Recorrido de mallas

01 · Punto de partida

Seis incógnitas son demasiadas

Con las dos leyes de Kirchhoff ya se puede escribir el sistema completo de cualquier circuito: una ecuación de corrientes por cada nodo menos uno, y una de tensiones por cada malla. El Tema 18 lo hizo con el circuito mixto, y las ecuaciones salieron de a una.

El problema no es de concepto: es de cantidad. Seis incógnitas con seis ecuaciones, escritas a mano, son demasiados lugares donde equivocar un signo. El método de mallas ataca justamente eso. Elige las incógnitas de manera que la ley de corrientes quede cumplida de antemano, y deja solo las ecuaciones de las mallas: tres en lugar de seis para el puente, dos en lugar de tres para el mixto. Vas a poder responder:

• ¿Qué es una corriente de malla, y qué relación tiene con las corrientes reales?
• ¿Por qué alcanza con una ecuación por malla?
• ¿Cómo se escribe cada ecuación sin tener que pensar los signos?
• ¿Cómo se resuelve el sistema, a mano y con un programa?
• ¿Qué significa que una corriente de malla dé negativa?
• ¿Cómo sé que el resultado está bien?

02 · La incógnita

La corriente de malla

Una corriente de malla es una corriente que se supone circulando por todo el contorno de una malla, dando la vuelta completa. Se define una por cada ventana del circuito, y a todas se les da el mismo sentido: por convención, el horario.

Las corrientes que realmente circulan por los componentes, las de rama, se obtienen de las de malla con dos reglas:

Por qué la ley de corrientes ya no hace falta

En el nodo donde se juntan R1, R2 y R3 entra I_A por R1, sale I_A − I_B por R2 y sale I_B por R3. La suma de lo que sale es I_A, que es lo que entra, valgan lo que valgan las dos corrientes de malla.

No es una casualidad de este circuito. Una corriente que da una vuelta cerrada entra y sale de cada nodo por el que pasa, así que nunca deja carga acumulada en ninguno. Escribir las corrientes de rama como combinación de corrientes de malla es una forma de cumplir la ley de corrientes antes de empezar. Por eso el método solo necesita las ecuaciones de las mallas.

Son tantas como mallas

La cantidad del Tema 16: m = r − n + 1. Dos para el circuito mixto, tres para el puente.

Son una herramienta de cálculo

No hay una carga dando vueltas por la ventana izquierda y otra por la derecha. Lo que existe son las corrientes de rama; las de malla son las variables elegidas para calcularlas.

Algunas se pueden medir

En una rama que pertenece a una sola malla, la corriente de malla y la de rama coinciden: un amperímetro en R1 muestra I_A.

03 · Método

El método, en cinco pasos

1. 1
   Identificar las mallas.

   Las ventanas del esquema. Controlar la cantidad con la fórmula del Tema 16.

2. 2
   Asignar una corriente a cada una, todas en sentido horario.

   Se les da un nombre: I_A, I_B, I_C. No importa si el sentido real resulta ser otro.

3. 3
   Escribir la ley de tensiones en cada malla.

   Recorriéndola en el sentido de su propia corriente, con la caída de cada resistor escrita como resistencia por corriente de rama.

4. 4
   Resolver el sistema.

   Tantas ecuaciones como mallas. Con dos, a mano; con más, con un programa.

5. 5
   Pasar a las ramas y controlar.

   Corriente, tensión y potencia de cada componente. La ley de corrientes y el balance de potencia sirven de control.

04 · Ejemplo completo

Dos mallas, paso a paso

El circuito de la figura es R1 + (R2 ∥ R3), con una pila de 9 V, R1 de 470 Ω, R2 de 1 kΩ y R3 de 2,2 kΩ. Su resultado ya lo conocés, del Tema 13: sirve para ver que el método da lo mismo. La malla A es la ventana de la fuente, R1 y R2. La malla B, la de R2 y R3.

