Transitorio vs. permanente

01 · Punto de partida

Dos mediciones que no coinciden

Los temas anteriores calcularon curvas completas. Muchas veces no hacen falta: alcanza con saber cómo arranca el circuito y cómo termina. Y esas dos cosas se obtienen mirando el esquema.

Entre las dos mediciones pasaron 160 ms de transitorio. Ninguna de las dos necesita una exponencial: 19 mA es lo que da el circuito con el capacitor reemplazado por un cable, y 6,1 mA, con el capacitor quitado. En este tema vas a poder responder:

• ¿Qué es el régimen transitorio y qué es el permanente?
• ¿Qué magnitudes conservan su valor en una maniobra?
• ¿Cómo se calcula el estado de un circuito justo después de conectar?
• ¿Y el estado final?
• ¿Qué pasa si el capacitor o el inductor ya tenían algo?
• ¿Cómo se unen los dos extremos?

02 · Vocabulario

Dos regímenes y cuatro instantes

Una maniobra es cualquier cambio brusco: cerrar o abrir una llave, conectar una carga, cambiar una fuente. Alrededor de ella conviene distinguir cuatro momentos, que tienen nombre y notación propios.

«Infinito» quiere decir «más de cinco τ»: en un circuito con τ = 32 ms, a los 160 ms ya es infinito. Y entre 0⁻ y 0⁺ no pasa tiempo: son las dos caras del mismo instante, a un lado y al otro de la maniobra.

03 · La regla

Lo que no puede saltar

Todo el tema se apoya en dos resultados ya conocidos. La energía de un capacitor es ½ × C × V², y la de un inductor, ½ × L × I². Mover energía lleva tiempo, y por eso las dos magnitudes que la determinan no pueden cambiar en un instante.

Esas dos magnitudes son la memoria del circuito: lo único que el estado nuevo recibe del anterior. Un circuito de resistores no tiene memoria, y por eso no tiene transitorio.

04 · Primer extremo

La foto inicial

En t = 0⁺, cada capacitor tiene una tensión conocida y cada inductor, una corriente conocida. Para ese único instante, se los puede reemplazar por algo que imponga ese valor, y resolver lo que queda como un circuito de resistores.

Un capacitor vacío es un cable, por un instante

Por eso un capacitor grande descargado, conectado directamente a una fuente, produce un pico de corriente que solo limitan las resistencias del camino.

Un inductor sin corriente es un circuito abierto, por un instante

Por eso una bobina recién conectada recibe toda la tensión de la fuente y no deja pasar nada.

El reemplazo vale solo para ese instante

Un momento después, el capacitor ya tiene algo de tensión y el inductor, algo de corriente. La foto es una foto.

05 · Segundo extremo

La foto final

En régimen permanente de continua, nada cambia. Si la tensión de un capacitor no cambia, su corriente, C × ΔV ÷ Δt, es cero. Si la corriente de un inductor no cambia, su tensión, L × ΔI ÷ Δt, es cero.

Cada componente empieza como el otro termina. Y los dos extremos son circuitos de resistores: se resuelven con serie, paralelo, divisores, Kirchhoff, todo lo que ya sabés. La foto final, además, no depende de la historia: sea cual sea el estado inicial, el circuito termina en el mismo lugar.

06 · Primeros ejemplos

Los dos circuitos simples

Un resistor de 1 kΩ y una fuente de 9 V, con un capacitor o con un inductor en serie, los dos sin energía previa.

La primera fila es igual a la cuarta, y la segunda, a la tercera. Es la dualidad del Tema 28 en su forma más compacta: los dos circuitos recorren el mismo camino en sentidos opuestos.

07 · Un caso real

Con varios resistores

El circuito de la escena: 9 V, R1 = 470 Ω en serie hasta un nodo B, y entre B y el negativo, R2 = 1 kΩ en paralelo con un capacitor de 100 µF descargado.

