Constante de tiempo: qué es τ

01 · Punto de partida

Cuatro circuitos iguales, cuatro demoras

Los dos temas anteriores dejaron una idea a medias: la tensión de un capacitor y la corriente de un inductor no cambian de golpe. Tardan. Falta lo que cualquier programador preguntaría enseguida: ¿cuánto?

Los cuatro tienen la misma forma y la misma fuente. Lo que los distingue es un solo número, que se calcula multiplicando dos valores y que tiene unidad de segundos. En este tema vas a poder responder:

• ¿Por qué un circuito con un capacitor o un inductor demora?
• ¿Qué es la constante de tiempo y cómo se calcula?
• ¿Qué significa el 63 %?
• ¿Cuándo se puede decir que el cambio terminó?
• ¿De qué depende la demora, y de qué no?
• ¿Cómo sé si un circuito es rápido o lento para lo que necesito?

02 · Mecanismo

Por qué hay demora

En un circuito de resistores, todo ocurre al instante: se cierra la llave y cada tensión toma su valor. Para que haya demora hace falta un componente con memoria, que tenga algo que llenar.

Un capacitor necesita recibir carga para cambiar su tensión, y la carga llega por un resistor, que limita la corriente. Dos cosas deciden cuánto tarda:

Hay además un detalle que le da su forma a todo lo que sigue. La corriente que carga al capacitor depende de la tensión que queda sobre el resistor, y esa tensión es la diferencia entre la fuente y el capacitor. A medida que el capacitor se carga, la diferencia se achica, y con ella la corriente. Cuanto más cerca está de llegar, más despacio avanza.

Un proceso así no tiene un final nítido: se acerca a su destino sin alcanzarlo del todo. Por eso no se puede caracterizar con «el tiempo que tarda», y hace falta otra forma de medir su ritmo.

03 · Definición

La constante de tiempo: τ = R × C

La letra griega τ se lee «tau». Con la resistencia en ohms y la capacidad en farads, el resultado está en segundos. Que ohms por farads dé segundos no es evidente, pero sale de las definiciones:

Un coulomb dividido por un ampere es un segundo, porque un ampere es un coulomb por segundo. En la práctica conviene recordar tres combinaciones que evitan las potencias de diez:

El segundo y el cuarto no comparten ningún componente, y se comportan igual en el tiempo. Lo que importa no es la resistencia ni la capacidad por separado: es el producto.

04 · Significado

Tres lecturas de τ

τ no es el tiempo que tarda el cambio. Es una medida de su ritmo, y se puede leer de tres maneras equivalentes. El ejemplo de referencia: 9 V, 10 kΩ y 100 µF, con τ = 1 s.

La tercera lectura es la que explica por qué τ vale R × C. En el primer instante, el capacitor está vacío y toda la tensión cae sobre el resistor:

La tensión de la fuente aparece arriba y abajo, y se cancela. La constante de tiempo es lo que hay que recorrer, dividido por el ritmo inicial. Como el ritmo no se mantiene, sino que va bajando, en ese tiempo no se llega al final: se llega al 63 %.

05 · Herramienta

La tabla que sirve para todo

Si el tiempo se mide en múltiplos de τ y el avance, en porcentaje del recorrido total, todos los circuitos de este tipo siguen la misma curva. No hace falta calcularla cada vez: alcanza con una tabla.

De dónde sale el 63 %

De un número: e ≈ 2,718, la base de los logaritmos naturales. Lo que falta después de un τ es 1 ÷ e = 0,368, y lo recorrido, el resto. Aparece en todo proceso cuyo ritmo es proporcional a lo que falta.

La columna «Falta» se multiplica

36,8 % × 36,8 % = 13,5 %; por 36,8 % otra vez, 5,0 %. Con solo recordar el 37 %, se reconstruye la tabla.

La mitad no está en la mitad

El 50 % se alcanza a los 0,69 τ, bastante antes de un τ. Y en medio τ ya se recorrió el 39 %.

Sirve para subir y para bajar

En una descarga, la tabla dice qué parte de la tensión inicial se perdió. La fórmula que hay detrás, y las dos curvas completas, son el Tema 30.

06 · Criterio

Cuándo se terminó

En teoría, nunca: siempre falta el 37 % de lo que faltaba. En la práctica, llega un momento en que lo que falta es menor que lo que se puede medir o lo que importa, y el cambio se da por terminado. La convención habitual es cinco τ: falta menos del 1 %.