La ecuación de la malla A

Se recorre en sentido horario, saliendo del negativo de la pila:

La ecuación de la malla B

También en sentido horario. En esta malla no hay fuente, y R2 se recorre ahora hacia arriba:

El detalle que hace funcionar el método está en la rama compartida. Vista desde la malla A, su corriente es I_A − I_B. Vista desde la malla B, es I_B − I_A. En las dos, la corriente de la malla que se está recorriendo va primero y la de la vecina se resta. Recorriendo siempre a favor de la corriente propia, todos los resistores son bajadas, y la regla de signos del Tema 18 se aplica una sola vez.

05 · La regla

Escribir las ecuaciones por inspección

Las dos ecuaciones del ejemplo, una debajo de la otra, dejan ver un patrón:

Ese patrón se repite en cualquier circuito de resistores y fuentes de tensión, siempre que todas las corrientes de malla tengan el mismo sentido. Conociéndolo, las ecuaciones se escriben mirando el esquema, sin recorrer nada:

La corriente propia

Va multiplicada por la suma de todas las resistencias de la malla, propias y compartidas. Siempre con signo más.

La corriente de cada vecina

Va multiplicada por la resistencia que comparten, con signo menos. Si dos mallas no comparten ninguna rama, el coeficiente es cero.

El lado derecho

La suma de las fuentes de la malla: positivas las que suben al recorrerla en sentido horario, negativas las que bajan. Sin fuentes, cero.

Tiene una lectura física. El primer término es lo que caería en la malla si su corriente circulara sola. El segundo descuenta lo que la corriente vecina, que cruza las ramas compartidas en sentido contrario, le quita a esa caída. La diferencia tiene que ser lo que aportan las fuentes.

06 · Álgebra

Resolver el sistema

Dos ecuaciones con dos incógnitas se resuelven a mano en pocos renglones. Hay dos caminos habituales.

Por sustitución

Conviene cuando una ecuación no tiene fuente, porque relaciona directamente las dos corrientes. De la malla B: I_A = 3,2 × I_B. Reemplazando en la de la malla A:

Y entonces I_A = 3,2 × 2,43 = 7,78 mA.

Por determinantes

La regla de Cramer da las dos incógnitas con una fórmula fija, y es la que conviene programar. Para el sistema a·I_A + b·I_B = e, c·I_A + d·I_B = f:

El determinante no puede ser cero

En un circuito con resistencia en todas sus mallas, D es siempre positivo. Si da cero, hay una ecuación repetida: casi siempre, el contorno exterior tomado como malla.

Con tres o más mallas

Las fórmulas existen, pero a mano son largas y fáciles de equivocar. Lo razonable es plantear el sistema con cuidado y dejar que lo resuelva un programa: la sección 12 trae uno de quince líneas, y el Tema 35 vuelve sobre la resolución con software.

07 · Resultado

De las mallas a las ramas

Las corrientes de malla no son todavía la respuesta. Falta el último paso: obtener lo que pasa en cada componente.

Son los números de los Temas 13 y 15, obtenidos sin calcular ningún equivalente. La tabla también contiene los tres controles que cierran el cálculo:

Ley de corrientes

En el nodo B: 7,78 = 5,35 + 2,43. Se cumple por construcción; si no cierra, hay un error de aritmética en el paso a las ramas.

Ley de tensiones

Malla A: 9 − 3,65 − 5,35 = 0. Malla B: R2 y R3 tienen la misma tensión, 5,35 V. Controla que el sistema se resolvió bien.

Balance de potencia

28,4 + 28,6 + 13,0 = 70,0 mW, lo que entrega la fuente. Es el único control que no se parece a las ecuaciones que se usaron.

Cuando una corriente de malla da negativa

Significa que circula en sentido antihorario: al revés de lo supuesto. Como con las flechas del Tema 17, no se corrige nada: se sigue con el valor negativo, y las cuentas de las ramas lo resuelven solas. Si I_A = 5,35 mA e I_B = −1,14 mA, la rama compartida lleva 5,35 − (−1,14) = 6,49 mA: las dos corrientes de malla la cruzan en el mismo sentido real y se suman.

08 · Segundo ejemplo

Dos mallas con dos fuentes

El primer ejemplo se podía resolver reduciendo. Este no. Al circuito anterior se le agrega una pila de 3 V en serie con R3, con el positivo hacia arriba. Es el nodo del Tema 17 con una rama que termina en una segunda pila: ahora R2 y R3 ya no están en paralelo, y no hay nada que reducir.

