RL: establecimiento con τ = L/R

01 · Punto de partida

Un relé que todavía no cerró

El Tema 28 mostró que la corriente de un inductor no cambia de golpe, y el Tema 29, que el ritmo de ese cambio lo fija τ = L ÷ R. El Tema 30 dio la curva completa para el capacitor. Falta la del inductor.

El resultado de continua es el valor al que el circuito llega. Este tema trata del camino. En él vas a poder responder:

• ¿Cuánto vale la corriente de una bobina en cada instante después de conectarla?
• ¿Qué hacen las tensiones mientras tanto?
• ¿Cuánto tarda en llegar a una corriente determinada?
• ¿Cómo baja la corriente al apagar, y cuánto tarda?
• ¿Por qué un apagado suave es un apagado lento?
• ¿Cómo se acelera un circuito con una bobina?

02 · Mecanismo

Por qué la corriente sube así

Una fuente, un resistor y un inductor en serie. En todo instante, la ley de mallas reparte la tensión de la fuente entre los dos:

El primer término es lo que cae en el resistor. El segundo, lo que queda para el inductor, y es lo que hace crecer la corriente. Al conectar, la corriente es cero, el resistor no tiene tensión y el inductor recibe los 12 V completos: la corriente sube al ritmo máximo, V ÷ L.

Pero apenas hay corriente, el resistor empieza a quedarse con parte de la tensión. Al inductor le queda menos, y la corriente sube más despacio.

Es el mecanismo del Tema 29: un ritmo proporcional a lo que falta. La corriente se acerca a V ÷ R, el valor en que el resistor se lleva toda la tensión y al inductor no le queda nada, y se acerca cada vez más despacio.

03 · Fórmula

La corriente, instante por instante

Es la fórmula de carga del capacitor, con la corriente donde estaba la tensión. V ÷ R es el destino; el paréntesis, la fracción recorrida, que es la tabla del Tema 29.

La R de la fórmula es toda la resistencia en serie

La del bobinado, la de cualquier resistor externo y la que tenga la fuente. Interviene dos veces: fija el destino, V ÷ R, y fija el ritmo, L ÷ R.

Un inductor sin resistencia no tiene sentido acá

Con R = 0, el destino es infinito y τ también: la rampa del Tema 28, que no termina nunca. Todo circuito real tiene resistencia, y es ella la que pone el final.

04 · La otra mitad

Las tensiones mientras tanto

La tensión del resistor sigue a la corriente, por la ley de Ohm. La del inductor es lo que falta para completar la de la fuente:

05 · Comparación

RC y RL, lado a lado

La matemática es una sola. La física, no: un circuito RC, una vez cargado, queda en reposo, sin corriente y sin consumo. Un circuito RL «establecido» está en plena actividad, con la corriente circulando y el resistor disipando. Lo que en uno es el final de la historia, en el otro es el estado de trabajo.

06 · Conexión con el Tema 28

El arranque: la rampa

El Tema 28 describió la corriente de un inductor ideal como una rampa, V × t ÷ L. La curva de este tema arranca exactamente con esa pendiente, y se va separando de ella a medida que el resistor toma tensión.

Mucho antes de τ, vale la rampa

Hasta un décimo de τ, el error es del 5 % o menos. En ese lapso el resistor casi no influye, y el circuito se comporta como un inductor solo.

Mucho después de τ, vale la ley de Ohm

La corriente es V ÷ R y el inductor no se nota.

La rampa llega al valor final en un τ

Es la tercera lectura de τ del Tema 29: el tiempo que llevaría el cambio si mantuviera el ritmo inicial.

07 · La pregunta inversa

Cuánto tarda en llegar a una corriente

Despejando el tiempo de la fórmula, como en el Tema 30:

Dentro del logaritmo va lo que había que recorrer, dividido por lo que todavía falta. Para la escena inicial: el relé acciona con 70 mA, de 100 mA finales. Faltan 30 mA: t = 0,83 ms × ln(100 ÷ 30) = 0,83 × 1,204 = 1,0 ms.

