Medio y eficaz

01 · Punto de partida

Dos instrumentos, dos números

En los Temas 3 y 5 aparecieron por separado el valor medio (lo que lee un tester en DC) y el valor eficaz (lo que determina el calor). Este tema los pone a trabajar juntos, porque en la práctica casi toda señal real trae las dos cosas al mismo tiempo: un nivel de continua y una variación.

Para un programador es la diferencia entre mirar una media y mirar cómo se dispersan los datos: con ambas se describe la serie, y con una sola se la describe mal. Aquí además hay un tercer protagonista, el instrumento, cuyas simplificaciones escondidas conviene conocer.

• ¿Qué promedia cada uno y cómo se combinan cuando conviven?
• ¿Qué mide realmente un tester barato en AC, y cuánto se equivoca?
• ¿Cómo se calcula la potencia con offset?
• ¿Cómo se usa el promedio por software para quitar ruido?

02 · Valor medio

Valor medio: el nivel donde vive

El valor medio (Vdc, también llamado promedio o componente continua) es el promedio de la señal sobre un número entero de períodos. En código es exactamente sum(v) / len(v). Geométricamente, es la altura a la que habría que poner un rectángulo del mismo largo para que tenga la misma área que la señal: lo que queda por encima de esa línea se compensa con lo que queda por debajo.

Tres propiedades que conviene tener presentes:

Es lineal

El medio de una suma es la suma de los medios. Una señal «continua + alterna» tiene como medio su parte continua, y la alterna simétrica aporta cero. Por eso se puede separar el offset de la oscilación.

Pide ciclos enteros

Si promediás un número no entero de ciclos, la parte alterna no se cancela del todo y el promedio sale corrido. Con 1,25 ciclos de una senoide de ±1 V, el medio sale 126 mV de más. Cuantos más ciclos, menor el error: con 100 ciclos y medio ya es de 3 mV. En código, tomá siempre una cantidad entera de ciclos o muchos ciclos.

Es lo que ve un filtro pasa-bajos

La salida de un filtro RC de corte bajo es, en esencia, el valor medio de la entrada (Tema 5). Por eso un PWM filtrado entrega D × Valto, y por eso un tester en DC, que promedia lentamente, lee ese mismo valor.

El valor medio no dice nada sobre cuánto se mueve la señal. Una continua pura de 2,5 V y una cuadrada de 0 a 5 V tienen el mismo medio, 2,5 V, y calientan distinto. Falta la otra mitad.

03 · Medio rectificado

Medio rectificado: lo que mide de verdad el tester barato

Calcular el valor eficaz exige elevar al cuadrado, promediar y sacar raíz. Eso es poco costoso en código, pero en un instrumento analógico sencillo se resolvía con piezas baratas de otra manera: se rectifica la señal (se invierten los semiciclos negativos para que todo sea positivo), se promedia y se lo multiplica por un factor. Ese promedio del valor absoluto es el valor medio rectificado:

El factor 1,11 sale de pedirle al instrumento que, ante una senoide, marque el eficaz correcto. Funciona para esa forma, y solo para ella. Para otras formas la relación entre el medio rectificado y el eficaz es distinta; esa relación se llama factor de forma (Vrms / Vrect):

La última columna sale de comparar 1,11 con el factor de forma: si el factor de forma de la señal es 1,11 (senoide), el instrumento acierta; si es 1,00 (cuadrada), marca 1,11/1,00 = 11 % de más; si es 1,15 (triangular), marca 1,11/1,15 = 4 % de menos.

El otro número de la tabla, el factor de cresta (Vp / Vrms), dice qué tan «puntiaguda» es la señal respecto de su eficaz. Importa porque un instrumento True RMS especifica hasta qué cresta es confiable (por ejemplo, «CF ≤ 3»). Un PWM al 10 % o un tren de pulsos angostos tiene una cresta altísima (≈ 3,2 para el 10 %) y puede exceder el límite del instrumento: el True RMS también se puede equivocar.