Cada 2,3 τ adicionales, lo que falta se divide por diez. Esperar el doble no da el doble de precisión: da el cuadrado. Por eso la regla de los cinco τ es tan cómoda, y por eso no vale la pena esperar mucho más.

07 · Lo que no cambia

De qué no depende τ

En la cuenta de la sección 04, la tensión de la fuente se canceló. Es un resultado con consecuencias: τ depende del circuito, no de lo que se le pide.

La fuente fija el destino

A qué valor se va a llegar. No cambia el ritmo: con más tensión hay más que recorrer y, en la misma proporción, más corriente para recorrerlo.

R y C fijan el ritmo

Qué tan rápido se llega, sea cual sea el punto de partida y el de llegada.

Cargar y descargar llevan lo mismo

Siempre que la carga y la descarga pasen por la misma resistencia. Si usan caminos distintos, cada uno tiene su τ.

Esa separación entre destino y ritmo simplifica mucho el análisis. Las preguntas «¿a qué valor llega?» y «¿cuánto tarda?» se contestan por separado: la primera, con las herramientas de continua de todo el curso; la segunda, con una multiplicación.

08 · El otro caso

Con un inductor: τ = L ÷ R

Un resistor y un inductor en serie, conectados a una fuente, también demoran: la corriente arranca en cero y sube hasta V ÷ R. La curva es la misma, y la constante de tiempo sale del mismo razonamiento: lo que hay que recorrer, dividido por el ritmo inicial.

El relé tarda 0,83 ms en llegar al 63 % de su corriente, y unos 4 ms en establecerla. La tabla de la sección 05 vale sin cambios.

Hay una diferencia que conviene mirar con cuidado: acá la resistencia divide.

Esto completa una frase del Tema 28: cuanto más baja es la tensión que se le permite a una bobina al cortar, más tarda en apagarse. Con un resistor de protección de 330 Ω, la corriente del relé se apaga con τ = 0,1 H ÷ 450 Ω = 0,22 ms. Con un diodo, que casi no agrega resistencia, con τ ≈ 0,83 ms: un pico mucho menor, a cambio de un apagado cuatro veces más lento.

09 · Escalas

Órdenes de magnitud

Con los componentes de este curso, una constante de tiempo puede valer desde microsegundos hasta minutos: ocho órdenes de magnitud. Antes de hacer ninguna cuenta fina, conviene saber en qué zona cae un circuito.

Los circuitos con inductores son rápidos

Con inductancias de milihenrys y resistencias de decenas de ohms o más, τ queda en milisegundos o menos. Para ver un transitorio RL hace falta un instrumento.

Los RC cubren todo el rango

Con capacitores de nanofarads a miles de microfarads, y resistores de ohms a megaohms, se consigue casi cualquier tiempo. Por eso los retardos se hacen con capacitores.

Referencias humanas

Por debajo de unos 20 ms, un cambio se percibe como instantáneo. Entre 0,1 s y 1 s, como un movimiento suave. Por encima de unos segundos, como una espera.

10 · Criterio

Rápido o lento, ¿respecto de qué?

Una constante de tiempo de 1 ms no es ni rápida ni lenta. Lo es en comparación con el tiempo que le interesa al circuito: cuánto dura el pulso que le llega, cada cuánto se lo mide, cuánto se puede esperar. Lo que decide el comportamiento es el cociente entre ese tiempo y τ.

Las tres columnas son el mismo circuito visto a distintas escalas. Un capacitor de filtro y un temporizador no son componentes distintos: son el mismo RC, usado lejos o cerca de su constante de tiempo.

11 · En circuitos reales

Qué R, qué C

Con un solo resistor y un solo capacitor no hay nada que decidir. En un circuito con más componentes, la R de la fórmula es la resistencia que ve el capacitor, y la C, la capacidad equivalente.

Un capacitor en la salida de un divisor

La resistencia que ve es la de salida del divisor, R1 ∥ R2, del Tema 22. Con 4,7 kΩ y 2,7 kΩ son 1,71 kΩ: con 100 µF, τ = 171 ms. El destino es la tensión del divisor sin carga, 3,28 V.

Varios capacitores

Se usa el equivalente del Tema 27. Con 10 kΩ, dos capacitores de 100 µF en paralelo dan τ = 2 s; en serie, 0,5 s.

Un inductor real

La R incluye la resistencia de su bobinado, que está en serie con todo lo demás.

El instrumento también cuenta

Un capacitor de 100 µF cargado, con solo el multímetro de 10 MΩ conectado, se descarga con τ = 1000 s. Uno de 100 nF, con τ = 1 s: se lo ve bajar mientras se lo mide.

