Ley de corrientes (KCL)

01 · Punto de partida

Tres mediciones para cuatro corrientes

En el Tema 16 quedaron definidos los nodos, las ramas y las mallas, y una promesa: dos leyes que usan esas palabras y alcanzan para resolver cualquier circuito. Esta es la primera. Ya la usaste desde el Tema 11, cada vez que sumaste las corrientes de las ramas para saber cuánto entregaba la fuente.

Esa resta es la ley de corrientes de Kirchhoff. En inglés se abrevia KCL, por Kirchhoff's Current Law, y es la sigla que vas a encontrar en libros y programas. En este tema vas a poder responder:

• ¿Qué dice exactamente la ley, y de dónde sale?
• ¿Qué hago si no sé hacia dónde va una corriente?
• ¿Qué significa que una corriente me dé negativa?
• ¿Cuántas ecuaciones distintas puedo sacar de un circuito?
• ¿Cómo se usa la ley para calcular la tensión de un nodo?
• Si mis mediciones no cierran, ¿qué está fallando?

02 · Enunciado

Lo que entra, sale

La ley se puede escribir de dos maneras. Dicen lo mismo, y conviene manejar las dos porque cada una es más cómoda para una cosa distinta.

Se aplica a un nodo completo

Al nodo del Tema 16: todo lo que está unido por cable. Hay que contar todas las ramas que llegan a él, estén dibujadas juntas o separadas.

Vale para cualquier componente

Resistores, LED, pilas, interruptores. La ley no mira qué hay en cada rama: solo cuánta corriente lleva.

Vale en todo momento

No es un promedio. Si una corriente cambia, las demás cambian en el mismo instante para que la cuenta siga cerrando.

No dice cómo se reparte

Dice cuánto suman las salidas, no cuánto va por cada una. El reparto lo decide cada rama, con la Ley de Ohm.

03 · Fundamento

Por qué vale: la carga no se acumula

La corriente es carga en movimiento: tantos coulombs por segundo. Un nodo es un trozo de conductor, y un conductor no tiene dónde guardar carga. Tampoco puede fabricarla. Entonces toda la carga que llega a un nodo en un segundo tiene que irse en ese mismo segundo.

Es lo que pasa en una unión de cañerías llenas de agua. Si por un caño entran diez litros por minuto, por los otros salen diez litros por minuto: la unión no se infla ni se vacía.

Ninguna de las dos cosas se observa. Lo que ocurre es que la tensión del nodo se acomoda sola, en un tiempo imposible de percibir, al único valor para el que la cuenta cierra. Esa frase es más importante de lo que parece, y la sección 09 la convierte en un método de cálculo.

04 · Convención

Flechas de referencia y signos

En un paralelo se sabe de antemano hacia dónde va cada corriente. En un circuito con más de una fuente, o en la rama central de un puente, no. La ley se puede aplicar igual, con un recurso simple: se elige un sentido para cada rama y se lo marca con una flecha, sin preocuparse por acertar.

Con las flechas dibujadas, la ecuación se escribe mirando solo las flechas: entra una, salen tres.

El resultado negativo no es un error. Dice que la corriente real va al revés de la flecha: por esa rama no salen 7 mA, entran 7 mA. Y con eso la cuenta cierra: entran 20 + 7 = 27 mA y salen 12 + 15 = 27 mA.

La flecha es una referencia, no una afirmación

Indica en qué sentido se cuenta positiva la corriente. El sentido real lo dice el signo del resultado.

Una flecha por rama, para todo el circuito

La misma corriente sale de un nodo y entra en otro. Si para un nodo la flecha sale, para el nodo del otro extremo esa misma flecha entra.

No se corrige a mitad de camino

Si una corriente da negativa, se sigue trabajando con el valor negativo. Dar vuelta la flecha en la mitad de un cálculo es la forma más segura de equivocarse.

Es lo que hace el multímetro

Con las puntas al revés no deja de medir: muestra el mismo número con signo menos. Sus dos bornes son una flecha de referencia.

05 · Relectura

La ley en los circuitos que ya conocés

Las reglas de corriente de los Temas 7 y 11 no eran dos reglas distintas. Son esta misma ley, aplicada a dos tipos de nodo.