08 · Al revés

El apagado

Al abrir la llave, la corriente sigue circulando por el camino que se le haya dejado: el resistor o el diodo de protección del Tema 28. Ese camino y la bobina forman un nuevo circuito RL, sin fuente, y la corriente decae hacia cero:

La constante de tiempo del apagado no es la del encendido: la resistencia del camino cambió. Con un resistor de protección de 330 Ω, el relé se apaga con τ = 0,1 H ÷ 450 Ω = 0,22 ms.

El pico es el primer punto de la curva

La tensión sobre la protección es la corriente por su resistencia, y la corriente arranca en el valor que tenía. Después, las dos decaen juntas.

La corriente no se invierte

Sigue en el mismo sentido dentro de la bobina. La que se invierte es la tensión entre sus terminales.

La llave termina con la tensión de la fuente

Abierta y con la corriente extinguida, tiene 12 V entre sus contactos, como cualquier llave abierta.

09 · Decisión de diseño

Pico contra tiempo

El Tema 28 dejó una pregunta abierta: cuánto más tarda en soltar un relé con un diodo. Un relé suelta su contacto cuando la corriente baja a una fracción de la nominal; tomando un 20 %, o sea 20 mA, el tiempo es τ × ln(100 ÷ 20) = 1,61 τ.

Las dos columnas del medio se mueven en sentidos opuestos, y no es casualidad. La ley del inductor dice que el ritmo al que baja la corriente es la tensión sobre el inductor dividida por L. Para apagar rápido hay que permitir tensión; si se la limita, la corriente tarda en irse. No hay forma de tener las dos cosas.

Con diodo

El pico más bajo posible y el apagado más lento. Es lo correcto en la gran mayoría de los casos: un milisegundo de más no importa.

Cuando el tiempo importa

Se le permite a la bobina una tensión mayor, pero acotada, con un resistor o con otros componentes en serie con el diodo. Se elige la mayor tensión que la llave soporta con margen.

Dónde termina la energía

Los 500 µJ se reparten entre el bobinado y la protección en proporción a sus resistencias. Con un diodo, casi todo se disipa en la propia bobina.

10 · Una sola fórmula

Desde cualquier valor, hacia cualquier valor

El encendido y el apagado son dos casos de la misma expresión, la del Tema 30 con otra letra:

Sirve para cualquier cambio en un circuito con una bobina. Un ejemplo real: para ahorrar energía, muchos circuitos accionan un relé con toda su tensión y, una vez cerrado, intercalan un resistor en serie para mantenerlo con menos corriente.

Tres datos

La corriente que había, que no salta; la corriente a la que el nuevo circuito lleva, V ÷ R; y τ, con la inductancia y la resistencia del nuevo circuito.

Los tres se calculan con el circuito de después

Salvo la corriente inicial, que es la herencia del circuito de antes.

11 · Balance

La energía

El campo magnético del relé, con 100 mA, guarda ½ × 0,1 × 0,1² = 500 µJ. Como la energía va con el cuadrado de la corriente, se acumula más tarde que la corriente:

En el apagado, toda la energía del campo se convierte en calor en las resistencias del camino, sin que la fuente intervenga. Es poca: el problema del apagado nunca fue la energía, sino la tensión.

12 · Diseño

Cómo acelerar un circuito RL

La inductancia de una bobina viene dada. Para que su corriente se establezca más rápido hay una sola variable: la resistencia. Pero subir la resistencia baja la corriente final. La salida es subir las dos cosas, la resistencia y la tensión, en la misma proporción.

El ritmo inicial es V ÷ L: con el doble de tensión, la corriente arranca el doble de rápido, y el resistor agregado se ocupa de que no pase de 100 mA. El precio es la potencia que ese resistor disipa todo el tiempo.

Es una técnica clásica

Se usó durante décadas para manejar motores paso a paso, que necesitan cambiar la corriente de sus bobinas cientos de veces por segundo.

