RC: carga, descarga y regla 5τ

01 · Punto de partida

Cincuenta segundos mirando un multímetro

El Tema 26 mostró que la tensión de un capacitor no puede cambiar de golpe, y el Tema 29 le puso nombre al ritmo de ese cambio: la constante de tiempo, τ = R × C. Falta la curva completa: cuánto vale la tensión en cada instante.

Esa forma, rápida al principio y cada vez más lenta, no es un defecto del capacitor ni del instrumento. Es la única curva posible para un resistor y un capacitor en serie, y tiene una fórmula. En este tema vas a poder responder:

• ¿Por qué la carga no avanza a ritmo parejo?
• ¿Cuánto vale la tensión del capacitor en cada instante?
• ¿Qué hace la corriente mientras tanto?
• ¿Cuándo se puede decir que terminó?
• ¿Cuánto tarda en llegar a una tensión determinada?
• ¿Cómo elijo R y C para obtener un tiempo?

02 · Mecanismo

Por qué la curva tiene esa forma

Las dos reglas que hacen falta ya las conocés. La del resistor: su corriente es la tensión que tiene, dividida por R. La del capacitor: su tensión cambia tan rápido como la corriente que recibe, dividida por C. En el circuito serie, las dos se encadenan.

1. 1
   Al resistor le queda lo que le falta al capacitor.

   Por la ley de tensiones, sobre el resistor hay V − V_C: la diferencia entre la fuente y lo que el capacitor ya tiene.

2. 2
   Esa diferencia fija la corriente.

   I = (V − V_C) ÷ R. Mucha diferencia, mucha corriente.

3. 3
   La corriente fija la velocidad de carga.

   La tensión del capacitor sube I ÷ C volts por segundo.

4. 4
   Al subir, la diferencia se achica.

   Y con ella la corriente, y con ella la velocidad. El circuito se frena a sí mismo.

Juntando los pasos 2 y 3: la velocidad con la que sube la tensión es (V − V_C) ÷ (R × C). En palabras: la velocidad es lo que falta, dividido por τ. Cuando falta mucho, avanza rápido; cuando falta poco, avanza despacio; y nunca llega a detenerse del todo, porque mientras falte algo, algo avanza.

La última columna es la clave de todo el tema. Cada 10 segundos, que en este circuito es un τ, lo que falta se multiplica por 0,368. No importa en qué momento se mire: en un τ se recorre siempre el 63,2 % de lo que quedaba. Una magnitud que en tiempos iguales cambia en proporciones iguales se llama exponencial.

03 · Fórmula

La carga, instante por instante

Si lo que falta se multiplica por 1 ÷ e en cada τ, después de un tiempo t cualquiera falta V × e^−t/τ. La tensión del capacitor es la de la fuente menos eso:

La fuente fija el destino; τ, el ritmo

Con 5 V en lugar de 12 V, todas las tensiones se achican en la misma proporción y los tiempos no cambian. Los porcentajes de la tercera columna valen para cualquier circuito RC.

R y C aparecen solo como producto

10 kΩ con 1000 µF y 100 kΩ con 100 µF dan la misma curva. Lo que cambia entre uno y otro es la corriente.

La malla cierra en cada fila

La tensión del capacitor más la del resistor suman 12 V en todo momento. Las leyes de Kirchhoff no saben que el tiempo pasa.

04 · La otra mitad

La corriente y el resistor

Mientras la tensión del capacitor sube, la del resistor baja con la misma forma. Y como la corriente es la tensión del resistor dividida por R, hace lo mismo:

La corriente inicial no depende del capacitor

Es V ÷ R: al principio el capacitor tiene 0 V y se comporta como un cable. El capacitor decide cuánto dura la corriente, no con cuánto arranca.

La corriente final es cero

El capacitor cargado es un circuito abierto. Es el régimen permanente del Tema 26.

El resistor trabaja sobre todo al principio

Su potencia es máxima en el instante inicial, V² ÷ R = 14,4 mW, y a los 10 segundos ya bajó a menos de 2 mW.