Un mismo capacitor puede cargarse lento y descargarse rápido, si los dos caminos tienen distinta resistencia. Los circuitos con varios resistores se desarrollan en el Tema 30.

12 · Diseño

Elegir un τ

Para obtener un tiempo hay infinitos pares de R y C. El orden práctico es elegir primero el capacitor, que viene en pocos valores, y calcular el resistor.

1. 1
   Definir τ a partir del plazo.

   Si el cambio tiene que estar terminado en 2,5 s, τ = 2,5 ÷ 5 = 0,5 s.

2. 2
   Elegir un capacitor.

   Uno que deje al resistor entre 1 kΩ y 1 MΩ. Con 47 µF: R = 0,5 s ÷ 47 µF = 10,6 kΩ.

3. 3
   Llevar el resistor a un valor comercial.

   10 kΩ, que da τ = 0,47 s.

4. 4
   Contar la tolerancia.

   Un electrolítico de ±20 % deja el resultado entre 0,38 s y 0,56 s. Si eso no alcanza, hace falta otro tipo de capacitor, o un resistor ajustable.

Resistor muy chico

Mucha corriente, un capacitor grande y caro, y una fuente que tiene que entregar ese pico.

Resistor muy grande

Corrientes tan chicas que compiten con las fugas del capacitor y con lo que consume cualquier cosa que se conecte para medir.

El mismo τ no es el mismo circuito

Las tres filas tardan igual y consumen mil veces distinto. La constante de tiempo fija el ritmo; la corriente la fija el resistor.

13 · Verificación

Medir un τ

Si τ es de varios segundos, se mide con un multímetro y un cronómetro. El método directo usa la primera lectura de τ: el tiempo que tarda en recorrerse el 63 %.

1. 1
   Calcular la tensión de referencia.

   El 63,2 % de la fuente. Con 9 V, 5,69 V.

2. 2
   Partir de un capacitor descargado.

   A través de un resistor, y verificando que marque 0 V.

3. 3
   Conectar y cronometrar.

   El tiempo que pasa hasta que el multímetro muestra la tensión de referencia es τ.

4. 4
   Comparar con R × C.

   La diferencia, casi siempre, es la tolerancia del capacitor.

El multímetro, en paralelo con el capacitor

Sus 10 MΩ no alteran un circuito con 10 kΩ. Con un resistor de 1 MΩ, sí: cambian el destino y el τ.

Con τ muy cortos

No se pueden cronometrar. Se miden con un osciloscopio, o se deducen de los componentes.

Es una forma de medir un capacitor

Con un resistor conocido y un cronómetro se obtiene la capacidad sin un medidor. Es, de hecho, lo que hace por dentro la función de capacidad de un multímetro.

14 · Software

La constante de tiempo en Python

Calcular τ y expresarlo en una unidad cómoda

def tau_rc(ohmios, faradios):
    return ohmios * faradios

def tau_rl(henrios, ohmios):
    return henrios / ohmios

def tiempo(segundos):
    """Un tiempo, con la unidad que lo deja entre 1 y 1000."""
    for factor, unidad in [(1, "s"), (1e-3, "ms"), (1e-6, "us")]:
        if segundos >= factor * 0.9995:
            return f"{segundos / factor:.3g} {unidad}"
    return f"{segundos / 1e-9:.3g} ns"

print("Los cuatro circuitos de la escena:")
for r, c in [(1e3, 100e-6), (10e3, 1000e-6), (100e3, 100e-9), (100e3, 100e-6)]:
    t = tau_rc(r, c)
    print(f"  {r / 1000:>5.0f} kohm x {c * 1e6:>7.1f} uF: tau = {tiempo(t):>7}   listo en {tiempo(5 * t)}")

print("Con un inductor de 100 mH:")
for r in [12, 120, 1200]:
    t = tau_rl(0.1, r)
    print(f"  {r:>5} ohm: tau = {tiempo(t):>8}   listo en {tiempo(5 * t):>8}   corriente final {12 / r * 1000:.0f} mA")

La tabla, y cuánto esperar

import math

def recorrido(n_tau):
    """Fraccion del cambio completada despues de n constantes de tiempo."""
    return 1 - math.exp(-n_tau)

def espera(falta):
    """Cuantas constantes de tiempo hay que esperar para que falte esa fraccion."""
    return -math.log(falta)

print("  tiempo   recorrido   falta   con 9 V")
for n in [0.5, 0.693, 1, 2, 3, 4, 5]:
    f = recorrido(n)
    print(f"  {n:>5} tau   {f * 100:5.1f} %   {(1 - f) * 100:5.1f} %   {9 * f:.2f} V")

print("Para que falte:")
for falta in [0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.001, 0.0001]:
    print(f"  {falta * 100:>5.2f} %: {espera(falta):.1f} tau")

Cada vez que lo que falta se divide por diez, la espera crece en la misma cantidad: 2,3 τ.

