente(s) = {de_nodos} ecuacion(es) de nodos + {m} de mallas"
          f"   nodos principales: {sorted(principales)}")

for nombre, circuito in [("Serie", SERIE), ("Paralelo", PARALELO), ("Mixto", MIXTO),
                         ("Semaforo", SEMAFORO), ("Puente", PUENTE)]:
    plan(circuito, nombre)

De los cables a los nodos

def nodos_desde_cables(lugares, cables):
    """Agrupa en nodos los lugares de la protoboard que estan unidos por cables."""
    jefe = {lugar: lugar for lugar in lugares}

    def buscar(lugar):
        while jefe[lugar] != lugar:
            lugar = jefe[lugar]
        return lugar

    for a, b in cables:
        jefe[buscar(a)] = buscar(b)                    # unir los dos grupos
    grupos = {}
    for lugar in lugares:
        grupos.setdefault(buscar(lugar), []).append(lugar)
    return list(grupos.values())

lugares = ["riel rojo", "riel azul", "fila 12", "fila 20"]
cables = [("riel rojo", "fila 20")]
for numero, grupo in enumerate(nodos_desde_cables(lugares, cables), 1):
    print(f"nodo {numero}: {grupo}")

print("Con un cable de mas, entre la fila 12 y el riel azul:")
for numero, grupo in enumerate(nodos_desde_cables(lugares, cables + [("fila 12", "riel azul")]), 1):
    print(f"nodo {numero}: {grupo}")

Cuatro lugares, tres nodos. Con el cable de más quedan dos: B y GND se fundieron, y R2 quedó en cortocircuito.

13 · Simulador

Explorador de topologías

Una fuente, cuatro nodos y seis resistores que podés conectar y desconectar haciendo clic sobre ellos. No hay valores: solo conexiones. Con las tres vistas se resaltan los nodos, las ramas o las mallas, y la tabla dice qué relación tiene cada rama con las demás.

Recorrido guiado (7 minutos)

1. 1
   Mirá el estado inicial en las tres vistas.

   Es el circuito mixto. En «Nodos» hay tres colores: tres nodos. En «Ramas», cuatro componentes con sus nodos. En «Mallas», dos ventanas. 4 − 3 + 1 = 2.

2. 2
   Desconectá R6 haciendo clic sobre él.

   Queda el circuito serie: tres nodos, tres ramas y una malla. Los nodos no cambiaron; se fue una rama y, con ella, una malla.

3. 3
   Desconectá también R2.

   R1 queda colgando del nodo B, al que no llega nada más. No hay ningún lazo: cero mallas, y no circula corriente por ninguna rama.

4. 4
   Elegí el ejemplo «Tres ramas».

   Seis ramas, cuatro nodos, tres mallas. Pero solo cuatro corrientes distintas: B y C son nodos simples, y cada columna es una única rama principal.

5. 5
   Elegí «Puente» y leé la tabla.

   Ninguna rama está en serie ni en paralelo con otra. Seis corrientes distintas, que piden tres ecuaciones de nodos y tres de mallas.

6. 6
   Desconectá R5 y volvé a conectarlo.

   Sin R5, la tabla muestra dos pares en serie y el circuito se puede reducir. Con R5, B y C pasan a ser nodos principales y los pares desaparecen.

Preguntas para pensar

1. En el paso 2 sacaste una rama y desapareció una malla, pero los nodos siguieron siendo tres. ¿Qué habría tenido que pasar para que desapareciera también un nodo?
2. En el paso 6, un solo resistor decide si el circuito se puede reducir. ¿Qué cambia exactamente en los nodos B y C cuando se conecta R5?
3. El simulador no tiene ningún valor en ohmios ni en voltios, y sin embargo dice cuántas ecuaciones hacen falta. ¿Por qué no necesita los valores?

14 · Entrenador

Entrenador de nodos, ramas y mallas

Ocho preguntas al azar sobre un banco de veintidós: definiciones, conteos, la fórmula, el efecto de agregar o quitar componentes y el plan de análisis.