En el Tema 13, al expandir un paralelo, controlabas que las corrientes de las ramas sumaran la del equivalente. Ese control era esta ley. La diferencia es que ahora no depende de haber reducido el circuito: se puede escribir en cualquier nodo de cualquier circuito, incluidos los que no se reducen.

06 · Primer uso

Hallar la corriente que falta

Si a un nodo llegan cuatro ramas y se conocen tres corrientes, la cuarta no es una incógnita: está determinada. Es el uso más directo de la ley, y ahorra una medición por cada nodo.

1. 1
   Identificar el nodo completo.

   Con la prueba del lápiz del Tema 16. Hay que saber cuántas ramas llegan, no cuántas se ven de un vistazo.

2. 2
   Poner una flecha en cada rama.

   En las conocidas, el sentido real. En la desconocida, cualquiera.

3. 3
   Escribir el balance y despejar.

   Entrantes de un lado, salientes del otro.

4. 4
   Leer el signo.

   Positivo: va como la flecha. Negativo: va al revés.

El segundo caso son las mediciones del taller del Tema 15. Allá las tres corrientes se dedujeron de las tensiones; acá alcanza con dos, y la tercera sale por diferencia. Si después se la mide y coincide, hay dos caminos independientes que dan el mismo número.

07 · Extensión

De un nodo a una región entera

La carga tampoco se acumula en un resistor, ni en un LED, ni en una placa completa. La ley vale entonces para cualquier región cerrada que se dibuje sobre el esquema: la suma de las corrientes que cruzan su borde hacia adentro es igual a la suma de las que lo cruzan hacia afuera.

Un componente de dos terminales

Lo que entra por una pata sale por la otra. Es la razón por la que en el Tema 16 se pudo decir que cada rama tiene una sola corriente.

La fuente

La corriente que sale por el positivo vuelve, entera, por el negativo. Por eso la corriente total se puede medir en cualquiera de los dos cables de la pila.

Una parte del circuito unida al resto por dos cables

Por un cable entra lo mismo que sale por el otro, sin importar lo que haya adentro. Es lo que permite reemplazar un grupo por su equivalente.

Un aparato completo

Una placa alimentada por USB devuelve por GND exactamente lo que toma por los 5 V. Si no fuera así, habría corriente yéndose por otro camino.

El último caso tiene una aplicación que conocés aunque no la hayas mirado así: el disyuntor diferencial de una instalación eléctrica compara la corriente que va por un cable con la que vuelve por el otro. Si no son iguales, hay una fuga hacia otro lado, posiblemente a través de una persona, y corta. Es la ley de corrientes usada como alarma.

08 · Conteo

Cuántas ecuaciones da un circuito

La ley se puede escribir en todos los nodos, pero una de esas ecuaciones siempre sobra. En el Tema 16 quedó anticipado: un circuito de n nodos da n − 1 ecuaciones de nodos independientes. Ahora se puede ver por qué.

La tercera ecuación no dice nada que no digan las dos primeras: si la fuente entrega lo mismo que lleva R1, y eso se reparte entre R2 y R3, entonces lo que traen R2 y R3 es lo que vuelve a la fuente. Reemplazando la primera en la segunda se obtiene la tercera.

Pasa en todos los circuitos, y por la misma razón: cada corriente sale de un nodo y entra en otro. Si se suman las ecuaciones de todos los nodos, cada corriente aparece una vez entrando y una vez saliendo, y todo se cancela. La ecuación del último nodo es la suma de las demás.

Se descarta un nodo, a elección

Lo habitual es descartar GND, que además suele ser el que más ramas tiene.

Los nodos simples aportan igualdades

La ecuación del nodo A solo dice que dos corrientes son la misma. Por eso en el conteo reducido del Tema 16 se cuentan únicamente los nodos principales.

No alcanzan solas

En el ejemplo quedan tres corrientes y dos ecuaciones. Las que faltan vienen de las mallas, en el Tema 18, o de la Ley de Ohm, en la sección que sigue.

09 · Segundo uso

Con la Ley de Ohm: la tensión de un nodo

La ley de corrientes sola no resuelve un circuito, porque no sabe nada de resistencias. Pero cada corriente se puede escribir con la Ley de Ohm, usando la tensión de los dos nodos entre los que está el resistor. Al hacerlo, las incógnitas dejan de ser las corrientes y pasan a ser las tensiones de los nodos.