La versión moderna no desperdicia

Aplica una tensión alta y la corta cuando la corriente llega al valor buscado, sin resistor. Usa la rampa del Tema 28 y una llave rápida. Es tema de otro curso.

Para un τ determinado

R = L ÷ τ. Con 100 mH, un τ de 1 ms pide 100 Ω en total. Hay que verificar después la corriente y la potencia: con 9 V serían 90 mA y 0,81 W.

13 · En la mesa

Lo que se puede medir, y los tiempos mecánicos

Un transitorio RL dura milisegundos o menos. Con un multímetro no se ve nada de la curva.

El tiempo eléctrico no es todo

Cuando la corriente llega al valor de accionamiento, la pieza móvil recién empieza a moverse. Recorrer el trayecto lleva varios milisegundos más, y al llegar el contacto rebota. La hoja de datos da el tiempo total.

La regla para el programa

Después de activar o desactivar un relé, esperar el tiempo de la hoja de datos con margen, del orden de 10 a 20 ms, antes de contar con el contacto.

La bobina cambia mientras se mueve

Al acercarse la pieza de hierro, la inductancia aumenta. La curva real de un relé tiene una pequeña muesca en ese momento: es la firma del movimiento.

14 · Software

El circuito RL en Python

La curva del encendido

import math

def hacia(inicial, final, tau, t):
    """Valor en el instante t de una magnitud que va de inicial a final con constante de tiempo tau."""
    return final + (inicial - final) * math.exp(-t / tau)

def encendido(v, r, l, multiplos=(0, 0.6, 1, 2, 3, 5)):
    """Unidades basicas: volts, ohms, henrys."""
    tau = l / r
    i_final = v / r
    print(f"tau = {tau * 1000:.3g} ms   corriente final = {i_final * 1000:.1f} mA")
    print("    t (ms)   I (mA)    V_R     V_L    suma")
    for n in multiplos:
        i = hacia(0, i_final, tau, n * tau)
        v_r = i * r
        v_l = v - v_r
        assert abs(v_l - v * math.exp(-n)) < 1e-9, "La tension del inductor no coincide con su formula"
        print(f"  {n * tau * 1000:8.3f}  {i * 1000:7.1f}  {v_r:6.2f}  {v_l:6.2f}  {v_r + v_l:6.2f}")
    return tau

print("El rele de 100 mH y 120 ohm con 12 V")
encendido(12, 120, 0.1)
print("9 V, 1 kohm y 100 mH")
encendido(9, 1000, 0.1)

La rampa, y cuánto tarda

def tiempo_hasta(inicial, final, objetivo, tau):
    """Tiempo para llegar a objetivo: tau por el logaritmo de lo que faltaba sobre lo que falta."""
    return tau * math.log((final - inicial) / (final - objetivo))

V, R, L = 12, 120, 0.1
TAU = L / R
I_FINAL = V / R

print("Rampa ideal contra curva real:")
for n in [0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1]:
    t = n * TAU
    rampa = V * t / L
    real = hacia(0, I_FINAL, TAU, t)
    print(f"  {n:>4} tau: rampa {rampa * 1000:6.1f} mA   real {real * 1000:6.1f} mA   exceso {(rampa / real - 1) * 100:4.1f} %")

print("Tiempo para llegar a:")
for parte in [0.5, 0.7, 0.9, 0.99]:
    t = tiempo_hasta(0, I_FINAL, parte * I_FINAL, TAU)
    print(f"  {parte * 100:>3.0f} %: {t / TAU:.2f} tau = {t * 1000:.2f} ms")

Del 90 % al 99 % pasa tanto tiempo como de cero al 90 %. Cada vez que lo que falta se divide por diez, hay que esperar otros 2,3 τ.

