Ley de tensiones (KVL)

01 · Punto de partida

Dos caminos, una sola tensión

La ley de corrientes del Tema 17 se enuncia en los nodos. La segunda ley de Kirchhoff se enuncia en los caminos cerrados, y tampoco es nueva: la usaste en cada fila, cuando controlabas que las caídas sumaran la tensión de la fuente, y el Tema 9 la presentó como anticipo.

Esa es la ley de tensiones de Kirchhoff. En inglés se abrevia KVL, por Kirchhoff's Voltage Law. En este tema vas a poder responder:

• ¿Qué dice exactamente la ley, y de dónde sale?
• ¿Cuándo una tensión se cuenta como subida y cuándo como bajada?
• ¿Importa en qué sentido recorro el camino, o desde dónde empiezo?
• ¿Cómo calculo la tensión entre dos puntos que no están unidos por un componente?
• ¿Qué pasa cuando en una malla hay más de una pila?
• Si mis mediciones no cierran, ¿qué está fallando?

02 · Enunciado

La vuelta completa suma cero

Igual que la ley de corrientes, se puede escribir de dos maneras equivalentes.

Se aplica a un lazo

A cualquier camino cerrado, en el sentido del Tema 16: no solo a las mallas, y no solo al camino por el que circula la corriente.

Vale para cualquier componente

Resistores, LED, pilas, interruptores abiertos o cerrados. La ley no pide que el componente cumpla la Ley de Ohm: solo que tenga una tensión entre sus extremos.

Vale aunque no circule corriente

En una fila abierta no hay corriente y la ley sigue valiendo: es la que dice que toda la tensión de la fuente queda en el corte.

No dice cómo se reparte

Dice cuánto suman las bajadas, no cuánto baja cada componente. El reparto lo decide cada uno, con su propia regla.

03 · Fundamento

Por qué vale: un punto, una tensión

La tensión de un punto es la energía que tiene cada coulomb de carga en ese lugar, respecto de la referencia. Es una propiedad del punto: no depende de cómo llegó la carga hasta ahí. Un punto no puede tener dos tensiones distintas al mismo tiempo.

Entonces, si se sale de un punto, se recorre un camino cualquiera y se vuelve al mismo punto, la tensión al llegar es la misma que al salir. Todo lo que subió por el camino tuvo que bajar.

Es lo que pasa con la altura en una caminata que termina donde empezó. No importa cuántas cuestas haya en el recorrido: los metros subidos y los metros bajados son los mismos, porque el punto de partida tiene una sola altura. La tensión es la «altura» eléctrica de cada punto.

04 · Convención

Polaridades y sentido de recorrido

Para escribir la suma hacen falta dos cosas: saber cuál es el extremo positivo de cada componente, y elegir en qué sentido se va a dar la vuelta. Con eso, la regla de signos es una sola.

De la fila del resistor sale una regla práctica: recorriendo un resistor a favor de la corriente, la tensión baja; recorriéndolo en contra, sube. Para una fuente no hay regla que dependa de la corriente: se mira por qué borne se entra.

El sentido de recorrido se elige

Horario o antihorario. Si se da la vuelta al revés, todos los signos se invierten y la suma sigue dando cero.

El punto de partida también

Se puede empezar en cualquier nodo. Cambia el orden de los términos, no la suma.

No hace falta seguir a la corriente

El recorrido es un camino sobre el esquema, no el camino de las cargas. Puede ir en contra de la corriente en algunos tramos, o en todos.

Si no se conoce una polaridad, se supone

Como las flechas del Tema 17: se marca un signo + en un extremo y se sigue. Si el resultado es negativo, la polaridad real es la contraria.

05 · Procedimiento

Una vuelta, paso a paso

Una pila de 9 V alimenta una fila formada por un resistor de 330 Ω, un LED rojo y un resistor de 150 Ω. Circulan 14,6 mA. Es la fila del Tema 10, ahora recorrida completa.

1. 1
   Marcar las polaridades.

   En la pila, sus bornes. En cada resistor y en el LED, un + en el extremo por donde entra la corriente.

2. 2
   Elegir un punto de partida y un sentido.

   Por ejemplo, el negativo de la pila y el sentido de la corriente.

3. 3
   Recorrer, anotando cada cambio con su signo.

