Frecuencia y período

01 · Punto de partida

Del osciloscopio a los hertz

En el Tema 1 viste que las señales van de lo muy lento a lo muy rápido, y en el Tema 3 aprendiste a decir cuánto se mueven. Ahora la segunda pregunta: ¿qué tan rápido se repite? Esa velocidad de repetición es la frecuencia, y es la que decide qué filtro, qué amplificador y qué instrumento sirven.

Para un programador, la frecuencia es familiar: es la tasa de un evento. «60 FPS», «100 peticiones por segundo», «un tick cada 10 ms». Es la misma idea, y también tiene su versión inversa (el tiempo entre eventos). La electrónica usa las dos todo el tiempo.

• ¿Cómo se convierten la frecuencia y el período, y con qué prefijos?
• ¿Cómo se mide una frecuencia, y por qué el método depende de qué tan rápida sea?
• ¿Qué es la fase y por qué importa cuando hay dos señales?
• ¿Por qué una cuadrada de 1 kHz «ocupa» mucho más que 1 kHz?

02 · Definición

Dos caras de lo mismo: f = 1/T

El período (T) es el tiempo que dura un ciclo completo, medido en segundos. La frecuencia (f) es cuántos ciclos caben en un segundo, medida en hertz (Hz). Una es la inversa de la otra:

Un hertz es, literalmente, «una vez por segundo» (1 Hz = 1 s⁻¹). Si algo se repite 50 veces por segundo, cada repetición dura 1/50 = 0,02 s = 20 ms.

Ciclo

Un recorrido completo de la señal hasta volver a empezar: de un cruce ascendente por cero al siguiente, o de un máximo al máximo siguiente. Siempre se mide entre dos puntos equivalentes de la onda.

Período (T)

Duración de un ciclo, en segundos. Es lo que ves directo en la pantalla de un osciloscopio.

Frecuencia (f)

Número de ciclos por segundo, en hertz. Es lo que se dice en voz alta («una señal de 440 hertz») y lo que usan las fórmulas de los filtros.

Qué se mantiene

Mientras la señal sea periódica, f y T son constantes. Si la señal no se repite exactamente (como la voz), hablamos de una frecuencia dominante o de una banda de frecuencias.

03 · Prefijos

Prefijos y unidades «lindas»

Las señales del curso cubren más de doce órdenes de magnitud, así que nadie escribe «0,00000006 s». Se usan prefijos que mueven la coma de a tres lugares:

El criterio para elegir el prefijo es que el número quede entre 1 y 999: 2,27 ms en lugar de 0,00227 s, o 16 MHz en lugar de 16.000.000 Hz. El número «lindo» delata la escala correcta.

Una regla práctica de conversión: si la frecuencia está en kHz, el período sale en ms (1 kHz ↔ 1 ms); si está en MHz, en µs (1 MHz ↔ 1 µs); si está en GHz, en ns (1 GHz ↔ 1 ns). Cada paso de mil se compensa con el paso de mil del otro lado.

04 · Medición

Cómo se mide una frecuencia

Hay dos maneras básicas de medir una frecuencia, y cada una es buena en un extremo de la escala. Un frecuencímetro de laboratorio elige solo; con un multímetro o con tu propio microcontrolador, tenés que elegir vos.

Los dos errores se mueven en sentidos opuestos. Contando, cuanto más rápida es la señal, más ciclos entran en la ventana y menor es el error relativo (1 ciclo sobre muchos). Midiendo el período, cuanto más lenta, más largo es el período y menor es el error del cronómetro (1 µs sobre un tiempo grande).

Con una ventana de 1 s y un cronómetro de 1 µs, el cambio de método ocurre cerca de 1 kHz. Es una regla útil: debajo de ~1 kHz, medí el período; arriba, contá ciclos. Para un programador es la diferencia entre «¿cuántos eventos llegaron en este segundo?» y «¿cuánto tardó en llegar el próximo?» (el pulseIn() de Arduino mide exactamente el segundo caso).