04 · Eficaz total

Eficaz total y potencia: combinar sin mezclar

La energía suma cuadrados, no tensiones. Una señal con parte continua Vdc y parte alterna de eficaz Vrms_AC tiene como eficaz total:

Es Pitágoras: la continua y la alterna son «perpendiculares» desde el punto de vista de la energía. Ejemplo: una senoide de 5 Vpp sobre un offset de 2,5 V tiene Vdc = 2,5 V y Vrms_AC = 1,77 V. El total es √(2,5² + 1,77²) = √9,38 ≈ 3,06 V: no es 2,5 (olvida la alterna), ni 1,77 (olvida la continua), ni 4,27 (suma directa).

Con la potencia sobre una resistencia R pasa lo mismo, pero más directo. La potencia de la continua y la de la alterna se suman:

Mirá la segunda fila: 93,75 mW son 62,5 mW de la continua (2,5²/100) más 31,25 mW de la alterna (1,77²/100). La tercera fila aporta una lección: una senoide de ±5 V y una cuadrada de 0 a 5 V al 50 % disipan lo mismo (125 mW) aunque parezcan muy distintas. Tienen el mismo eficaz total.

El camino inverso también sirve: si conocés el eficaz total y el medio, sacás la parte alterna con Vrms_AC = √(Vrms² − Vdc²). Es lo que hace el bloque de Python de la sección 08.

05 · Medición

Cómo medir bien: una receta

Con todo lo anterior, medir el medio y el eficaz de una señal real es un procedimiento corto. Los modos del multímetro se combinan para reconstruir lo que ninguno da por sí solo:

1. 1
   Mirá la forma antes de creerle al número.

   Con un osciloscopio (Tema 8) o a partir de lo que sabés del circuito. Es lo que te dice qué instrumento es confiable y qué factor de cresta esperar.

2. 2
   Medí en DC.

   Eso te da el valor medio, que es el nivel de continua.

3. 3
   Medí en AC, con True RMS si la forma no es senoide.

   Eso te da el eficaz de la parte alterna.

4. 4
   Combiná con Pitágoras.

   Vrms = √(Vdc² + Vrms_AC²). Si el instrumento tiene modo AC+DC, comparalo con tu cuenta: tienen que coincidir.

5. 5
   Calculá la potencia con el eficaz total.

   P = Vrms² / R, con R en ohmios. Es el número que decide si una pieza se calienta o no.

Ejemplo con números: un tester marca 6 V en DC y 2 V en AC True RMS sobre una resistencia de 50 Ω. El eficaz total es √(6² + 2²) = √40 = 6,32 V, y la potencia es 6,32²/50 = 0,8 W. Si hubieras usado solo los 6 V de DC, habrías calculado 0,72 W, un 10 % menos: la alterna también calienta.

06 · Promediar muestras

Promediar muestras para bajar el ruido

El valor medio tiene un uso poderoso en software, y es posiblemente el que más vas a usar cuando leas sensores con un ADC: tomar varias lecturas y promediarlas para reducir el ruido.

La idea: si una lectura es el valor real más un ruido aleatorio, y el ruido sube y baja sin favorecer un lado, al promediar N lecturas el ruido positivo se cancela con el negativo. El error que queda cae con la raíz de N:

Ejemplo: un sensor leído con ADC tiene 5 mV de ruido por muestra (σ = 5 mV). Con 100 muestras promediadas el error cae a 0,5 mV; con 10.000, a 0,05 mV. Pero hay un costo: para bajar el ruido 10 veces hacen falta 100 veces más muestras, y el tiempo se paga. A 1000 muestras por segundo, 100 muestras son 0,1 s por cada lectura.

Qué sí hace

Reduce el ruido aleatorio que cambia de una muestra a la otra: térmico, de cuantización con algo de ruido presente, interferencias que oscilan. También permite resolver diferencias menores a un escalón del ADC si hay algo de ruido que «mueva» la lectura de un escalón a otro (técnica de oversampling o dither).

Qué no hace

No corrige errores sistemáticos: un offset del sensor, un error de ganancia o una tolerancia del divisor siguen ahí, idénticos, después de promediar un millón de veces. Tampoco ayuda con interferencias que no cambian en la ventana, como un zumbido de red lento.

Costo

Tiempo (N muestras) y, si la señal varía, retardo y pérdida de detalle: el promedio es un filtro pasa-bajos (Tema 23) y suaviza también la señal útil.

07 · Simuladores

Dos experimentos: la ficha del tester y el promedio contra el ruido

El primero arma la ficha completa de una señal (medio, eficaz AC, total, lectura del tester barato, potencia). El segundo muestra cuánto baja el ruido al promediar N muestras.