   De − a +, se suma. De + a −, se resta.

4. 4
   Cerrar.

   Al volver al punto de partida, la suma tiene que dar cero.

En el segundo recorrido todos los signos están invertidos: los resistores y el LED aparecen como subidas y la pila como bajada. No hay contradicción: se está caminando el mismo perfil en el otro sentido. La columna «acumulado» muestra, en los dos casos, la tensión del punto al que se va llegando, y esos valores son los mismos: 9,00 V, 4,19 V y 2,19 V.

06 · Relectura

La ley en los circuitos que ya conocés

En el Tema 17 las dos reglas de corriente resultaron ser una sola ley. Con las dos reglas de tensión pasa lo mismo.

En el circuito mixto de la escena conviven los dos casos. El lazo de la fuente con R1 y R2 dice 9 = 2,88 + 6,12. El lazo de R1, R2 y R3, que no contiene a la fuente, dice 2,88 + 6,12 = 9,00: la fila completa tiene la misma tensión que R3. Y el control «por cualquier camino del positivo a GND, las tensiones suman la de la fuente», que usaste en el Tema 13, era esta ley aplicada a un lazo por cada camino.

07 · Primer uso

Hallar la tensión que falta

Si en un lazo se conocen todas las tensiones menos una, la que falta está determinada. No hace falta saber qué componente es, ni su valor, ni la corriente.

El LED, sin medirlo

La tensión de un LED no sale de la Ley de Ohm, pero sale de esta. Es la manera de saber qué tensión tiene realmente el LED que estás usando.

El corte del Tema 14

«En una fila abierta, los 9 V aparecen en el corte» era la ley de tensiones: sin corriente, ningún resistor retiene nada, y la vuelta tiene que cerrar igual.

La resistencia que nadie puso

Si las caídas medidas no llegan a la tensión de la fuente, lo que falta está en algún lado: un contacto flojo, un cable dañado, el propio conector de la pila.

08 · Extensión

La tensión entre dos puntos cualesquiera

La ley tiene una consecuencia que conviene enunciar por separado: la tensión entre dos puntos es la suma de los cambios de tensión a lo largo de cualquier camino que los una, y da lo mismo por todos. Si dos caminos dieran resultados distintos, yendo por uno y volviendo por el otro se armaría una vuelta que no suma cero.

Eso permite calcular la tensión entre dos puntos que no están unidos por ningún componente. El caso típico es el puente sin el resistor central: dos filas en paralelo, y se quiere saber qué tensión hay entre sus puntos medios.

Entre B y C hay 3,31 V, aunque no haya nada conectado entre ellos. Es lo que mediría un voltímetro con una punta en cada punto medio, y es la tensión que haría circular corriente por un resistor que se conectara ahí: la rama central del puente.

Es lo que hace el voltímetro

Sus dos puntas cierran un lazo con el tramo de circuito que queda entre ellas. La lectura es lo que hace falta para que esa vuelta sume cero.

Con tensiones de nodo es una resta

B está a 6,12 V y C a 2,81 V respecto de GND: la diferencia es 3,31 V. Las tensiones de nodo son la ley de tensiones ya resuelta, con todos los caminos pasando por GND.

El signo dice cuál está más alto

+3,31 V de B respecto de C es −3,31 V de C respecto de B. Hay que decir siempre respecto de qué punto se mide.

09 · Segundo uso

Con la Ley de Ohm: la corriente de una malla

Sola, la ley relaciona tensiones. Combinada con la Ley de Ohm, permite calcular la corriente de una malla aunque no se conozca ninguna caída. Se escribe la vuelta poniendo, en lugar de cada caída desconocida, la corriente por la resistencia.

En la fila de 470 Ω y 1 kΩ con 9 V, llamando I a la corriente:

Es la fórmula del Tema 7, la tensión de la fuente dividida por la suma de las resistencias. Ahora se ve de dónde sale, y cómo se extiende cuando en la malla hay algo más que resistores. Los componentes de tensión fija, como un LED, entran con su valor:

«Descontar el LED y dividir por la resistencia», la receta que venís usando desde el Tema 1, es esta ecuación despejada. La forma general, para una malla sola:

10 · Varias fuentes

Más de una fuente

Cuando en una malla hay dos pilas, cada una entra en la suma con el signo que le corresponde según cómo se la atraviesa. No hace falta ninguna regla aparte.