Con el osciloscopio: divisiones por tiempo

El osciloscopio es el instrumento de método 2: mide un período con la regla de la pantalla. La cuenta es siempre la misma:

Ejemplo: 3 divisiones entre cruces iguales con la base en 2 ms/div dan T = 6 ms y f ≈ 167 Hz. Se mide sobre varios ciclos y se divide, para bajar el error de lectura (por ejemplo, 5 ciclos que ocupan 10 divisiones de 1 ms dan T = 10 ms/5 = 2 ms).

Lento (segundos a minutos)

Cronómetro y paciencia: contar ciclos en 60 s y dividir. Parpadeos, termostatos, deriva de una NTC.

Red y audio bajo (Hz a decenas de kHz)

Multímetro con modo Hz (muchos lo traen) u osciloscopio. Medir el período es lo más preciso.

kHz a MHz

Osciloscopio o frecuencímetro: contar ciclos. Sin instrumento adecuado no hay medida seria (Tema 8).

Relojes internos (decenas de MHz y más)

En el hobby no se miden: se leen de la hoja de datos. El micro declara su frecuencia y el cristal la garantiza.

05 · Fase

Frecuencia angular y fase: adelanto para los filtros

Dos conceptos que vas a necesitar desde el Tema 11 y sobre todo en los filtros del Tema 23. Los presentamos acá porque nacen de la frecuencia.

Frecuencia angular (ω)

Una senoide es la proyección de un punto que gira en círculo. Una vuelta completa son 2π radianes (360°). Si da f vueltas por segundo, gira a:

La razón de este factor 2π es solo de unidades: aparece en las fórmulas de capacitores e inductores (reactancia, Tema 23) y en la frecuencia de corte de un filtro RC, fc = 1/(2π·R·C). Por ahora alcanza con recordar que «2π·f» convierte hertz en radianes por segundo.

Fase (φ)

La fase mide cuánto está corrida una señal respecto de otra de la misma frecuencia, expresada como fracción de un ciclo, normalmente en grados. Si una señal cruza el cero un tiempo Δt después que otra, el desfase es:

Un retardo fijo da más grados cuando la frecuencia es más alta: 5 ms son 90° a 50 Hz pero 1800° (5 vueltas) a 1 kHz. Por eso los circuitos que retrasan una señal (como un filtro RC) la desfasan más cuanto más rápida es. Es la clave de la estabilidad de los amplificadores con realimentación (Temas 15 y 21).

06 · Contenido de frecuencias

Una cuadrada tiene muchas frecuencias

Hasta acá hablamos de una frecuencia por señal. Es exacto para una senoide, y engañoso para todo lo demás. Una onda cuadrada de 1 kHz se repite 1000 veces por segundo, pero no es una senoide de 1 kHz: sus bordes verticales son cambios tan bruscos que solo se pueden construir sumando senoides más rápidas.

Sin hacer teoría, el resultado es este: una cuadrada simétrica se arma sumando la senoide de su frecuencia (la fundamental, f) más las senoides de 3f, 5f, 7f… (los armónicos impares), cada una más chica que la anterior (1/3, 1/5, 1/7…). Cuantos más armónicos entran, más se parece a una cuadrada de verdad.

De la tabla salen dos lecciones. La primera: el ancho de banda que necesita un circuito para dejar pasar bien una cuadrada es mucho mayor que su frecuencia; la regla práctica es contar con unas 10 veces f. Un amplificador que llega a 10 kHz «sirve» para una cuadrada de 1 kHz, pero no para una de 5 kHz: le redondea los bordes. La segunda: ese rebasamiento, cerca de 18 % por encima del nivel (≈ 9 % del salto total), no desaparece al sumar más armónicos; solo se vuelve más angosto. Se lo conoce como fenómeno de Gibbs y se lo ve en señales digitales reales.

07 · Simuladores

Dos experimentos: armar una cuadrada y medir una frecuencia

El primer simulador suma armónicos hasta formar una cuadrada y te dice cuánta banda necesita. El segundo compara los dos métodos de medición y te muestra dónde conviene cada uno. Cambiá de uno a otro con las pestañas.