Al principio, el capacitor pone a R2 en cortocircuito

R2 está en paralelo con un cable: no recibe nada. La fuente ve solo a R1.

Al final, el capacitor no está

Quedan R1 y R2 en serie: un divisor del Tema 21. El capacitor termina con la tensión del divisor.

La constante de tiempo

La resistencia que ve el capacitor, del Tema 29: R1 ∥ R2 = 320 Ω. τ = 320 Ω × 100 µF = 32 ms, y el transitorio dura 160 ms.

08 · El dual

El mismo circuito, con un inductor

Ahora 12 V, R1 = 120 Ω hasta el nodo B, y entre B y el negativo, R2 = 330 Ω en paralelo con un inductor ideal de 100 mH, sin corriente.

Todo ocurre al revés que con el capacitor. Al principio, el inductor no está, y R1 con R2 forman un divisor. Al final, el inductor pone a R2 en cortocircuito y la fuente ve solo a R1. La corriente de la fuente, que con el capacitor empezaba alta y bajaba, acá empieza baja y sube.

La constante de tiempo usa la misma resistencia vista, R1 ∥ R2 = 88 Ω, con la fórmula del inductor: τ = 0,1 H ÷ 88 Ω = 1,14 ms.

09 · Condiciones iniciales

Cuando hay historia

Un capacitor o un inductor no siempre arrancan vacíos. Lo que traen se obtiene del estado anterior a la maniobra, que casi siempre es un régimen permanente y se calcula con la foto final del circuito de antes.

1. 1
   Resolver el circuito de antes, en régimen permanente.

   De ahí salen la tensión de cada capacitor y la corriente de cada inductor en 0⁻.

2. 2
   Pasar esos valores al otro lado de la maniobra.

   No saltan: son los mismos en 0⁺.

3. 3
   Resolver el circuito de después con esos valores impuestos.

   Es la foto inicial.

4. 4
   Resolver el circuito de después en régimen permanente.

   Es la foto final.

Ejemplo: el circuito de la sección 07 ya llegó a su estado final, con el capacitor a 6,12 V. Se desconecta la fuente. El capacitor queda solo con R2.

El capacitor pasó a hacer de fuente

En el instante en que la fuente desaparece, es él quien sostiene los 6,12 V sobre R2.

La constante de tiempo cambió

Ahora el capacitor ve solo a R2: τ = 1 kΩ × 100 µF = 100 ms. El circuito tardó 160 ms en llegar y tarda 500 ms en volver.

Con valores intermedios

Un capacitor con 4 V, conectado a 9 V por 1 kΩ, arranca con (9 − 4) ÷ 1 kΩ = 5 mA, no con 9 mA. Un inductor con 3 mA, en el mismo circuito, arranca con 3 V sobre el resistor y 6 V sobre él.

10 · La contracara

Lo que sí puede saltar

Que dos magnitudes no salten no quiere decir que el circuito cambie suavemente. Casi todo lo demás cambia de golpe, y esos saltos son los que suelen traer problemas.

Un nodo que tiene un capacitor conectado al negativo no puede saltar: hereda la continuidad del capacitor. Es el motivo por el que se ponen capacitores sobre las líneas de alimentación. Una rama que tiene un inductor en serie no puede cambiar su corriente de golpe, por lo mismo.

11 · La curva

Unir las dos fotos

En un circuito con un solo capacitor o un solo inductor, todas las tensiones y corrientes van de su valor inicial a su valor final con la misma constante de tiempo. La fórmula de los Temas 30 y 31 vale para cualquiera de ellas:

La x puede ser la tensión del capacitor, pero también la corriente de la fuente o la de un resistor cualquiera. Para el circuito de la sección 07, con τ = 32 ms:

En cada columna, la corriente de la fuente es la suma de las otras dos: la ley de nodos vale en todo instante. El procedimiento completo, para cualquier circuito de este tipo, tiene tres pasos.