En cada fila, las dos caídas suman lo que aportan las fuentes: 10,5 V, 7,5 V, 6 V. La última fila es el caso límite: dos fuentes iguales en oposición se cancelan, y no circula corriente aunque el circuito esté cerrado. Si la segunda pila fuera de más de 9 V, la corriente saldría negativa: circularía en el otro sentido, y la polaridad de los dos resistores se invertiría.

Una fuente puede ser una bajada

La pila en oposición se atraviesa de + a −. Esa pila no entrega energía: la recibe. Es lo que le pasa a una batería recargable mientras se carga.

Es la malla del Tema 17

Allá, con R4 unido a una pila, el sentido de su corriente dependía de si el nodo B quedaba por encima o por debajo de esa pila. Es la misma comparación, vista desde las tensiones.

11 · Conteo

Cuántas ecuaciones, y las dos leyes juntas

La ley se puede escribir en todos los lazos de un circuito, pero no todas esas ecuaciones son distintas. En el Tema 16 quedó anticipado: las independientes son tantas como mallas, m = r − n + 1. Ahora se puede ver por qué sobran las demás.

El puente que se resolvió en el Tema 17 tiene tres mallas. Con sus tensiones al milésimo, y tomando cada resistor con el + del lado por donde entra la corriente:

La cuarta ecuación no agrega nada: es la suma de las tres primeras. Al sumarlas, cada rama compartida entre dos mallas aparece dos veces, una vez recorrida en cada sentido, y se cancela. Solo sobreviven las ramas del borde. Por eso las mallas alcanzan, y por eso el contorno exterior no se cuenta.

El sistema completo

Con esto se cierra la cuenta del Tema 16. Un circuito con r corrientes desconocidas tiene n − 1 ecuaciones de nodos y m ecuaciones de mallas, y (n − 1) + m = r. En el circuito mixto de la escena, con el conteo reducido, hay tres corrientes: la de la fuente, la de la fila y la de R3.

Las tres ecuaciones juntas son el circuito completo, escrito sin reducir nada. En este caso se resuelven de a una porque el circuito es simple. Cuando están enredadas, como en el puente, hace falta un método ordenado para plantearlas sin perder un signo: es el tema que sigue.

12 · Tercer uso

Auditar mediciones

Si se miden todas las tensiones de un lazo, la suma con signos tiene que dar cero. Lo que da es el residuo del lazo. Es el mismo control del Tema 17, con una ventaja: medir tensión no obliga a abrir el circuito, así que auditar una malla es mucho más rápido que auditar un nodo.

El criterio es el mismo que para los nodos: un residuo menor que el 3 % de lo que sube se considera un cierre. Para que la auditoría valga, las caídas se tienen que medir una por una, con las puntas sobre cada componente. Si una caída se obtuvo restando otras dos lecturas, la suma cierra sola y no controla nada.

Como con las corrientes, el residuo no solo avisa: mide. Si en esa fila las lecturas fueran 8,80 V, 2,60 V y 5,53 V, faltarían 0,67 V. La corriente es 5,53 V ÷ 1 kΩ = 5,53 mA, así que lo que no está en el esquema tiene 0,67 V ÷ 5,53 mA ≈ 120 Ω: un contacto flojo, que además explica por qué las dos caídas dieron menos de lo previsto.

El Tema 20 reúne las dos auditorías, la de nodos y la de mallas, en un mismo montaje.

13 · Software

La ley de tensiones en Python

Balance de un lazo y tensión que falta

def kvl(tramos, tolerancia=3.0):
    """tramos: {componente: volts}, positivos si la tension sube al atravesarlo y negativos si baja.
    Devuelve el residuo; la tolerancia es un porcentaje de lo que sube."""
    sube = sum(v for v in tramos.values() if v > 0)
    baja = -sum(v for v in tramos.values() if v < 0)
    residuo = sube - baja
    relativo = abs(residuo) / sube * 100 if sube else 0.0
    estado = "cierra" if relativo <= tolerancia else "NO CIERRA"
    print(f"  sube {sube:.2f} V, baja {baja:.2f} V, residuo {residuo:+.2f} V ({relativo:.1f} %): {estado}")
    return residuo