El apagado: pico contra tiempo

def apagado(v, r_bobina, l, r_proteccion, soltar=0.2):
    """Corriente inicial v / r_bobina, que decae por r_bobina + r_proteccion."""
    i0 = v / r_bobina
    tau = l / (r_bobina + r_proteccion)
    pico_llave = v + i0 * r_proteccion
    t = tiempo_hasta(i0, 0, soltar * i0, tau)
    en_proteccion = r_proteccion / (r_bobina + r_proteccion)
    return pico_llave, tau, t, en_proteccion

print("Rele de 100 mH y 120 ohm, con 100 mA:")
print("  proteccion   llave      tau     hasta 20 %   energia en la proteccion")
for r in [10000, 1000, 330, 100, 0]:
    pico, tau, t, parte = apagado(12, 120, 0.1, r)
    nombre = f"{r:>6} ohm" if r else "    diodo "
    print(f"  {nombre}  {pico:6.0f} V  {tau * 1000:6.3f} ms  {t * 1000:6.3f} ms   {parte * 100:3.0f} %")
print("  (el diodo se trata como un cable: en realidad agrega unos 0,7 V)")

for pico, tau, t, parte in [apagado(12, 120, 0.1, r) for r in [1000, 330, 100]]:
    print(f"  tension de la bobina x tiempo: {(pico - 12) * t * 1000:.1f} V.ms")

El producto de la tensión inicial de la bobina por el tiempo de apagado cambia mucho menos que cada factor: lo que se ahorra en uno se paga en el otro.

Acelerar, y cambiar en marcha

def acelerar(l, r_bobina, corriente, tensiones, accionar=0.7):
    print("  fuente   agregar     tau     hasta 70 %   potencia")
    for v in tensiones:
        r_total = v / corriente
        tau = l / r_total
        t = tiempo_hasta(0, corriente, accionar * corriente, tau)
        print(f"  {v:>4} V  {r_total - r_bobina:>5.0f} ohm  {tau * 1000:6.3f} ms  {t * 1000:6.3f} ms   {v * corriente:4.1f} W")

print("El rele, siempre con 100 mA:")
acelerar(0.1, 120, 0.1, [12, 24, 48])

print("Con 100 mA, se intercalan 120 ohm en serie:")
tau = 0.1 / 240
for ms in [0, 0.417, 1, 2.1]:
    print(f"  {ms:>5} ms: {hacia(0.1, 12 / 240, tau, ms / 1000) * 1000:6.1f} mA")

15 · Simulador

Encender y apagar una bobina

Elegí una bobina y una fuente. En Encendido, agregá resistencia en serie y mirá cómo se establece la corriente. En Apagado, elegí la protección y compará el pico con el tiempo. El cursor recorre la curva.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   Mirá el encendido inicial: el relé con 12 V.

   τ = 833 µs y 100 mA finales. Con el cursor en 1 τ hay 63,2 mA, y sobre la inductancia quedan 4,41 V.

2. 2
   Llevá el cursor a 1,2 τ.

   70 mA: la corriente de accionamiento, a 1 ms de haber conectado.

3. 3
   Agregá 120 Ω en serie.

   τ baja a 417 µs: más rápido. Y la corriente final baja a 50 mA: ya no alcanza para accionar el relé.

4. 4
   Pasá a «Apagado», con el resistor de 330 Ω.

   45 V sobre la llave, τ = 222 µs, y la corriente baja al 20 % en 0,36 ms.

5. 5
   Cambiá a 1 kΩ, y después a 100 Ω.

   Con 1 kΩ: 112 V y 0,14 ms. Con 100 Ω: 22 V y 0,73 ms. La tabla muestra las dos columnas moviéndose en sentidos opuestos.

6. 6
   Probá el diodo.

   12,7 V sobre la llave y 1,3 ms hasta el 20 %: el más suave y el más lento.

7. 7
   Con el diodo, cambiá a la bobina de 1 H.

   τ = 2,5 ms, y 4 ms hasta el 20 %. Una bobina grande con diodo tarda en soltar.

Preguntas para pensar

1. En el paso 3, el resistor en serie aceleró el circuito y lo dejó sin corriente suficiente. ¿Qué habría que cambiar para tener las dos cosas?
2. En el paso 5, ¿por qué el resistor que da el pico más alto es también el que apaga más rápido?
3. En el paso 7, ¿qué harías si ese relé tiene que soltar en menos de 2 ms y la llave soporta 60 V?