7 u 8 aciertos

Tenés el vocabulario y sabés controlar un conteo. Podés pasar a la ley de corrientes del Tema 17.

6 o menos

Volvé a jugar: las preguntas cambian. Ante la duda, empezá siempre por los nodos: todo lo demás se define a partir de ellos.

15 · Mirada de programador

Un circuito es un grafo

Si alguna vez trabajaste con grafos, este tema no te enseñó nada nuevo: te mostró un grafo con otro vocabulario. Todo lo que sabés sobre ellos se aplica directamente.

El número ciclomático te puede sonar de otro lado. La complejidad ciclomática con la que las herramientas de análisis miden una función, aristas menos nodos más dos, es esta misma fórmula aplicada al grafo de flujo de control, más uno. Contar los caminos independientes de un programa y contar las mallas de un circuito es la misma cuenta.

También hay una idea de diseño que conviene llevarse. Un esquema es una vista; la lista de ramas es el modelo. Se puede dibujar el mismo modelo de muchas formas, y dos personas pueden discutir sobre un dibujo sin notar que hablan del mismo circuito. Cuando haya dudas, se compara el modelo. Y los nombres de los nodos funcionan como nombres de variables: «riel rojo» y «fila 20» son dos alias del mismo nodo, igual que dos referencias al mismo objeto.

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de nodos, ramas y mallas

Ejercicio 1: contar el semáforo

El semáforo tiene una pila y tres ramas, cada una con un LED y su resistor. Contá nodos, ramas y mallas componente por componente y controlá con la fórmula. Después hacé el conteo reducido. ¿Cuántas corrientes distintas hay?

Ejercicio 2: el dato que falta

Un circuito tiene 4 nodos y 6 ramas. ¿Cuántas mallas tiene? ¿Y si se agrega un resistor entre dos nodos que ya existen? ¿Y si después se intercala un interruptor en una de las ramas?

Ejercicio 3: serie y paralelo por definición

Un circuito tiene estas ramas: fuente entre A y GND, R1 entre A y B, R2 entre B y GND, R3 entre A y GND. Sin dibujarlo, decí qué pares están en serie y cuáles en paralelo. ¿Está R3 en paralelo con R1?

Ejercicio 4: el puente, con y sin R5

En el puente de la sección 08, contá nodos, ramas y mallas en tres casos: con R5; sin R5; y con R5 reemplazado por un cable. ¿En cuáles se puede reducir el circuito?

Ejercicio 5: del montaje a la lista de ramas

En una protoboard hay: una pila entre el riel rojo y el riel azul; R1 entre el riel rojo y la fila 8; R2 entre la fila 8 y la fila 15; un LED entre la fila 15 y el riel azul; R3 entre la fila 8 y el riel azul; un cable entre la fila 15 y la fila 20; y R4 entre la fila 20 y el riel azul. ¿Cuántos nodos, ramas y mallas hay? ¿Hay algún par en serie o en paralelo?

Ejercicio 6: el plan antes de la cuenta

Para el circuito mixto y para el puente, decí cuántas corrientes incógnitas hay, cuántas ecuaciones de nodos independientes y cuántas de mallas. Verificá con el bloque plan() de la sección 12.

18 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 17?

Podés avanzar si sos capaz de hacer esto sin mirar:

• Pintar los nodos de un esquema y decir cuáles son principales.
• Contar nodos, ramas y mallas del circuito mixto y controlarlos con la fórmula.
• Explicar por qué el contorno exterior no se cuenta como malla.
• Definir serie y paralelo usando solo la palabra «nodo».
• Decir por qué el puente no se puede reducir.

Ya tenés los sustantivos. Faltan las dos leyes que los usan. La primera es la que anticipaste en el Tema 11 y se enuncia en cada nodo: en el próximo tema, la ley de corrientes de Kirchhoff.