En R1 + (R2 ∥ R3), con 9 V, hay un solo nodo cuya tensión no se conoce: B. El nodo A está a 9 V y GND, a 0 V.

1. 1
   Escribir la ley en B.

   Entra la corriente de R1; salen las de R2 y R3.

2. 2
   Reemplazar cada corriente con la Ley de Ohm.

   La corriente de un resistor es la diferencia de tensión entre sus extremos, dividida por su resistencia.

3. 3
   Despejar la tensión de B.

   Queda una ecuación con una sola incógnita.

4. 4
   Volver a las corrientes.

   Con la tensión de B, cada corriente es una división.

Despejando: V_B = 5,35 V. Entonces por R1 pasan (9 − 5,35) ÷ 470 = 7,78 mA; por R2, 5,35 mA, y por R3, 2,43 mA. Son los números del Tema 13, obtenidos sin calcular ningún equivalente y sin decidir qué estaba en serie con qué.

Cuando todas las ramas de un nodo son resistores que van a puntos de tensión conocida, el despeje tiene siempre la misma forma:

Es un promedio de las tensiones de los vecinos, en el que cada uno pesa según su conductancia: el nodo queda más cerca de la tensión de aquel al que está unido por menos resistencia. Sirve para cualquier cantidad de ramas. Colgando una cuarta rama, R4 de 1 kΩ, del nodo B:

Las dos últimas filas muestran para qué sirven las flechas de referencia. Con la segunda pila no se sabe de antemano hacia dónde va la corriente de R4: depende de si B queda por encima o por debajo de la tensión de esa pila. Con la flecha saliendo de B, la cuenta da +1,83 mA en un caso y −0,51 mA en el otro. El signo lo resuelve solo. En cada fila, lo que entra iguala a lo que sale, salvo el redondeo del último dígito.

10 · La pregunta pendiente

El puente, resuelto

El circuito que en el Tema 16 no se dejaba reducir tiene cuatro nodos. Dos tienen tensión conocida, A y GND. Quedan dos incógnitas, las tensiones de B y de C, y la ley de corrientes da exactamente dos ecuaciones: una en cada uno de esos nodos.

Con 9 V, R1 = 470 Ω entre A y B, R2 = 1 kΩ entre B y GND, R3 = 2,2 kΩ entre A y C, R4 = 1 kΩ entre C y GND, y R5 = 470 Ω entre B y C, tomando la flecha de R5 de B hacia C:

Son dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolverlas a mano es largo pero no difícil; el segundo bloque de Python de la sección 12 lo hace en unas pocas líneas. El resultado es V_B = 5,41 V y V_C = 4,35 V, y con eso salen todas las corrientes:

Por R5 circulan 2,24 mA de B hacia C, porque B quedó a mayor tensión que C. Con otros valores podría ir al revés, y entonces habría dado negativa. Y hay un caso especial: si R1 ÷ R2 es igual a R3 ÷ R4, los dos puntos medios quedan a la misma tensión y por R5 no circula nada, valga lo que valga. Se dice que el puente está en equilibrio, y es la base de muchos instrumentos de medición.

11 · Tercer uso

Auditar mediciones

Si se miden todas las corrientes de un nodo, la ley ya no sirve para averiguar nada: sirve para controlar. La suma con signos tiene que dar cero. Lo que da en la práctica se llama residuo, y dice si el conjunto de lecturas es coherente.

Un residuo de cero exacto no existe en una medición real. Cada lectura tiene el error del instrumento, y además se toman de a una, en momentos distintos. Como criterio práctico: un residuo menor que el 3 % de la corriente que entra se considera un cierre. Uno mayor pide una explicación.

La primera causa es la más útil, porque el residuo no solo avisa: mide. Si en ese mismo paralelo la pila entregara 31,8 mA, el residuo sería de 4,06 mA entrando sin salida conocida. Con 8,80 V en los rieles, eso corresponde a un camino de 8,80 V ÷ 4,06 mA ≈ 2,2 kΩ: el resistor que quedó enchufado del montaje anterior.