12 · En la práctica

Para qué sirven las fotos

El pico de arranque

Es la primera fila, y es la causa de muchas fallas que aparecen «solo al enchufar». Los 10 A duran menos de un milisegundo, pero alcanzan para hacer actuar una protección o para que la tensión de la fuente se caiga un instante.

El reinicio al encender

La segunda fila es un uso deliberado: un capacitor mantiene una entrada en 0 V durante el primer milisegundo, y con eso le da tiempo a la alimentación de estabilizarse antes de que el circuito empiece a trabajar.

Verificar un cálculo

Si una curva calculada no arranca en la foto inicial o no termina en la final, está mal. Las fotos son el control más barato que existe.

13 · Verificación

Medir cada régimen

Agrandar el capacitor para ver

La ficha usa 1000 µF en lugar de 100 µF. Las dos fotos son las mismas: el capacitor no interviene en ninguna. Solo cambia el tiempo entre una y otra.

Si el permanente no coincide

El error está en un resistor o en una conexión, no en el capacitor ni en el inductor: en la foto final no figuran.

Si el permanente coincide y el circuito falla

La falla está en el transitorio: un pico, una entrada que arranca en el estado equivocado, una lectura hecha antes de tiempo.

14 · Software

Las dos fotos en Python

Las fotos de un circuito con capacitor

def paralelo(a, b):
    return a * b / (a + b)

def estado_con_capacitor(v, r1, r2, vc):
    """Fuente v, R1 hasta el nodo B, y R2 en paralelo con un capacitor que tiene vc volts."""
    i1 = (v - vc) / r1
    i2 = vc / r2
    return {"B (V)": vc, "fuente (mA)": i1 * 1000, "R2 (mA)": i2 * 1000, "capacitor (mA)": (i1 - i2) * 1000}

def fotos_con_capacitor(v, r1, r2, c, vc0=0.0):
    final = v * r2 / (r1 + r2)            # capacitor abierto: queda un divisor
    tau = paralelo(r1, r2) * c            # la resistencia que ve el capacitor
    return estado_con_capacitor(v, r1, r2, vc0), estado_con_capacitor(v, r1, r2, final), tau

def mostrar(inicial, final, tau):
    print(f"  tau = {tau * 1000:.3g} ms, listo en {5 * tau * 1000:.3g} ms")
    for nombre in inicial:
        print(f"  {nombre:<15} {inicial[nombre]:7.2f}  ->  {final[nombre]:7.2f}")

print("9 V, 470 ohm, y 1 kohm en paralelo con 100 uF:")
mostrar(*fotos_con_capacitor(9, 470, 1000, 100e-6))
print("El mismo, con el capacitor ya cargado a 3 V:")
mostrar(*fotos_con_capacitor(9, 470, 1000, 100e-6, vc0=3.0))

La foto final es la misma en los dos casos: no depende de cómo estaba el capacitor. Y τ tampoco.

Las fotos de un circuito con inductor

def estado_con_inductor(v, r1, r2, il):
    """Fuente v, R1 hasta el nodo B, y R2 en paralelo con un inductor ideal que lleva il amperes."""
    vb = (v / r1 - il) * paralelo(r1, r2)     # ley de nodos en B
    return {"B (V)": vb, "fuente (mA)": (v - vb) / r1 * 1000, "R2 (mA)": vb / r2 * 1000, "inductor (mA)": il * 1000}

def fotos_con_inductor(v, r1, r2, l, il0=0.0):
    final = v / r1                            # inductor como cable: R2 queda en cortocircuito
    tau = l / paralelo(r1, r2)
    return estado_con_inductor(v, r1, r2, il0), estado_con_inductor(v, r1, r2, final), tau

print("12 V, 120 ohm, y 330 ohm en paralelo con 100 mH:")
mostrar(*fotos_con_inductor(12, 120, 330, 0.1))