05 · Al revés

La descarga

Si un capacitor cargado a V₀ se conecta solo a un resistor, el razonamiento es el mismo con otro destino. El resistor tiene la tensión del capacitor, la corriente es V_C ÷ R, y esa corriente le saca carga. Cuanta más tensión queda, más rápido baja: ahora «lo que falta» es lo que queda por perder.

Es la curva de carga, dada vuelta

En cada instante, lo que la descarga conserva es lo que a la carga le faltaba. Los dos porcentajes suman cien.

La corriente circula en sentido contrario

En la carga entraba por la placa positiva; en la descarga sale por ella. El capacitor hace de fuente.

La energía se va mucho antes que la tensión

Depende del cuadrado de la tensión: después de un τ queda el 37 % de la tensión y solo el 13,5 % de la energía.

El τ puede ser otro

Si se descarga por un resistor distinto del de carga, la constante de tiempo cambia. Cuenta siempre el resistor por el que circula la corriente en ese momento.

06 · Criterio

La regla de los cinco τ, y otros tiempos

Según la fórmula, la carga no termina nunca: siempre falta algo. En la práctica hay que poner un corte, y el que se usa es cinco constantes de tiempo. A esa altura falta el 0,7 %, menos de lo que distingue un multímetro común y mucho menos que la tolerancia del capacitor.

Cinco τ es una convención, no un hecho

Para algo que tolera un 5 %, alcanza con tres. Para una medición de mucha exactitud, hacen falta siete u ocho. La regla dice cuándo dejar de esperar en un caso común.

El tiempo mitad es 0,69 τ

Es lo que tarda en recorrer la mitad de lo que falta, desde cualquier punto. Diez tiempos mitad reducen lo que falta a una milésima.

Los tiempos se suman, los factores se multiplican

Dos τ no son 126 %: son 63,2 % de lo que faltaba, dos veces. Queda 0,368 × 0,368 = 13,5 %.

07 · Otra lectura de τ

La pendiente inicial

En el instante de conectar, la tensión del capacitor sube a razón de V ÷ τ volts por segundo: en la escena, 12 V ÷ 10 s = 1,2 V por segundo. Si mantuviera ese ritmo, llegaría a los 12 V en exactamente un τ. Es la recta punteada de la figura, y es la otra forma de entender qué es la constante de tiempo: lo que tardaría en llegar si no se frenara.

Durante la primera décima parte de τ, la curva casi no se distingue de una recta. En ese tramo, el capacitor todavía tiene muy poca tensión, la corriente es casi constante y vale la cuenta simple del Tema 26: ΔV = I × Δt ÷ C. Las dos descripciones son la misma, mirada de cerca y de lejos.

08 · La pregunta inversa

Cuánto tarda en llegar a una tensión

Las fórmulas dan la tensión para un tiempo. Al diseñar hace falta lo contrario: el tiempo para una tensión. Se despeja con el logaritmo natural, la tecla ln, que es la operación inversa de e^x.

Las dos tienen la misma forma: τ por el logaritmo de lo que faltaba al empezar, dividido por lo que falta al llegar.

Ir de 0 a 4,5 V lleva 0,69 τ. Ir de 4,5 V a 8,9 V, que es casi la misma distancia, lleva 3,81 τ. Por eso un circuito que tiene que reaccionar cuando el capacitor llega a cierta tensión se diseña con ese umbral en la parte media de la curva, entre un tercio y dos tercios, donde la tensión todavía cambia con decisión. Un umbral cerca del final vuelve al tiempo muy sensible a cualquier pequeña variación.

09 · Diseño

Diseñar un tiempo

Un circuito RC es la forma más simple de fabricar un tiempo: un retardo al encender, la duración de un destello, el ritmo de un parpadeo. El diseño tiene tres pasos.

1. 1
   Del tiempo y el umbral, a τ.

   Con la tabla de la sección anterior. Para que algo ocurra 2 segundos después de conectar, con el umbral en dos tercios de la fuente: τ = 2 ÷ 1,10 = 1,8 s.

2. 2
   De τ, a un par de valores.

   Hay muchos pares con el mismo producto. Se elige uno de los dos por otra razón y se calcula el otro.

3. 3
   Revisar la corriente y las tolerancias.