El Tema 20 vuelve sobre esto con un montaje completo, verificando las dos leyes de Kirchhoff sobre la protoboard.

12 · Software

La ley de corrientes en Python

Balance de un nodo y corriente que falta

def kcl(corrientes, tolerancia=3.0):
    """corrientes: {rama: mA}, positivas si entran al nodo y negativas si salen.
    Devuelve el residuo; la tolerancia es un porcentaje de lo que entra."""
    entra = sum(i for i in corrientes.values() if i > 0)
    sale = -sum(i for i in corrientes.values() if i < 0)
    residuo = entra - sale
    relativo = abs(residuo) / entra * 100 if entra else 0.0
    estado = "cierra" if relativo <= tolerancia else "NO CIERRA"
    print(f"  entra {entra:.2f} mA, sale {sale:.2f} mA, residuo {residuo:+.2f} mA ({relativo:.1f} %): {estado}")
    return residuo

def faltante(conocidas, rama="la rama que falta"):
    """La corriente de la unica rama no medida, con flecha de referencia entrando."""
    i = -sum(conocidas.values())
    sentido = "entra" if i > 0 else "sale"
    print(f"  {rama}: {i:+.2f} mA -> {sentido} {abs(i):.2f} mA")
    return i

print("Semaforo, con la rama del verde sin medir:")
faltante({"pila": 43.1, "rojo": -14.6, "amarillo": -14.4}, "verde")
print("Nodo de la figura de la seccion 04:")
faltante({"I1": 20, "I2": -12, "I3": -15}, "I4")
print("Auditoria del paralelo:")
kcl({"pila": 27.6, "R1": -18.9, "R2": -8.84})
print("La misma, con un resistor olvidado en la protoboard:")
kcl({"pila": 31.8, "R1": -18.9, "R2": -8.84})

Un diccionario con signos alcanza para representar un nodo. La función no sabe nada del circuito: solo suma.

La tensión de un nodo

def tension_de_nodo(ramas, mostrar=True):
    """ramas: {nombre: (tension del otro extremo, ohmios)}. Devuelve la tension del nodo."""
    v = sum(v_k / r for v_k, r in ramas.values()) / sum(1 / r for _, r in ramas.values())
    if mostrar:
        print(f"  tension del nodo: {v:.2f} V")
        suma = 0.0
        for nombre, (v_k, r) in ramas.items():
            i = (v_k - v) / r * 1000                    # positiva si entra al nodo
            suma += i
            print(f"    {nombre}: {'entra' if i > 0 else 'sale '} {abs(i):5.2f} mA")
        assert abs(suma) < 1e-9, "La ley de corrientes no cierra"
    return v

base = {"R1": (9, 470), "R2": (0, 1000), "R3": (0, 2200)}
print("R1 + (R2 || R3):")
tension_de_nodo(base)
for destino, v4 in [("GND", 0), ("el positivo", 9), ("una pila de 3 V", 3), ("una pila de 6 V", 6)]:
    print(f"Con R4 de 1000 ohm hacia {destino}:")
    tension_de_nodo({**base, "R4": (v4, 1000)})

El assert es la ley de corrientes usada como control: si la tensión calculada fuera incorrecta, las corrientes no sumarían cero.

El puente: dos nodos, dos ecuaciones

def puente(v, r1, r2, r3, r4, r5):
    """Tensiones de B y C. R1: A-B, R2: B-GND, R3: A-C, R4: C-GND, R5: B-C."""
    # Nodo B: (v - vb)/r1 = vb/r2 + (vb - vc)/r5      Nodo C: (v - vc)/r3 + (vb - vc)/r5 = vc/r4
    # Ordenadas como  a*vb + b*vc = e   y   c*vb + d*vc = f
    a, b, e = 1 / r1 + 1 / r2 + 1 / r5, -1 / r5, v / r1
    c, d, f = -1 / r5, 1 / r3 + 1 / r4 + 1 / r5, v / r3
    det = a * d - b * c
    vb, vc = (e * d - b * f) / det, (a * f - e * c) / det
    corrientes = [("R1", "A", "B", (v - vb) / r1), ("R2", "B", "GND", vb / r2),
                  ("R3", "A", "C", (v - vc) / r3), ("R4", "C", "GND", vc / r4),
                  ("R5", "B", "C", (vb - vc) / r5)]
    corrientes.append(("V1", "GND", "A", corrientes[0][3] + corrientes[2][3]))
    print(f"  VB = {vb:.2f} V   VC = {vc:.2f} V")
    for nombre, desde, hacia, i in corrientes:
        print(f"    {nombre}: {i * 1000:6.2f} mA de {desde} a {hacia}")
    return corrientes