Cualquier magnitud, de una foto a la otra

import math

def hacia(inicial, final, tau, t):
    return final + (inicial - final) * math.exp(-t / tau)

inicial, final, tau = fotos_con_capacitor(9, 470, 1000, 100e-6)
print("  magnitud            0+      1 tau    2 tau    5 tau    final")
for nombre in inicial:
    valores = [hacia(inicial[nombre], final[nombre], tau, n * tau) for n in (0, 1, 2, 5)]
    print(f"  {nombre:<15}" + "".join(f"{x:9.2f}" for x in valores) + f"{final[nombre]:9.2f}")

for n in (0, 1, 2, 5):
    partes = [hacia(inicial[k], final[k], tau, n * tau) for k in ("fuente (mA)", "R2 (mA)", "capacitor (mA)")]
    assert abs(partes[0] - partes[1] - partes[2]) < 1e-9, "No se cumple la ley de nodos"
print("La ley de nodos se cumple en todos los instantes.")

Comprobarlo sin usar ninguna foto

def simular(v, r1, r2, c, hasta, pasos=20000):
    """Avanza en pasos cortos con la ley de nodos y Q = C x V. No sabe nada de fotos ni de tau."""
    dt = hasta / pasos
    vc = 0.0
    for _ in range(pasos):
        i_c = (v - vc) / r1 - vc / r2
        vc += i_c * dt / c
    return vc

tau = paralelo(470, 1000) * 100e-6
print("  instante    simulado   con fotos y tau")
for n in (1, 2, 5, 20):
    simulado = simular(9, 470, 1000, 100e-6, n * tau)
    formula = hacia(0, 9 * 1000 / 1470, tau, n * tau)
    print(f"  {n:>3} tau    {simulado:7.3f} V   {formula:7.3f} V")

La simulación paso a paso llega a los mismos valores. A los 20 τ está en 6,122 V: la foto final, obtenida sin quitar ningún capacitor.

15 · Simulador

Antes, durante y después

Una fuente, un resistor R1 en serie y, entre el nodo B y el negativo, un capacitor o un inductor, con un resistor R2 opcional en paralelo. Elegí el instante: en cada foto, el simulador dibuja el componente como lo que es en ese momento.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   Mirá la foto inicial: 9 V, 470 Ω, 1 kΩ y el capacitor vacío.

   El capacitor es un cable: B está en 0 V, R2 no tiene corriente, y la fuente entrega 19,1 mA.

2. 2
   Pasá a «t = ∞».

   El capacitor es un circuito abierto: queda el divisor, con 6,12 V en B y 6,12 mA.

3. 3
   Pasá a «Durante» y mové el cursor.

   En 1 τ, a los 32 ms, B tiene 3,87 V y la fuente entrega 10,9 mA. Todas las filas van de una foto a la otra con el mismo τ.

4. 4
   Quitá R2.

   Es el circuito RC simple: termina con 9 V en B y sin corriente. τ sube a 47 ms.

5. 5
   Volvé a poner R2 en 1 kΩ y cambiá a «A medio camino».

   En la foto inicial, B tiene 3,06 V y el capacitor recibe 9,6 mA: la mitad que vacío. La foto final no cambió.

6. 6
   Cambiá a inductor, vacío, con 12 V, 120 Ω y 330 Ω.

   En t = 0⁺ es un circuito abierto: 8,80 V en B y 26,7 mA. En t = ∞ es un cable: 0 V en B y 100 mA.

7. 7
   Compará las dos fotos del inductor con las del capacitor.

   La corriente de la fuente, que con el capacitor bajaba, con el inductor sube.

Preguntas para pensar

1. En el paso 1, R2 no tiene corriente aunque está conectado. ¿Por qué?
2. En el paso 5, cambió la foto inicial y no la final. ¿Qué otra cosa no cambió?
3. En el paso 6, ¿en cuál de las dos fotos tiene que estar dimensionado R1 para la potencia?