Por inspección, lo único que cambia es el lado derecho de la malla B. Al recorrerla en sentido horario se baja por R3 y se entra a la pila por su positivo: es una bajada de 3 V, y va con signo menos.

Con Cramer: D sigue siendo 3,704, porque las resistencias no cambiaron. I_A = (9 × 3,2 − (−1) × (−3)) ÷ 3,704 = 6,97 mA, e I_B = (1,47 × (−3) − 9 × (−1)) ÷ 3,704 = 1,24 mA. Por R2 pasan 5,73 mA, y el nodo B queda a 5,73 V.

En ninguna fila hubo que decidir de antemano hacia dónde iba la corriente de R3. Se planteó siempre igual, y el signo de I_B lo dijo. Esa es la ventaja de un método sistemático sobre el razonamiento caso por caso.

09 · Tres mallas

El puente

El puente tiene tres ventanas. La malla 1 es la de la fuente, con R1 y R2. La malla 2, arriba a la derecha, tiene R1, R3 y R5. La malla 3, abajo a la derecha, tiene R2, R5 y R4. Cada par de mallas comparte exactamente una rama.

Con los valores del Tema 17, R1 = 0,47, R2 = 1, R3 = 2,2, R4 = 1 y R5 = 0,47 kΩ, el sistema se escribe por inspección, fila por fila:

Resuelto con el programa de la sección 12: I₁ = 9,76 mA, I₂ = 2,11 mA e I₃ = 4,35 mA. De ahí salen las seis corrientes de rama:

Son las mismas corrientes que dio el análisis de nodos en el Tema 17, por un camino completamente distinto. Dos métodos independientes que coinciden son el mejor control que existe.

10 · Control

Controles del planteo y del resultado

Un sistema mal planteado se resuelve igual de bien que uno correcto, y da números que parecen razonables. Por eso conviene controlar antes de resolver, mirando la tabla de coeficientes.

El control de simetría es el más útil: detecta casi cualquier error de copia. En la fila 1 del puente, la diagonal es igual a la suma de los otros dos valores: es que toda la resistencia de esa malla está compartida, y solo la fuente es propia.

Después de resolver quedan los tres controles de la sección 07: reemplazar las corrientes en cada ecuación, verificar la ley de corrientes en un nodo y cerrar el balance de potencia.

11 · Alcance

Mallas o nodos, y dónde termina el método

En el Tema 17 apareció otra forma de plantear un circuito: tomar como incógnitas las tensiones de los nodos y escribir la ley de corrientes en cada uno. Los dos métodos resuelven lo mismo. La diferencia está en cuántas ecuaciones pide cada uno.

Convienen las mallas

Cuando hay pocas ventanas y muchos componentes en serie, o cuando lo que interesa son las corrientes. Las fuentes de tensión entran sin esfuerzo: van al lado derecho.

Convienen los nodos

Cuando hay muchas ramas en paralelo entre pocos nodos, o cuando lo que interesa son las tensiones. Es el método que usan los simuladores, porque no necesita encontrar las ventanas.

Conviene saber los dos

Resolver por uno y controlar por el otro es la verificación más fuerte que se puede hacer sin medir.

Lo que el método no cubre tal como está

El caso del LED es el mismo de la sección 09 del Tema 18: se supone que conduce, se resuelve, y se controla la suposición. Si la corriente que lo atraviesa sale negativa, el LED estaba apagado y hay que rehacer la cuenta con esa rama abierta, lo que elimina una malla.