def faltante(conocidos, componente="lo que falta"):
    """La tension del unico tramo no medido, con el signo que tiene en el recorrido."""
    v = -sum(conocidos.values())
    print(f"  {componente}: {v:+.2f} V -> {'sube' if v > 0 else 'baja'} {abs(v):.2f} V")
    return v

print("Mixto, lazo de R3 con la fila (se baja por R1 y R2, se sube por R3):")
faltante({"R3": 8.80, "R1": -2.81}, "R2")
print("LED con su resistor:")
faltante({"pila": 9.0, "resistor": -7.05}, "LED")
print("Auditoria de la fila:")
kvl({"pila": 8.80, "R1": -2.80, "R2": -5.98})
print("La misma, con un contacto flojo:")
kvl({"pila": 8.80, "R1": -2.60, "R2": -5.53})

Es la misma estructura que kcl() en el Tema 17: un diccionario con signos y una suma. Las dos leyes tienen la misma forma.

Recorrer una malla en cualquier sentido

def recorrer(malla, inicio=0, horario=True):
    """malla: lista de (componente, cambio de tension al atravesarlo en sentido horario)."""
    n = len(malla)
    orden = [(inicio + k) % n for k in range(n)] if horario else [(inicio - 1 - k) % n for k in range(n)]
    acumulado = 0.0
    print("  sentido", "horario" if horario else "antihorario")
    for indice in orden:
        nombre, cambio = malla[indice]
        if not horario:
            cambio = -cambio                         # al reves, lo que subia baja
        acumulado += cambio
        print(f"    {nombre:<8} {cambio:+6.2f} V   acumulado {acumulado:6.2f} V")
    assert abs(acumulado) < 1e-9, "La vuelta no cierra"

FILA_LED = [("pila", 9.0), ("330 ohm", -4.8125), ("LED", -2.0), ("150 ohm", -2.1875)]
recorrer(FILA_LED)
recorrer(FILA_LED, horario=False)
recorrer(FILA_LED, inicio=2)

Cambiar el sentido invierte todos los signos; cambiar el punto de partida reordena los términos. En los tres casos, la vuelta termina en cero.

La corriente de una malla, con una o varias fuentes

def corriente_de_malla(fuentes, resistencias, led=None):
    """fuentes: volts de cada una, positivos si estan a favor del recorrido y negativos si se oponen.
    led: tension de un LED en serie, o None. Devuelve la corriente en amperios."""
    neta = sum(fuentes)
    total = sum(resistencias)
    if led is None:
        i, v_led = neta / total, 0.0
    elif neta > led:
        i, v_led = (neta - led) / total, led
    else:
        i, v_led = 0.0, neta                          # el LED no conduce y se queda con toda la tension
    tramos = {f"V{k}": v for k, v in enumerate(fuentes, 1)}
    tramos.update({f"R{k}": 0.0 - i * r for k, r in enumerate(resistencias, 1)})
    if led is not None:
        tramos["LED"] = -v_led
    print(f"  I = {i * 1000:.2f} mA   " + "  ".join(f"{nombre}: {v:+.2f} V" for nombre, v in tramos.items()))
    assert abs(sum(tramos.values())) < 1e-9, "La malla no cierra"
    return i

print("Una pila de 9 V:")
corriente_de_malla([9], [470, 1000])
print("Con una segunda pila, a favor y en oposicion:")
for segunda in [1.5, -1.5, -3, -9, -12]:
    corriente_de_malla([9, segunda], [470, 1000])
print("Con un LED rojo:")
corriente_de_malla([9], [330, 150], led=2.0)
corriente_de_malla([1.5], [330, 150], led=2.0)

Con la pila de 12 V en oposición, la corriente sale negativa y las tensiones de los resistores cambian de signo. Con 1,5 V y un LED, no circula nada y la pila entera queda sobre el LED.