   La corriente inicial es V ÷ R. Y el tiempo real va a tener, como mínimo, la tolerancia del capacitor.

Ni muy chico ni muy grande

Con un resistor de pocos cientos de ohmios, el capacitor necesario es enorme y la corriente inicial, alta. Con megaohmios, la corriente de carga se parece a la de fuga del capacitor y a la que toma un instrumento. La zona cómoda está entre 1 kΩ y 1 MΩ.

El tiempo hereda la tolerancia del capacitor

Con un electrolítico de ±20 %, el retardo puede ir de 0,8 a 1,2 veces lo calculado. Si el tiempo importa, se ajusta el resistor con un potenciómetro, o se usa otro tipo de circuito.

Hay que prever la descarga

Un retardo que funciona una vez y no se repite suele ser un capacitor que quedó cargado. Para que el tiempo vuelva a empezar, el capacitor tiene que tener por dónde descargarse.

10 · Una sola fórmula

Desde cualquier valor, hacia cualquier valor

La carga desde cero y la descarga hasta cero son dos casos de lo mismo. En general, un capacitor que está en una tensión inicial y tiene delante un circuito que lo lleva hacia una tensión final recorre el camino entre las dos con la misma exponencial:

En los cuatro casos, a los 2 segundos se recorrió el 63,2 % de la distancia entre el valor inicial y el final. La regla del 63 % no es sobre volts: es sobre la distancia que falta.

Solo hacen falta tres datos

Dónde está el capacitor, hacia dónde lo lleva el circuito y con qué constante de tiempo. El Tema 32 muestra cómo obtener los dos primeros sin calcular ninguna curva.

Cada cambio empieza una curva nueva

Si a mitad de una carga se pasa a descargar, la descarga parte de la tensión que había en ese instante. El capacitor recuerda dónde estaba.

11 · Circuitos reales

Con más de un resistor

Pocos circuitos tienen un único resistor en serie con el capacitor. La constante de tiempo sigue siendo R × C, y la pregunta es qué resistencia poner. La respuesta es la del Tema 22: la resistencia que «ve» el capacitor, mirando desde sus terminales hacia el resto del circuito.

Carga y descarga pueden tener tiempos distintos

Las dos primeras filas son un circuito que carga en medio segundo y tarda cinco en descargarse. Es la base de muchos circuitos que responden rápido a una señal y la «recuerdan» un rato.

Un capacitor en la salida de un divisor

Para el capacitor, el divisor es su equivalente: una fuente de 3,28 V con 1,71 kΩ en serie. La salida llega a su valor en unos 0,9 segundos en lugar de hacerlo al instante.

Al desconectar la fuente, el circuito cambia

El resistor de arriba queda sin camino, y el capacitor se descarga solo por el de abajo. La resistencia que ve es otra, y el τ también.

12 · Balance

La energía en la carga y en la descarga

Lo que sí depende del resistor es la potencia, es decir, qué tan rápido se disipa esa energía. La misma cantidad, entregada en menos tiempo, es más potencia instantánea.

Un resistor de 100 Ω y 1/4 W soporta ese pico de 1,44 W porque dura una décima de segundo y la energía total es chica. La última fila explica por qué un capacitor no se descarga con un destornillador: la energía es la misma, pero sale toda en una diez milésima de segundo, con una corriente que suelda el punto de contacto.

13 · Verificación

Medir la curva con un cronómetro

Un multímetro actualiza su pantalla dos o tres veces por segundo. Para seguir una curva a ojo hace falta que sea lenta: una constante de tiempo de varios segundos. El circuito de la escena, con τ = 10 s, está pensado para eso.

1. 1
   Predecir la tabla.

   Tensión esperada cada cierto tiempo, con los valores nominales.

2. 2
   Descargar el capacitor.

   Con un resistor de 1 kΩ entre sus patas, unos segundos. La curva tiene que arrancar de cero.

3. 3
   Conectar y cronometrar.

   Anotar la tensión en los tiempos elegidos. Conviene que alguien lea el reloj y otro la pantalla, o filmar las dos cosas.

4. 4
   Obtener el τ real.