16 · Entrenador

Entrenador de transitorios

Ocho preguntas al azar sobre un banco de veinte: continuidad, foto inicial, foto final, condiciones heredadas y saltos.

7 u 8 aciertos

Sabés leer el principio y el final de un circuito sin calcular la curva. Podés pasar al Tema 33.

6 o menos

Volvé a jugar: las preguntas cambian. Ante cada caso, preguntate primero qué es lo que no puede saltar.

17 · Mirada de programador

Estado heredado, punto fijo y calentamiento

Todo proceso que arranca tiene tres partes: el estado que recibe, el estado en que se estabiliza, y el rato que tarda en ir de uno al otro. Las tres tienen nombre en software, y casi todos los errores de arranque vienen de confundir una con otra.

La separación más útil del tema es la de la sección 03: qué es estado y qué es derivado. La tensión del capacitor y la corriente del inductor son el estado del circuito, en el sentido exacto en que lo es el contenido de una base de datos. Todo lo demás, cada tensión y cada corriente de cada resistor, se recalcula a partir de ese estado y de las fuentes en cada instante. Un circuito de primer orden es un sistema con una sola variable de estado.

Y la observación de que la foto final no depende de la inicial es la definición de un sistema que converge. Es también lo que hace que un circuito bien diseñado se recupere solo de una perturbación: pase lo que pase en el arranque, termina donde tiene que terminar.

18 · Comprensión

Confusiones frecuentes

19 · Práctica guiada

Ejercicios de las dos fotos

Ejercicio 1: un capacitor con historia

Un capacitor de 470 µF, cargado a 5 V, se conecta a una fuente de 12 V a través de 2,2 kΩ, con la misma polaridad. Calculá la corriente inicial, el estado final, τ y la tensión después de un τ.

Ejercicio 2: un inductor con ventaja

Un inductor de 47 mH que lleva 10 mA queda conectado a 9 V con 470 Ω en serie, en el mismo sentido. Calculá las tensiones iniciales, la corriente final, τ y la corriente después de un τ.

Ejercicio 3: un divisor con capacitor

12 V, R1 = 1 kΩ en serie, y R2 = 2,2 kΩ en paralelo con un capacitor de 47 µF descargado. Calculá las dos fotos de la tensión en B y de la corriente de la fuente, y τ.

Ejercicio 4: el mismo, con un inductor

9 V, R1 = 470 Ω en serie, y R2 = 1 kΩ en paralelo con un inductor ideal de 10 mH sin corriente. Calculá las dos fotos de la tensión en B y de la corriente de la fuente, y τ.

Ejercicio 5: se quita la fuente

El circuito del ejercicio 3 está en régimen permanente y se desconecta la fuente. ¿Qué tensión y qué corrientes hay un instante después? ¿Con qué τ se descarga? ¿Qué magnitudes saltaron?

Ejercicio 6: diseñar a partir de las fotos

Con 9 V, se quiere un circuito RC cuya corriente inicial sea de 5 mA y cuya constante de tiempo sea de 0,5 s. ¿Qué resistor y qué capacitor? ¿Cuál es la foto final?

20 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 33?

Podés avanzar si sos capaz de hacer esto sin mirar:

• Decir qué dos magnitudes no pueden saltar, y por qué.
• Decir por qué se reemplaza un capacitor vacío en el primer instante, y por qué al final.
• Lo mismo para un inductor.
• Calcular las dos fotos de un divisor con un capacitor en la salida.
• Obtener el estado heredado a partir del circuito anterior a la maniobra.

En todo el curso, la fuente fue una caja que entrega 9 V pase lo que pase. En este tema apareció una grieta: un capacitor descargado le pide 10 A, y ninguna pila los da. Una fuente real tiene límites, y esos límites se modelan con un solo resistor. En el próximo tema, fuentes ideales y fuentes reales.