Todos los lazos del puente, y la ecuación que sobra

# Tensiones de nodo del puente, resueltas en el Tema 17 (9 V, 470, 1000, 2200, 1000 y 470 ohm).
NODOS = {"GND": 0.0, "A": 9.0, "B": 5.40605, "C": 4.35295}

def suma_del_camino(nodos, camino):
    """Suma los cambios de tension al pasar por los nodos del camino, en orden."""
    return sum(nodos[hacia] - nodos[desde] for desde, hacia in zip(camino, camino[1:]))

LAZOS = {"malla 1 (fuente, R1, R2)": ["GND", "A", "B", "GND"],
         "malla 2 (R1, R5, R3)": ["A", "B", "C", "A"],
         "malla 3 (R5, R4, R2)": ["B", "C", "GND", "B"],
         "contorno (fuente, R3, R4)": ["GND", "A", "C", "GND"]}
for nombre, camino in LAZOS.items():
    print(f"  {nombre:<26} suma = {suma_del_camino(NODOS, camino):+.6f} V")

print("Tension de B respecto de C, por tres caminos:")
for camino in [["C", "B"], ["C", "GND", "B"], ["C", "A", "B"]]:
    print(f"  {' -> '.join(camino):<16} {suma_del_camino(NODOS, camino):+.3f} V")

print("Mediciones de cada rama, con 0,2 V de error en R5:")
RAMAS = {("GND", "A"): 9.0, ("A", "B"): -3.594, ("B", "GND"): -5.406,
         ("A", "C"): -4.647, ("C", "GND"): -4.353, ("B", "C"): -1.053 - 0.2}
def cambio(desde, hacia):
    return RAMAS[(desde, hacia)] if (desde, hacia) in RAMAS else -RAMAS[(hacia, desde)]
for nombre, camino in LAZOS.items():
    suma = sum(cambio(desde, hacia) for desde, hacia in zip(camino, camino[1:]))
    print(f"  {nombre:<26} suma = {suma:+.3f} V")

Con tensiones de nodo, todos los lazos cierran solos: por eso un punto solo puede tener una tensión. Con mediciones rama por rama, el error en R5 aparece en las dos mallas que la contienen y no en la malla 1 ni en el contorno.

14 · Simulador

Recorrer una malla

Una malla con una fuente, dos resistores, una segunda pila opcional y un tercer componente opcional. Elegí un punto de partida y un sentido, y avanzá componente por componente: el simulador anota cada cambio con su signo y la tensión del punto al que llegás. Con «Simular mediciones» te entrega un juego de lecturas para que decidas si cierran.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   En el estado inicial, tocá «Avanzar» tres veces.

   Es la fila de siempre. Saliendo de GND: +9,00 V en la fuente, −2,88 V en R1, −6,12 V en R2. La columna «se llega a» muestra 9,00 V, 6,12 V y 0 V.

2. 2
   Cambiá el sentido y tocá «Vuelta completa».

   Ahora R2 y R1 suben y la fuente baja. Los nodos son los mismos, visitados en el orden inverso.

3. 3
   Elegí B como punto de partida.

   La suma arranca en cero desde otro lugar y vuelve a cero. Lo que cambia es el orden de los términos.

4. 4
   Poné abajo el LED rojo.

   La corriente baja a 4,76 mA. El LED aparece como una bajada fija de 2,00 V, y los resistores se reparten los 7 V restantes: 2,24 V y 4,76 V.

5. 5
   Sacá el LED y poné a la derecha la pila de 1,5 V, a favor y en oposición.

   A favor, la malla recibe 10,5 V y circulan 7,14 mA. En oposición, la pila pasa a ser una bajada: 7,5 V netos y 5,10 mA.

6. 6
   Con la fuente de 5 V, poné la pila de 6 V en oposición.

   Gana la segunda pila: la corriente circula en sentido antihorario, 0,68 mA, y la polaridad de R1 y R2 se da vuelta. La vuelta sigue cerrando.

7. 7
   Volvé al LED con esa misma combinación.

   El LED queda al revés respecto de la corriente que querría circular: no conduce. La corriente es cero, los resistores no retienen nada y el volt que sobra queda sobre el LED, en inversa.

Preguntas para pensar

1. En los pasos 1 y 2 recorriste la misma malla en los dos sentidos. ¿Qué tienen en común las dos tablas, además de terminar en cero?
2. En el paso 6, la fuente de 5 V aparece como subida al recorrer en sentido horario, pero la corriente le entra por el positivo. ¿Está entregando energía?
3. En el paso 7 no circula corriente. ¿Cómo sabe la ley de tensiones cuánta tensión hay sobre el LED?