print("Puente de la seccion 10:")
RAMAS = puente(9, 470, 1000, 2200, 1000, 470)
print("Con R1 y R3 intercambiados:")
puente(9, 2200, 1000, 470, 1000, 470)
print("En equilibrio: 470/1000 = 1000/2128")
puente(9, 470, 1000, 1000, 2128, 470)

En el segundo caso la corriente de R5 sale negativa: va de C a B. En el tercero es prácticamente cero, valga R5 lo que valga.

La ley en todos los nodos, y la ecuación que sobra

def auditar_circuito(ramas):
    """ramas: (nombre, nodo de salida, nodo de llegada, amperios). Suma con signos en cada nodo."""
    balance = {}
    for nombre, desde, hacia, i in ramas:
        balance[desde] = balance.get(desde, 0.0) - i      # de ese nodo sale
        balance[hacia] = balance.get(hacia, 0.0) + i      # a este nodo entra
    for nodo, suma in balance.items():
        print(f"  nodo {nodo:<4} suma = {suma * 1000:+.6f} mA")
    print(f"  suma de todos los nodos = {sum(balance.values()) * 1000:+.6f} mA")
    return balance

print("Puente resuelto:")
auditar_circuito(RAMAS)
print("Con un error a proposito: 1 mA de mas en R5")
con_error = [(n, d, h, i + 0.001) if n == "R5" else (n, d, h, i) for n, d, h, i in RAMAS]
auditar_circuito(con_error)

Con el error, dejan de cerrar los dos nodos que toca R5 y solo esos. Pero la suma de todos los nodos sigue dando cero: cada corriente se resta en un nodo y se suma en otro. Por eso una de las ecuaciones siempre sobra.

13 · Simulador

Un nodo en balance

El nodo B con hasta cuatro ramas. R1 lo une al positivo; R2 y R3, a GND; R4 se puede conectar a GND, al positivo o a una segunda pila. El simulador calcula la tensión del nodo y la corriente de cada rama, con su sentido. Con «Simular mediciones» te entrega un juego de lecturas para que decidas si cierran.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   Mirá el estado inicial.

   Es R1 + (R2 ∥ R3): B a 5,35 V, entran 7,78 mA por R1 y salen 5,35 mA y 2,43 mA. Las flechas apuntan todas hacia abajo: lo que viene de arriba entra, lo que sigue hacia abajo sale.

2. 2
   Conectá R4 a GND.

   Hay una salida más. La tensión de B baja a 4,18 V y con eso entra más corriente por R1: 10,26 mA. El nodo se acomodó para que la cuenta cierre.

3. 3
   Pasá R4 al positivo.

   Ahora hay dos entradas y dos salidas. B sube a 6,14 V; por R1 entran 6,08 mA y por R4, 2,86 mA.

4. 4
   Conectá R4 a la pila de 3 V, y después a la de 6 V.

   Con 3 V, B queda a 4,83 V y la corriente de R4 sale del nodo. Con 6 V, B queda a 5,49 V y la flecha se da vuelta: entran 0,51 mA. En la tabla, el signo cambia.

5. 5
   Con la pila de 6 V, cambiá R2 a 2,2 kΩ.

   B sube a 6,23 V, por encima de la pila, y la corriente de R4 vuelve a salir. El sentido no depende de R4: depende de la tensión de sus dos extremos.

6. 6
   Reiniciá y usá «Simular mediciones» varias veces.

   Hacé la cuenta antes de responder. Cuando no cierran, el simulador muestra cuál era la lectura mala y cuánto debía dar.