12 · Software

El método de mallas en Python

Dos mallas, con los controles incluidos

def dos_mallas(va, r1, r2, r3, vb=0.0):
    """Malla A: fuente va, R1 propia y R2 compartida. Malla B: R2, R3 y una pila vb
    en serie con R3, con el positivo hacia arriba. Resistencias en kOhm: corrientes en mA."""
    a, b, e = r1 + r2, -r2, va                  # malla A
    c, d, f = -r2, r2 + r3, 0.0 - vb            # malla B: la pila se atraviesa de + a -
    det = a * d - b * c
    ia, ib = (e * d - b * f) / det, (a * f - e * c) / det
    print(f"  {a:.2f}*IA {b:+.2f}*IB = {e:g}     {c:+.2f}*IA {d:+.2f}*IB = {f:g}     D = {det:.3f}")
    print(f"  IA = {ia:.2f} mA   IB = {ib:.2f} mA   por R2: {ia - ib:.2f} mA   nodo B: {(ia - ib) * r2:.2f} V")
    # Controles: cada malla suma cero y la potencia de las fuentes es la que disipan los resistores.
    assert abs(va - ia * r1 - (ia - ib) * r2) < 1e-9, "La malla A no cierra"
    assert abs((ia - ib) * r2 - ib * r3 - vb) < 1e-9, "La malla B no cierra"
    disipada = ia**2 * r1 + (ia - ib)**2 * r2 + ib**2 * r3
    assert abs(va * ia - vb * ib - disipada) < 1e-9, "El balance de potencia no cierra"
    return ia, ib

print("R1 + (R2 || R3):")
dos_mallas(9, 0.47, 1, 2.2)
for pila in [3, 6, 9]:
    print(f"Con una pila de {pila} V en la malla B:")
    dos_mallas(9, 0.47, 1, 2.2, vb=pila)

El determinante es el mismo en los cuatro casos: depende solo de las resistencias. Las fuentes cambian el lado derecho.

Un sistema de cualquier tamaño

def resolver(matriz, lado_derecho):
    """Eliminacion de Gauss con pivoteo. Devuelve la lista de incognitas."""
    n = len(lado_derecho)
    m = [fila[:] + [lado_derecho[i]] for i, fila in enumerate(matriz)]
    for col in range(n):
        pivote = max(range(col, n), key=lambda fila: abs(m[fila][col]))
        assert abs(m[pivote][col]) > 1e-12, "Determinante cero: hay una ecuacion repetida"
        m[col], m[pivote] = m[pivote], m[col]
        for fila in range(col + 1, n):
            factor = m[fila][col] / m[col][col]
            for k in range(col, n + 1):
                m[fila][k] -= factor * m[col][k]
    x = [0.0] * n
    for fila in range(n - 1, -1, -1):
        x[fila] = (m[fila][n] - sum(m[fila][k] * x[k] for k in range(fila + 1, n))) / m[fila][fila]
    return x

print("Las dos mallas del ejemplo:", [round(i, 2) for i in resolver([[1.47, -1], [-1, 3.2]], [9, 0])])
print("Con el contorno exterior como tercera 'malla':")
try:
    resolver([[1.47, -1, 0.47], [-1, 3.2, 2.2], [0.47, 2.2, 2.67]], [9, 0, 9])
except AssertionError as error:
    print("  ", error)

La tercera fila del segundo sistema es la suma de las otras dos: no agrega información, y el programa lo detecta.

La tabla de coeficientes, armada por inspección

def armar(propias, compartidas, fuentes):
    """propias[i]: resistencias que estan solo en la malla i.
    compartidas[(i, j)]: resistencia de la rama que comparten las mallas i y j.
    fuentes[i]: suma de las fuentes de la malla i, positivas si suben en sentido horario."""
    n = len(propias)
    matriz = [[0.0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        matriz[i][i] = sum(propias[i])
    for (i, j), r in compartidas.items():
        matriz[i][i] += r                       # la compartida tambien es de cada malla
        matriz[j][j] += r
        matriz[i][j] -= r                       # y resta, multiplicada por la corriente vecina
        matriz[j][i] -= r
    assert all(matriz[i][j] == matriz[j][i] for i in range(n) for j in range(n)), "No es simetrica"
    return matriz, list(fuentes)