16 · Entrenador

Entrenador del circuito RL

Ocho preguntas al azar sobre un banco de veinte: la curva de la corriente, las tensiones, tiempos, apagado y comparación con el circuito RC.

7 u 8 aciertos

Sabés seguir la corriente de una bobina en el tiempo y elegir cómo apagarla. Podés pasar al Tema 32.

6 o menos

Volvé a jugar: las preguntas cambian. Ante cada caso, buscá tres datos: de dónde parte la corriente, a dónde va y con qué τ.

17 · Mirada de programador

Arranque gradual y cierre con plazo

Un servicio no pasa de cero a plena carga en un instante, y no se lo detiene cortándole la corriente. Los dos transitorios de este tema tienen nombre en operaciones: el encendido es un arranque gradual, y el apagado, un cierre ordenado con un plazo para vaciar lo pendiente.

La sección 09 es una negociación conocida. Quien configuró alguna vez el cierre de un proceso sabe que hay que elegir entre dos cosas que se quieren a la vez: que termine rápido y que termine sin romper nada. Con un plazo largo, el cierre es limpio y el despliegue se demora. Con un plazo corto, es rápido y algo se pierde. El diseño no elimina la tensión entre las dos: elige un punto.

Y la escena inicial es el error de sincronización más viejo que existe: suponer que una operación terminó porque ya se la pidió. La orden de activar el relé retorna en microsegundos. El relé, no.

18 · Comprensión

Confusiones frecuentes

19 · Práctica guiada

Ejercicios del circuito RL

Ejercicio 1: una tabla de encendido

Un inductor de 100 mH y un resistor de 1 kΩ se conectan a 9 V. Calculá τ, la corriente final, y la corriente y la tensión del inductor después de 1 τ, 2 τ y 5 τ.

Ejercicio 2: otros valores

12 V, 2,2 kΩ y 47 mH. Calculá τ, la corriente final, y la corriente y la tensión del inductor a los 2 τ.

Ejercicio 3: tiempo de accionamiento

Una bobina de 1 H y 400 Ω se conecta a 12 V. Acciona cuando la corriente llega al 70 % de la final. ¿Cuánto tarda?

Ejercicio 4: diseñar un τ

Con un inductor de 100 mH se quiere τ = 1 ms. ¿Qué resistencia total hace falta? Con 9 V, ¿qué corriente final resulta, y qué potencia disipa el resistor? ¿Sirve uno de 1/4 W?

Ejercicio 5: un apagado

La bobina de 1 H y 400 Ω, con 12 V, tiene un resistor de protección de 1 kΩ. Al abrir: ¿qué tensión hay sobre la llave? ¿Con qué τ baja la corriente? ¿Cuánto tarda en bajar al 20 %? ¿Y con un diodo?

Ejercicio 6: un cambio en marcha

El relé de 100 mH y 120 Ω tiene 100 mA con 12 V. Se intercala un resistor de 120 Ω en serie. ¿A qué corriente va, con qué τ, y cuánto vale la corriente 1 ms después?

20 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 32?

Podés avanzar si sos capaz de hacer esto sin mirar:

• Calcular τ y la corriente final de una bobina de 100 mH y 120 Ω con 12 V.
• Decir cuánto valen la corriente y la tensión del inductor en el primer instante y al final.
• Calcular cuánto tarda la corriente en llegar al 70 % de su valor final.
• Calcular el τ de un apagado con un resistor de protección.
• Explicar por qué un diodo da el pico más bajo y el apagado más lento.

En los dos últimos temas apareció el mismo patrón: un valor inicial heredado, un valor final que se calcula como en continua, y una curva que los une. Con práctica, los dos extremos se obtienen mirando el circuito, sin escribir una sola exponencial. En el próximo tema, transitorio y régimen permanente.