   Es el tiempo en que la tensión llega al 63,2 % de la fuente.

5. 5
   Calcular la capacidad real.

   C = τ ÷ R, con el valor medido del resistor.

El tiempo mitad es más cómodo

En una descarga, se cronometra cuánto tarda la tensión en bajar a la mitad, desde cualquier valor. Ese tiempo, dividido por 0,69, es τ. No hace falta conocer la tensión de ninguna fuente.

El multímetro es una carga

Sus 10 MΩ quedan en paralelo con el capacitor. Con un resistor de 10 kΩ no se nota. Con uno de 1 MΩ, la tensión final baja un 9 % y el τ también: hay que contarlo, como en el Tema 22.

Los electrolíticos tienen fuga

Se comporta como un resistor grande en paralelo, igual que el instrumento. Con resistores de carga muy altos, la curva no llega a la tensión de la fuente.

14 · Software

El circuito RC en Python

La curva, de un valor a otro

import math

def tension(t, tau, v_final, v_inicial=0.0):
    """La formula general: del valor inicial hacia el final, con constante de tiempo tau."""
    return v_final + (v_inicial - v_final) * math.exp(-t / tau)

def tabla(v_fuente, r, c, descarga=False, multiplos=(0, 1, 2, 3, 4, 5)):
    tau = r * c
    inicial, final = (v_fuente, 0.0) if descarga else (0.0, v_fuente)
    print(f"{'Descarga' if descarga else 'Carga'}: {v_fuente} V, {r} ohm, {c * 1e6:g} uF -> tau = {tau:g} s")
    for n in multiplos:
        v = tension(n * tau, tau, final, inicial)
        i = (v if descarga else v_fuente - v) / r * 1000
        barra = "#" * round(v / v_fuente * 30)
        print(f"  {n} tau = {n * tau:5.1f} s   Vc = {v:5.2f} V   I = {i:5.3f} mA   |{barra}")

tabla(12, 10000, 1000e-6)
tabla(12, 10000, 1000e-6, descarga=True)

Las barras dibujan las dos curvas de la figura. Probá con tabla(5, 100000, 100e-6): mismo τ, otros voltios, y diez veces menos corriente.

La curva sin fórmula: paso a paso

def simular(v_fuente, r, c, hasta, pasos):
    """El bucle del Tema 26: Ley de Ohm, actualizar la tension, repetir."""
    dt = hasta / pasos
    v = 0.0
    for _ in range(pasos):
        i = (v_fuente - v) / r             # lo que falta, sobre R
        v += i * dt / c                    # la corriente cambia la tension
    return v

tau = 10000 * 1000e-6
exacto = tension(tau, tau, 12)
print(f"Tension despues de un tau, por formula: {exacto:.4f} V")
for pasos in [1, 2, 10, 100, 1000, 100000]:
    v = simular(12, 10000, 1000e-6, tau, pasos)
    print(f"  con {pasos:>6} pasos: {v:.4f} V   (error {(v / exacto - 1) * 100:+.2f} %)")

Con un solo paso, el resultado es 12 V: la recta de la pendiente inicial. Con pasos cada vez más cortos, el bucle converge a la fórmula. El número e es lo que queda en el límite.

Cuánto tarda, y qué valores elegir

def tiempo_hasta(v_objetivo, tau, v_final, v_inicial=0.0):
    """Tiempo para llegar a v_objetivo: tau por el logaritmo de lo que faltaba sobre lo que falta."""
    faltaba, falta = v_inicial - v_final, v_objetivo - v_final
    assert faltaba * falta > 0, "Esa tension no esta en el camino, o es justo el destino"
    return tau * math.log(faltaba / falta)

print("Carga hacia 9 V, en multiplos de tau:")
for objetivo in [3, 4.5, 5, 6, 8, 8.9]:
    print(f"  hasta {objetivo:>3} V: {tiempo_hasta(objetivo, 1.0, 9):.2f} tau")
print(f"Descarga de 9 V hasta 2 V: {tiempo_hasta(2, 1.0, 0, 9):.2f} tau")