# Puente: malla 0 = fuente, R1, R2 · malla 1 = R1, R3, R5 · malla 2 = R2, R5, R4
matriz, lado = armar(propias=[[], [2.2], [1.0]],
                     compartidas={(0, 1): 0.47, (0, 2): 1.0, (1, 2): 0.47},
                     fuentes=[9, 0, 0])
for fila, v in zip(matriz, lado):
    print("  " + "  ".join(f"{coef:+6.2f}" for coef in fila) + f"   = {v:g}")
i1, i2, i3 = resolver(matriz, lado)
print(f"  I1 = {i1:.2f}   I2 = {i2:.2f}   I3 = {i3:.2f} mA")
ramas = {"fuente": i1, "R1": i1 - i2, "R2": i1 - i3, "R3": i2, "R4": i3, "R5": i3 - i2}
for nombre, i in ramas.items():
    print(f"    {nombre:<6} {i:5.2f} mA")
print(f"  nodo B: entra {ramas['R1']:.2f}, salen {ramas['R2']:.2f} + {ramas['R5']:.2f} = {ramas['R2'] + ramas['R5']:.2f} mA")

La función armar() es la regla de la sección 05 en diez líneas. Cambiá (1, 2): 0.47 por un valor muy grande, como 1e9, y vas a ver el puente sin su resistor central.

Qué tan acopladas están dos mallas

print("9 V, R1 = 0,47 y R3 = 2,2 kOhm, variando la resistencia compartida R2:")
for r2 in [0.1, 0.47, 1, 4.7, 10, 100]:
    ia, ib = resolver([[0.47 + r2, -r2], [-r2, r2 + 2.2]], [9, 0])
    print(f"  R2 = {r2:>6} kOhm   IA = {ia:5.2f}   IB = {ib:5.2f} mA   IB/IA = {ib / ia * 100:3.0f} %   = R2/(R2+R3) = {r2 / (r2 + 2.2) * 100:3.0f} %")

Con R2 chica, casi toda la corriente vuelve por ella y la malla B queda casi sin corriente. Con R2 muy grande, las dos corrientes de malla se igualan: por R2 no pasa casi nada y el circuito se comporta como una sola fila.

13 · Simulador

Dos mallas en vivo

El circuito de los dos ejemplos: la malla A con la fuente, R1 y la compartida R2; la malla B con R2, R3 y una pila opcional. Elegí los valores y mirá cómo cambia cada etapa del método con las tres vistas: ecuaciones, solución y ramas.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   Mirá el estado inicial en las tres vistas.

   Es el primer ejemplo: 1,47·IA − 1·IB = 9 y −1·IA + 3,2·IB = 0. D = 3,704; 7,78 mA y 2,43 mA; por R2, la diferencia: 5,35 mA.

2. 2
   Cambiá R2 a 10 kΩ, y después a 100 Ω.

   Con 10 kΩ las dos corrientes de malla casi se igualan, 3,96 mA y 3,25 mA, y por R2 pasan solo 0,71 mA. Con 100 Ω, la malla B queda casi sin corriente: 15,9 mA y 0,69 mA.

3. 3
   Volvé a 1 kΩ y poné una pila de 3 V, positivo arriba.

   En la vista de ecuaciones solo cambia el lado derecho de la malla B, que pasa a −3. Las corrientes bajan a 6,97 mA y 1,24 mA.

4. 4
   Subí la pila a 6 V, y después a 9 V.

   Con 6 V, la corriente de la malla B es casi cero. Con 9 V da −1,14 mA: el símbolo de la malla sigue siendo horario, que es la referencia, y la flecha de R3 se da vuelta.

5. 5
   Con la pila de 9 V, mirá la vista de ramas.

   Por R2 pasan 5,35 − (−1,14) = 6,49 mA. La segunda pila no absorbe energía: entrega. El balance de potencia suma las dos fuentes.

6. 6
   Invertí la pila de 9 V: positivo abajo.

   El lado derecho de B pasa a +9. Las dos fuentes empujan en sentido horario: 10,21 mA y 6,00 mA.

Preguntas para pensar

1. En el paso 2, con R2 de 10 kΩ, las dos corrientes de malla son casi iguales. ¿A qué circuito conocido se parece el resultado?
2. En los pasos 3 y 4 cambiaste la pila y el determinante no se movió. ¿Por qué?
3. En el paso 4, la corriente de la malla B pasó de positiva a negativa. ¿Hay algún valor de pila para el que sea exactamente cero? ¿Qué pasa ahí con R3?