El 63 %, sin ninguna fórmula

def simular_rc(v, r, c, pasos=20000):
    """Avanza en pasos muy cortos hasta t = R x C, usando solo la ley de Ohm y Q = C x V."""
    dt = r * c / pasos
    vc = 0.0
    for _ in range(pasos):
        corriente = (v - vc) / r          # lo que queda sobre el resistor, dividido R
        vc += corriente * dt / c          # la carga que entro, dividida C
    return vc / v

def simular_rl(v, r, l, pasos=20000):
    """Lo mismo para un inductor, hasta t = L / R, con V = L x dI / dt."""
    dt = l / r / pasos
    i = 0.0
    for _ in range(pasos):
        v_inductor = v - i * r            # lo que no cae en el resistor
        i += v_inductor * dt / l
    return i / (v / r)

print("Fraccion recorrida cuando el tiempo vale exactamente tau:")
for v, r, c in [(9, 10e3, 100e-6), (5, 1e3, 100e-6), (12, 100e3, 100e-9), (3.3, 470, 1000e-6)]:
    print(f"  RC  {v:>4} V, {r:>8.0f} ohm, {c * 1e6:>7.1f} uF: {simular_rc(v, r, c) * 100:.2f} %")
for v, r, l in [(12, 120, 0.1), (5, 1000, 0.01), (9, 20, 1.0)]:
    print(f"  RL  {v:>4} V, {r:>8.0f} ohm, {l * 1000:>7.1f} mH: {simular_rl(v, r, l) * 100:.2f} %")
print(f"  1 - 1/e = {(1 - 1 / math.e) * 100:.2f} %")

Siete circuitos distintos, con capacitores y con inductores, y el mismo resultado. El 63 % no depende de nada: es una propiedad de la forma del proceso.

Elegir componentes para un τ

E12 = [1.0, 1.2, 1.5, 1.8, 2.2, 2.7, 3.3, 3.9, 4.7, 5.6, 6.8, 8.2]
COMERCIALES = [base * 10 ** decada for decada in range(0, 7) for base in E12]

def cercano(ohmios):
    return min(COMERCIALES, key=lambda r: abs(r - ohmios))

def elegir(tau, capacitores_uF=(1, 10, 47, 100, 470, 1000), tolerancia=0.20):
    print(f"Para tau = {tiempo(tau)}:")
    for c_uF in capacitores_uF:
        ideal = tau / (c_uF * 1e-6)
        if not 470 <= ideal <= 1e6:
            continue
        r = cercano(ideal)
        real = r * c_uF * 1e-6
        print(f"  {c_uF:>5} uF con {r / 1000:>6.2f} kohm -> {tiempo(real):>7}"
              f"   (entre {tiempo(real * (1 - tolerancia))} y {tiempo(real * (1 + tolerancia))})")

elegir(0.5)
elegir(0.4, capacitores_uF=(470,))
elegir(10)

15 · Simulador

Una curva, todas las escalas

Elegí un circuito con capacitor o con inductor, sus valores y la fuente. El simulador calcula τ y dibuja el cambio. Un cursor permite recorrerlo y leer el valor en cada instante. Lo que hay que mirar es qué cambia en el gráfico y qué no.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   Mirá el circuito inicial: 9 V, 1 kΩ y 100 µF.

   τ = 100 ms. Con el cursor en 1 τ, el capacitor tiene 5,69 V: el 63,2 %.

2. 2
   Mové el cursor a 2 τ, 3 τ y 5 τ.

   86,5 %, 95,0 % y 99,3 %. La recta punteada, el ritmo inicial, llega arriba justo en 1 τ.

3. 3
   Cambiá el resistor a 10 kΩ.

   τ pasa a 1 s. La curva no se movió: lo único que cambió son los números del eje de tiempo.

4. 4
   Poné 100 kΩ y 10 µF.

   Otra vez 1 s. Dos circuitos distintos, la misma demora.

5. 5
   Cambiá la fuente a 12 V.

   τ sigue en 1 s. Cambia el destino, y el valor en 1 τ pasa a 7,59 V: el mismo 63,2 %.