15 · Entrenador

Entrenador de la ley de tensiones

Ocho preguntas al azar sobre un banco de veinte: el enunciado, signos, tensiones que faltan, caminos, varias fuentes, cantidad de ecuaciones y auditoría.

7 u 8 aciertos

Sabés recorrer un lazo sin perder los signos. Podés pasar al método de mallas del Tema 19.

6 o menos

Volvé a jugar: las preguntas cambian. Ante cada caso, marcá primero el + de cada componente y elegí un sentido de recorrido.

16 · Mirada de programador

Una función del lugar, no del camino

La ley de tensiones dice, en el fondo, que la tensión es una función de estado: cada punto tiene un valor, y la diferencia entre dos puntos no depende de cómo se fue de uno a otro. En software hay muchas magnitudes así, y con todas se trabaja de la misma manera.

La simetría con el Tema 17 no es casual. Las dos leyes son invariantes de conservación, y las dos se usan de las mismas tres formas: para deducir un dato que falta, para plantear ecuaciones y para controlar mediciones. Por eso kcl() y kvl() son, línea por línea, la misma función con otras unidades.

También son complementarias en el sentido que le importa a quien diseña un sistema. Una se verifica en los nodos y la otra en los ciclos de un grafo. Entre las dos dan exactamente tantas restricciones independientes como aristas tiene el grafo: ni una de más, ni una de menos. Un circuito es un problema bien planteado.

17 · Comprensión

Confusiones frecuentes

18 · Práctica guiada

Ejercicios de la ley de tensiones

Ejercicio 1: la caída que falta

En una fila de tres resistores alimentada con 12 V medís 3,2 V sobre el primero y 5,1 V sobre el segundo. ¿Cuánto hay sobre el tercero?

Ejercicio 2: qué LED es

Una pila de 9 V alimenta una fila con un LED y dos resistores. Medís 2,1 V sobre uno de los resistores y 4,7 V sobre el otro. ¿Qué tensión tiene el LED? ¿Qué pensarías si la cuenta hubiera dado 4 V?

Ejercicio 3: la vuelta al revés

Escribí la suma de la fila de 470 Ω y 1 kΩ con 9 V, recorriéndola en contra de la corriente y saliendo del negativo de la pila. Anotá la tensión acumulada después de cada tramo.

Ejercicio 4: dos pilas en oposición

Una malla tiene una pila de 9 V, una de 1,5 V en oposición, un resistor de 1 kΩ y otro de 2,2 kΩ. Escribí la ecuación de la malla, calculá la corriente y las dos caídas, y verificá que cierre.

Ejercicio 5: entre dos puntos medios

Con 12 V se arman dos filas en paralelo. En la primera, 1 kΩ arriba y 2,2 kΩ abajo, con punto medio B. En la segunda, 2,2 kΩ arriba y 1 kΩ abajo, con punto medio C. ¿Qué tensión hay entre B y C? Calculala por dos caminos.

Ejercicio 6: una malla que no cierra

Una fuente de 5 V alimenta una fila que, según el esquema, tiene un resistor de 330 Ω y otro de 470 Ω. Medís 5,02 V en la fuente, 1,62 V sobre el de 330 Ω y 2,31 V sobre el de 470 Ω. ¿Cuánto vale el residuo? ¿Qué lo explica?

19 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 19?

Podés avanzar si sos capaz de hacer esto sin mirar:

• Enunciar la ley de las dos formas y decir de dónde sale.
• Recorrer la fila de 470 Ω y 1 kΩ en los dos sentidos, con los signos correctos.
• Explicar con la ley por qué dos ramas en paralelo tienen la misma tensión.
• Calcular la corriente de una malla con dos pilas en oposición.
• Decir cuántas ecuaciones de mallas independientes tiene el puente, y por qué el contorno sobra.

Ya tenés las dos leyes. En los circuitos de este tema, las ecuaciones se podían resolver de a una. En un circuito como el puente aparecen todas mezcladas, con ramas compartidas entre mallas y corrientes cuyo sentido no se conoce. Para plantearlas sin perder un signo hace falta un procedimiento. En el próximo tema, el recorrido sistemático de mallas.