14 · Entrenador

Entrenador del método de mallas

Ocho preguntas al azar sobre un banco de veinte: corrientes de malla, la regla de inspección, planteo, signos, paso a ramas y controles.

7 u 8 aciertos

Sabés plantear un circuito por mallas y leer el resultado. Podés pasar al taller del Tema 20.

6 o menos

Volvé a jugar: las preguntas cambian. Ante cada caso, anotá primero qué resistencias tiene cada malla y cuáles comparte.

15 · Mirada de programador

Elegir bien las variables

El método de mallas no agrega física: las leyes son las de los Temas 17 y 18. Lo que agrega es una decisión de representación. En lugar de una variable por rama, con restricciones que hay que hacer cumplir, usa una variable por malla, elegida de forma que una familia entera de restricciones se cumpla sola.

La función armar() muestra otra cosa que vale la pena notar: el circuito entró como datos, tres listas, y la tabla salió de un bucle. No hay ninguna línea que conozca el puente. Ese es el camino que lleva de resolver circuitos a mano a los simuladores: describir la conexión, generar el sistema, resolverlo. El análisis deja de depender de que alguien encuentre un truco.

Y la tabla tiene la forma que tienen muchos problemas de redes: en la diagonal, lo que cada elemento tiene en total; fuera de ella, con signo menos, lo que comparte con cada vecino. Con tensiones y conductancias en lugar de corrientes y resistencias, es la misma matriz que arma el método de nodos.

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios del método de mallas

Ejercicio 1: plantear y resolver

Una fuente de 12 V alimenta un circuito de dos mallas: R1 = 2,2 kΩ solo en la malla A, R2 = 1 kΩ compartida y R3 = 3,3 kΩ solo en la malla B. Escribí el sistema por inspección y resolvelo.

Ejercicio 2: tres resistores iguales

Con 12 V y los tres resistores de 1 kΩ, predecí la relación entre I_A e I_B antes de hacer cuentas. Después resolvé.

Ejercicio 3: controlar un resultado

Para el primer ejemplo del tema, con I_A = 7,78 mA e I_B = 2,43 mA, verificá la ley de tensiones en las dos mallas y el balance de potencia. Mostrá las cuentas.

Ejercicio 4: una corriente negativa

Una pila de 9 V alimenta la malla A. Los tres resistores son de 1 kΩ. En la malla B, en serie con R3, hay una pila de 6 V con el positivo hacia arriba. Planteá, resolvé e interpretá el signo de I_B. ¿Qué tensión tiene el nodo donde se juntan los tres resistores?

Ejercicio 5: de las mallas a las ramas

En un puente como el de la sección 09, con las mismas tres mallas, el sistema dio I₁ = 8,0 mA, I₂ = 3,0 mA e I₃ = 2,5 mA. Calculá las seis corrientes de rama. ¿Hacia dónde circula la de R5?

Ejercicio 6: tres mallas en fila

Una fuente de 12 V alimenta tres mallas, una al lado de la otra. La primera tiene R1 = 1 kΩ propia y comparte R2 = 2,2 kΩ con la segunda. La segunda tiene R3 = 1 kΩ propia y comparte R4 = 2,2 kΩ con la tercera. La tercera tiene R5 = 1 kΩ propia. Escribí la tabla de coeficientes. ¿Qué tiene de particular?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 20?

Podés avanzar si sos capaz de hacer esto sin mirar:

• Explicar por qué con corrientes de malla no hacen falta las ecuaciones de nodos.
• Escribir por inspección las dos ecuaciones de R1 + (R2 ∥ R3).
• Resolver un sistema de dos mallas con la regla de Cramer.
• Pasar de las corrientes de malla a las de rama, incluida la compartida.
• Nombrar tres controles que tiene que pasar una tabla de coeficientes.

Con este tema, cualquier circuito de resistores y fuentes se puede calcular por completo. Falta la otra mitad del trabajo: comprobar sobre la protoboard que las dos leyes se cumplen, nodo por nodo y malla por malla, con instrumentos y componentes reales. En el próximo tema, verificar Kirchhoff midiendo.