6. 6
   Pasá a «Con inductor», con 9 V, 100 Ω y 100 mH.

   τ = 1 ms, y la corriente final es de 90 mA.

7. 7
   Subí el resistor a 1 kΩ.

   τ baja a 100 µs: más rápido. Y la corriente final baja a 9 mA. Con un capacitor, el mismo cambio lo habría hecho diez veces más lento.

Preguntas para pensar

1. En el paso 3, la curva no cambió al cambiar el resistor. ¿Qué cambió, entonces?
2. En los pasos 3 y 4, los dos circuitos tienen el mismo τ. ¿En qué se diferencian?
3. En el paso 7, subir la resistencia aceleró el circuito. ¿Por qué con un capacitor pasa lo contrario?

16 · Entrenador

Entrenador de τ

Ocho preguntas al azar sobre un banco de veinte: cálculo de τ, la tabla, el criterio de los cinco τ, de qué depende y órdenes de magnitud.

7 u 8 aciertos

Sabés calcular τ y usarlo para estimar una demora. Podés pasar al Tema 30.

6 o menos

Volvé a jugar: las preguntas cambian. Tené a mano la tabla: 63 %, 86 %, 95 % y 99 %.

17 · Mirada de programador

Un algoritmo que converge y no termina

Un circuito RC se parece a un método iterativo: en cada paso reduce el error en una proporción fija, y por lo tanto nunca llega a cero. Quien escribió alguna vez un bucle while error > tolerancia ya conoce la regla de los cinco τ.

La sección 10 es, en el fondo, una discusión sobre timeouts. Un servicio que responde en 10 ms es instantáneo para una persona y lentísimo dentro de un bucle que corre un millón de veces por segundo. Nadie dice que un servicio es «rápido» sin decir quién lo llama. Con una constante de tiempo pasa lo mismo: el número suelto no significa nada, y el cociente con el tiempo disponible lo dice todo.

Y la observación de que todos los circuitos comparten una curva es la que justifica tener una sola función. recorrido(n_tau) no recibe ni resistencias ni capacidades ni tensiones. Todo lo particular de un circuito cabe en dos números, el destino y τ; el resto es común a todos.

18 · Comprensión

Confusiones frecuentes

19 · Práctica guiada

Ejercicios de constante de tiempo

Ejercicio 1: tres constantes de tiempo

Calculá τ y 5 τ para: 4,7 kΩ con 220 µF; 100 kΩ con 100 nF; y un inductor de 47 mH con 100 Ω. Decí cómo se percibe cada uno.

Ejercicio 2: usar la tabla

Un capacitor de 47 µF se carga desde 0 V con 12 V a través de 22 kΩ. ¿Cuánto vale τ? ¿Qué tensión tiene después de 1 τ, 2 τ, 3 τ y 5 τ?

Ejercicio 3: diseñar un plazo

Un circuito tiene que estabilizarse en 2 s, y hay un capacitor de 470 µF. ¿Qué resistor de la serie E12 corresponde? ¿Qué plazo resulta?

Ejercicio 4: el inductor, al revés

Un inductor de 100 mH se conecta a 5 V, primero con 50 Ω en serie y después con 500 Ω. Calculá τ y la corriente final en cada caso. ¿Cuál es más rápido?

Ejercicio 5: la resistencia que ve el capacitor

Un divisor de dos resistores de 10 kΩ, alimentado con 9 V, tiene un capacitor de 47 µF en su salida. ¿A qué tensión llega el capacitor? ¿Con qué τ? ¿En cuánto tiempo está listo?

Ejercicio 6: comparar con un pulso

Un pulso de 10 ms llega a dos circuitos RC, uno de 1 kΩ con 1 µF y otro de 100 kΩ con 1 µF. ¿Cuántos τ dura el pulso en cada uno? ¿Qué hace cada capacitor?

20 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 30?

Podés avanzar si sos capaz de hacer esto sin mirar:

• Calcular τ para 10 kΩ y 100 µF, y para 100 mH y 120 Ω.
• Decir qué parte del cambio se recorrió después de uno, dos, tres y cinco τ.
• Explicar por qué τ no depende de la tensión de la fuente.
• Decir cuánto hay que esperar para dar un cambio por terminado.
• Explicar por qué subir la resistencia frena a un RC y acelera a un RL.

Con τ y la tabla se puede estimar casi todo. Lo que falta es la curva completa: el valor exacto en cualquier instante, el tiempo exacto para llegar a una tensión dada, y qué hace la corriente mientras tanto. En el próximo tema, el circuito RC, en carga y en descarga.