Recorrido guiado (6 minutos)

1. 1
   Pestaña ①, con 1 armónico.

   Una senoide pura: el pico vale 1,27 (la senoide fundamental de una cuadrada de amplitud 1 es 4/π veces más alta). Todavía no parece cuadrada.

2. 2
   Subí a 3 y a 5 armónicos.

   Los bordes se enderezan y aparecen ondulaciones y un pico por encima del nivel. La banda mínima crece: con 5 armónicos ya hay frecuencias hasta 9 veces la fundamental.

3. 3
   Llevalo a 20 y cambiá la fundamental a 10 kHz.

   La forma es casi una cuadrada, pero para lograrla hace falta una banda de 390 kHz. Una cuadrada rápida pide un amplificador muy rápido, mucho más que su propia frecuencia.

4. 4
   Pestaña ②, con 50 Hz y ventana de 1 s.

   La curva turquesa (contar) está arriba, en 2 %; la naranja (período) está muy abajo. Para señales de red, medí el período.

5. 5
   Subí la frecuencia a 1 kHz y a 10 kHz.

   Las curvas se cruzan cerca de 1 kHz. Pasado ese punto, contar gana y el cronómetro de 1 µs deja de ser útil.

6. 6
   Con 10 kHz, alargá la ventana a 10 s.

   El conteo mejora diez veces, a costa de esperar más. Y el cruce de métodos se corre hacia abajo: con más ventana, contar conviene antes.

Preguntas para pensar

1. ¿Por qué contar ciclos en 1 s es un mal método para medir una señal de 0,5 Hz?
2. Un amplificador llega hasta 100 kHz. ¿Qué cuadrada puede pasar sin que se le deformen los bordes?
3. ¿Qué pasa con el desfase de un retardo fijo cuando la frecuencia sube?

08 · En código

Frecuencia, períodos y armónicos con Python

Tres herramientas pequeñas que vas a reutilizar durante todo el curso: un conversor con unidades lindas, una comparación de los dos métodos de medición y una cuadrada armada con armónicos.

Paso 1: el conversor y los ciclos de CPU

Convierte entre f y T eligiendo solo el prefijo, y suma un dato de programador: cuántos ciclos de un micro de 16 MHz caben en un período de cada señal.

def lindo_t(t_s):
    if t_s >= 1:
        return f"{t_s:.6g} s"
    if t_s >= 1e-3:
        return f"{t_s * 1e3:.6g} ms"
    if t_s >= 1e-6:
        return f"{t_s * 1e6:.6g} us"
    return f"{t_s * 1e9:.6g} ns"


def lindo_f(f_hz):
    if f_hz >= 1e6:
        return f"{f_hz / 1e6:.6g} MHz"
    if f_hz >= 1e3:
        return f"{f_hz / 1e3:.6g} kHz"
    if f_hz >= 1:
        return f"{f_hz:.6g} Hz"
    return f"{f_hz * 1e3:.6g} mHz"


CPU_HZ = 16e6   # microcontrolador de 16 MHz
banco = [("parpadeo", 1), ("red", 50), ("rizado", 100),
         ("LA audio", 440), ("PWM", 8000), ("cristal", 16e6)]
for nombre, f in banco:
    print(f"{nombre:10}: {lindo_f(f):>9}  T = {lindo_t(1 / f):>9}  "
          f"ciclos de CPU por período: {CPU_HZ / f:,.1f}")

Un período de la red (50 Hz) le deja al micro 320.000 ciclos para trabajar; uno del PWM de 8 kHz, solo 2.000. ¿Cuántos ciclos caben en un período de 1 kHz? Agregalo a la lista.

Paso 2: ¿contar o medir el período?