Preguntas para pensar

1. En el paso 2 agregaste una salida y la corriente de R1 aumentó sin que tocaras R1. ¿Qué la hizo aumentar?
2. En los pasos 4 y 5, ¿qué tendría que pasar para que por R4 no circulara nada estando conectado?
3. En una auditoría, las lecturas no cerraron. Sin la predicción del simulador, ¿podrías saber cuál es la lectura mala?

14 · Entrenador

Entrenador de la ley de corrientes

Ocho preguntas al azar sobre un banco de veinte: el enunciado, corrientes que faltan, signos, cantidad de ecuaciones, tensión de nodo y auditoría.

7 u 8 aciertos

Sabés escribir el balance de un nodo y leer su resultado. Podés pasar a la ley de tensiones del Tema 18.

6 o menos

Volvé a jugar: las preguntas cambian. Ante cada caso, dibujá el nodo con una flecha por rama antes de hacer la cuenta.

15 · Mirada de programador

Un invariante que se verifica en cada nodo

La ley de corrientes es un invariante de conservación: una propiedad que se cumple siempre, sin importar el estado del sistema. En software hay muchos sistemas construidos alrededor de un invariante así, y todos se usan de las mismas tres maneras que viste en este tema.

La elección de la flecha de referencia es una decisión de representación, como elegir el sentido de una arista en un grafo dirigido o el signo de un importe. No cambia los hechos; cambia cómo se anotan. Lo que no se puede hacer es cambiar de convención a mitad del cálculo, por la misma razón por la que no se mezclan dos sistemas de coordenadas en una misma función.

Y el método de la sección 09 es un caso de algo muy general: en lugar de calcular el resultado paso a paso, se plantean las condiciones que tiene que cumplir y se busca el valor que las satisface. Reducir por etapas era un algoritmo; plantear las ecuaciones de nodos es una especificación, y resolverla queda en manos de la aritmética.

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de la ley de corrientes

Ejercicio 1: la corriente de la pila

En un semáforo medís las tres ramas: 14,5 mA, 15,2 mA y 14,8 mA. ¿Cuánto tiene que entregar la pila? Después la medís y da 44,0 mA. ¿Cierra?

Ejercicio 2: una flecha mal puesta

A un nodo llegan cuatro ramas. Por dos de ellas salen 12 mA y 25 mA, y por una tercera entran 30 mA. Elegí para la cuarta una flecha saliendo y calculá su corriente. ¿Qué pasa realmente en esa rama?

Ejercicio 3: la fila que no cierra

En una fila de dos resistores, la corriente es una sola. Explicalo con la ley de corrientes. Después: medís 6,1 mA en un resistor y 5,2 mA en el otro. ¿Qué podés afirmar?

Ejercicio 4: la tensión de un nodo

Una fuente de 12 V alimenta R1 de 1 kΩ, que termina en el nodo B. De B salen hacia GND dos resistores de 2,2 kΩ. Escribí la ley de corrientes en B, calculá su tensión y las tres corrientes.

Ejercicio 5: el camino que sobra

Con 5 V se alimenta un paralelo de 220 Ω y 330 Ω. Medís 22,7 mA y 15,2 mA en las ramas, y 42,9 mA en el cable de la fuente. ¿Cuánto vale el residuo? ¿Qué lo explica?

Ejercicio 6: las ecuaciones del puente

Escribí la ley de corrientes en los cuatro nodos del puente de la sección 10, con la flecha de R5 de B hacia C. Mostrá que la del nodo GND se obtiene de las otras tres.

18 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 18?

Podés avanzar si sos capaz de hacer esto sin mirar:

• Enunciar la ley de las dos formas y decir de dónde sale.
• Hallar la cuarta corriente de un nodo, eligiendo una flecha y leyendo el signo.
• Explicar con la ley por qué la corriente de una fila es una sola.
• Decir cuántas ecuaciones de nodos independientes tiene el puente, y por qué una sobra.
• Plantear la ecuación que da la tensión del nodo B en R1 + (R2 ∥ R3).

La ley de corrientes sale de que la carga se conserva. Hay una segunda cantidad que también se conserva, la energía, y da lugar a una segunda ley, que no se enuncia en los nodos sino al recorrer un camino cerrado. La anticipaste en el Tema 9, cuando las caídas de una fila sumaban la tensión de la fuente. En el próximo tema, la ley de tensiones de Kirchhoff.