def disenar(retardo, fraccion, v_fuente=9.0):
    """Pares R y C para que el capacitor llegue a esa fraccion de la fuente en el retardo pedido."""
    tau = retardo / math.log(1 / (1 - fraccion))
    print(f"Retardo de {retardo} s con el umbral al {fraccion * 100:.0f} %: tau = {tau:.2f} s")
    for c in [1e-6, 10e-6, 100e-6, 1000e-6]:
        r = tau / c
        apto = "bien" if 1e3 <= r <= 1e6 else "fuera de la zona comoda"
        print(f"  C = {c * 1e6:>6g} uF -> R = {r:>10.0f} ohm   I inicial = {v_fuente / r * 1000:8.4f} mA   {apto}")

disenar(2.0, 2 / 3)

Obtener τ a partir de mediciones

def tau_de_mediciones(v_fuente, puntos):
    """puntos: lista de (segundos, volts) de una carga desde cero. Un tau por cada punto, y el promedio."""
    estimaciones = []
    for t, v in puntos:
        tau = t / math.log(v_fuente / (v_fuente - v))
        estimaciones.append(tau)
        print(f"  a los {t:>4} s habia {v:5.2f} V -> tau = {tau:5.2f} s")
    promedio = sum(estimaciones) / len(estimaciones)
    print(f"  promedio: tau = {promedio:.2f} s")
    return promedio

tau_real = tau_de_mediciones(12.0, [(5, 4.4), (10, 7.2), (20, 10.1), (30, 11.2)])
print(f"Con R = 9950 ohm, C = {tau_real / 9950 * 1e6:.0f} uF")
print("El ultimo punto de la ficha, a los 50 s, y el mismo con una decima de volt menos:")
tau_de_mediciones(12.0, [(50, 11.9)])
tau_de_mediciones(12.0, [(50, 11.8)])

Los cuatro primeros puntos coinciden en un τ cercano a 11 s. El de los 50 s da 10,4 s, y con solo una décima de volt menos en la lectura daría 12,2 s: cerca del final, la curva es casi horizontal y cualquier error de lectura mueve mucho el resultado. Es la advertencia de la sección 08, vista en una medición.

15 · Simulador

La curva en vivo

Fuente, resistor y capacitor, con una llave que carga o descarga. El gráfico tiene una línea vertical en cada τ, y la tabla marca la fila por la que va pasando. Con el umbral elegís una tensión, y el simulador cronometra cuánto tarda en cruzarla y lo compara con la fórmula.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   Con los valores iniciales, tocá «Cargar».

   Es la escena: 12 V, 10 kΩ y 1000 µF. La curva cruza la primera línea vertical en 7,59 V y la segunda en 10,38 V. Los tramos entre líneas son cada vez más bajos.

2. 2
   Mirá el cruce del umbral.

   Al 50 %, 6 V, ocurre a los 6,9 segundos simulados: 0,69 τ. El simulador lo compara con τ × ln 2.

3. 3
   Esperá a los cinco τ y tocá «Descargar».

   La misma curva, dada vuelta: 4,41 V en un τ, 1,62 V en dos. La corriente tiene el mismo valor inicial, en sentido contrario.

4. 4
   Vaciá, cargá, y a los dos τ pasá a «Descargar».

   La descarga arranca desde donde estaba, 10,4 V, no desde 12 V. La tabla se recalcula con ese valor inicial.

5. 5
   Cambiá a 100 kΩ y 100 µF, y cargá.

   El mismo τ de 10 segundos y la misma curva. La corriente inicial es de 0,12 mA en lugar de 1,2 mA.

6. 6
   Probá 1 kΩ y 100 µF en «Tiempo real».

   τ = 0,1 s: la carga termina en medio segundo y no se la puede seguir a ojo. En modo acelerado, la curva es idéntica a las anteriores.

7. 7
   Poné el umbral en 90 % y repetí una carga.

   El cruce ocurre a 2,3 τ, y la curva lo atraviesa casi horizontal. Un pequeño cambio en el umbral movería mucho ese tiempo.