Calculamos el error máximo de cada método y elegimos el mejor para cada frecuencia:

RESOLUCION_S = 1e-6   # micros() de una placa típica: 1 us


def errores(f_real, ventana_s=1.0):
    e_contar = min(1.0, 1 / (f_real * ventana_s))   # contar ciclos: se puede errar en uno
    e_periodo = min(1.0, RESOLUCION_S * f_real)     # medir un período con resolución de 1 us
    mejor = "contar" if e_contar < e_periodo else "período"
    print(f"{f_real:>10} Hz: contar {e_contar * 100:10.4f} %  |  "
          f"período {e_periodo * 100:10.4f} %  ->  mejor: {mejor}")


for f in (0.5, 5, 50, 440, 1000, 10000, 1e6):
    errores(f)

Cambiá ventana_s=1.0 por 10 y por 0.1. ¿Hacia dónde se corre la frecuencia donde empatan los métodos?

Paso 3: armar una cuadrada con armónicos

Sumamos senoides impares (f, 3f, 5f…) con amplitud 1/3, 1/5… y medimos cuánto se parece a una cuadrada ideal (pico 1, eficaz 1):

import math


def cuadrada_parcial(n_armonicos, n=2000):
    v = []
    for k in range(n):
        t = 2 * math.pi * k / n
        v.append(4 / math.pi * sum(math.sin((2 * i - 1) * t) / (2 * i - 1)
                                   for i in range(1, n_armonicos + 1)))
    return v


for n_arm in (1, 2, 3, 5, 10, 50):
    v = cuadrada_parcial(n_arm)
    rms = math.sqrt(sum(x * x for x in v) / len(v))
    print(f"{n_arm:2d} armonicos (hasta {2 * n_arm - 1:3d}f): pico = {max(v):.3f}  "
          f"rms = {rms:.3f}  (cuadrada ideal: pico 1, rms 1)")

El eficaz tiende a 1 y el pico se estaciona en ≈ 1,179: el rebasamiento de Gibbs no se va. ¿Con cuántos armónicos el eficaz pasa de 0,97? Probá 4.

09 · Analogía de programador

FPS, polling y ancho de banda

La más útil en la práctica es la última: cuando un microcontrolador atiende una señal, el período es su presupuesto de tiempo. A 50 Hz sobran 320.000 ciclos; a 8 kHz quedan solo 2.000, y una interrupción mal escrita ya no entra.

10 · Comprensión

Confusiones frecuentes

11 · Práctica guiada

Ejercicios de ritmo

Ejercicio 1: tabla personal

En el primer bloque de Python, agregá tu rizado (100 Hz), un PWM de 1 kHz y la red (50 Hz) si no están. Anotá el período y los ciclos de CPU de cada uno.

Ejercicio 2: leer el osciloscopio

Entre dos cruces ascendentes iguales hay 4 divisiones y la base de tiempo marca 2 ms/div. ¿Cuál es el período y la frecuencia? ¿Qué cambia si 5 ciclos ocupan 10 divisiones de 1 ms?

Ejercicio 3: contar o medir

Querés medir una señal de 50 Hz con un contador de ventana de 1 s y con un cronómetro de 1 µs. ¿Qué error máximo tiene cada uno? ¿Y para una señal de 20 kHz?

Ejercicio 4: desfase

Dos señales de 100 Hz cruzan el cero con 2,5 ms de diferencia. ¿Cuántos grados están desfasadas? ¿Y si la frecuencia fuera 1 kHz con el mismo retardo?

Ejercicio 5: ancho de banda de una cuadrada

Una cuadrada de 5 kHz debe llegar a un ADC con sus bordes razonablemente rectos (hasta el 9.º armónico). ¿Qué banda necesita el amplificador previo? ¿Y con la regla de las 10 veces?

12 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 5?

Podés avanzar si sos capaz de responder esto sin mirar:

• Convertir entre frecuencia y período con el prefijo correcto.
• Decir qué método de medición usar para 0,5 Hz, para 50 Hz y para 1 MHz.
• Calcular la frecuencia desde una captura de osciloscopio (divisiones × tiempo/div).
• Pasar un retardo en tiempo a grados de fase.
• Explicar por qué una cuadrada de 1 kHz no cabe en un canal de 1 kHz.
• Calcular cuántos ciclos de CPU hay en un período de la señal.

Ritmo dominado. Ahora, las formas que lo visten: en el próximo tema, señales periódicas y ciclo de trabajo (duty).