Preguntas para pensar

1. En el paso 5 cambiaste los dos componentes y la curva quedó igual. ¿Qué cambió en el circuito?
2. En el paso 4, ¿cuánto tarda la descarga en llegar a la mitad de los 10,4 V? ¿Es distinto de lo que tarda desde 12 V?
3. En el paso 7, ¿por qué conviene evitar un umbral del 90 % para fabricar un retardo?

16 · Entrenador

Entrenador del circuito RC

Ocho preguntas al azar sobre un banco de veinte: la forma de la curva, carga, descarga, corriente, tiempos, diseño y medición.

7 u 8 aciertos

Sabés seguir un circuito RC en el tiempo y diseñar un retardo. Podés pasar al Tema 31.

6 o menos

Volvé a jugar: las preguntas cambian. Ante cada caso, preguntate cuánto falta y cuántos τ pasaron.

17 · Mirada de programador

Un promedio que se actualiza de a poco

Hay una línea de código que casi todo programador escribió alguna vez, para suavizar una medición ruidosa o animar un movimiento: en cada paso, acercar el valor al objetivo en una fracción de lo que falta.

La primera fila no es una analogía: es el mismo cálculo. Un circuito RC es un promedio móvil exponencial hecho con dos componentes, y un promedio móvil exponencial es un circuito RC hecho con una línea de código. Quien entiende uno, entiende el otro: los dos responden rápido a un cambio grande, tardan en asentarse y nunca llegan exactamente.

El segundo bloque de Python muestra además de dónde sale el número e. Con un solo paso, el bucle da la recta. Con diez, se acerca. Con cien mil, coincide con la fórmula hasta el cuarto decimal. La exponencial es lo que se obtiene al aplicar «un poquito de lo que falta» infinitas veces, con pasos infinitamente chicos.

18 · Comprensión

Confusiones frecuentes

19 · Práctica guiada

Ejercicios de carga y descarga

Ejercicio 1: una tabla de carga

Una pila de 9 V carga un capacitor de 470 µF a través de 4,7 kΩ. Calculá τ, la corriente inicial, y la tensión del capacitor después de uno y de cinco τ.

Ejercicio 2: una descarga

Un capacitor de 1000 µF cargado a 12 V se descarga sobre 10 kΩ. ¿Qué tensión tiene después de uno y de tres τ? ¿Cuál es la corriente inicial, y a dónde va la energía?

Ejercicio 3: cuánto tarda

Una fuente de 5 V carga un capacitor de 10 µF a través de 100 kΩ. ¿Cuánto tarda en llegar a 3,3 V?

Ejercicio 4: diseñar para ver la curva

Con un capacitor de 1000 µF y una pila de 9 V, querés que la carga dure unos 10 segundos en total. ¿Qué resistor elegís? ¿Cuánto valen la corriente y la potencia iniciales?

Ejercicio 5: medir con el tiempo mitad

Un capacitor se descarga por un resistor de 10 kΩ. Su tensión baja de 9 V a 4,5 V en 3,2 segundos. ¿Cuánto vale τ? ¿Y la capacidad? ¿Cuánto más hay que esperar para que baje a 2,25 V?

Ejercicio 6: un capacitor en la salida de un divisor

Un divisor de 10 kΩ y 10 kΩ con 12 V tiene un capacitor de 100 µF en paralelo con el resistor de abajo. ¿A qué tensión llega la salida? ¿Con qué constante de tiempo? ¿Cuánto tarda en llegar a 5 V?

20 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 31?

Podés avanzar si sos capaz de hacer esto sin mirar:

• Explicar por qué la carga de un capacitor se va frenando.
• Decir qué porcentaje se recorrió después de uno, dos, tres y cinco τ.
• Calcular la tensión del capacitor en un instante dado, en una carga y en una descarga.
• Calcular cuánto tarda en llegar a una tensión, usando el logaritmo natural.
• Elegir un resistor y un capacitor para una constante de tiempo de un segundo.

En este circuito, la magnitud que no puede saltar es la tensión del capacitor, y la corriente salta en el instante de conectar. Existe otro componente que guarda energía y hace exactamente lo opuesto: no deja saltar a la corriente. Con él, la misma curva aparece en otro lugar del circuito. En el próximo tema, el circuito RL y el establecimiento de la corriente.