Recorrido guiado (6 minutos)

1. 1
   Pestaña ①, «Senoide ±5 V», carga de 100 Ω.

   Medio 0, eficaz 3,54 V y 125 mW. El tester barato acierta (3,54 V) porque es senoide.

2. 2
   Pasá a «Sen 5 Vpp + 2,5 V».

   El medio sube a 2,5 V y el eficaz AC baja a 1,77 V (la oscilación se redujo a la mitad), pero el total es 3,06 V y la potencia 93,75 mW. La continua aporta 62,5 mW y la alterna 31,25 mW.

3. 3
   Pasá a «Cuadrada 0–5 V».

   Mismo medio, pero el eficaz AC vale 2,5 V y el total 3,54 V: calienta igual que la senoide de ±5. El tester barato marca 2,78 V, un 11 % de más.

4. 4
   Pasá a «PWM 25 %» y bajá el duty a 10 %.

   El factor de cresta sube (pulsos angostos): llega a ≈ 3,2. A partir de cierta cresta, hasta un True RMS pierde exactitud. Mirá cómo cae el eficaz y con él la potencia.

5. 5
   Pestaña ②, σ = 5 mV y N = 100.

   El error cae de 5 mV a 0,5 mV: diez veces menos con cien veces más muestras. Ya está por debajo del escalón de un ADC de 10 bits (4,9 mV, línea punteada).

6. 6
   Subí el ruido a 100 mV y el N a 10.000.

   El error es de 1 mV, y tardás 10 s en cada lectura a 1000 muestras por segundo. Es el equilibrio entre precisión y velocidad: promediar no es gratis.

Preguntas para pensar

1. ¿Por qué la senoide con offset de 2,5 V calienta menos que la de ±5 V si ambas tienen el mismo pico?
2. ¿Por qué una senoide de ±5 V y una cuadrada de 0–5 V al 50 % disipan lo mismo?
3. Si querés bajar el ruido a la décima parte, ¿cuántas veces más muestras necesitás?

08 · En código

Medio, eficaz y promediado con Python

Tres bloques que calculan lo del tema para cualquier lista de muestras, incluso para datos medidos de verdad: la ficha completa de una señal, el efecto de promediar ventanas no enteras, y el promedio contra el ruido.

Paso 1: la ficha de una señal

Dada una lista de muestras, calcula el medio, el eficaz AC y total, lo que marcaría un tester barato y la potencia sobre una carga:

import math


def senoide(vp, offset=0.0, n=3600):
    return [offset + vp * math.sin(2 * math.pi * k / n) for k in range(n)]


def cuadrada(v_bajo, v_alto, duty=0.5, n=3600):
    return [v_alto if k / n < duty else v_bajo for k in range(n)]


def triangular(vp, offset=0.0, n=3600):
    return [offset + vp * (4 * (k / n) if k / n < 0.25 else 2 - 4 * (k / n) if k / n < 0.75 else 4 * (k / n) - 4)
            for k in range(n)]


def ficha(nombre, v, r_ohm=100):
    medio = sum(v) / len(v)
    rms = math.sqrt(sum(x * x for x in v) / len(v))          # eficaz total
    ac = math.sqrt(max(rms ** 2 - medio ** 2, 0))            # eficaz de la parte alterna
    rect = sum(abs(x - medio) for x in v) / len(v)           # medio rectificado de la parte alterna
    barato = 1.1107 * rect                                   # lo que marca un tester común en AC
    p_mw = rms ** 2 / r_ohm * 1000
    print(f"{nombre:18s} medio={medio:5.2f}  AC={ac:5.2f}  total={rms:5.2f}  "
          f"tester AC barato={barato:5.2f}  P({r_ohm} ohm)={p_mw:6.2f} mW")


ficha("senoide +-5 V", senoide(5))
ficha("sen 5 Vpp + 2,5 V", senoide(2.5, 2.5))
ficha("cuadrada 0-5 V", cuadrada(0, 5))
ficha("triangular +-5 V", triangular(5))
ficha("PWM 0-5 V al 25 %", cuadrada(0, 5, duty=0.25))

Cuadrada de 0–5 V y senoide de ±5 V: misma potencia (125 mW). Fijate también que el tester barato falla en la cuadrada (+11 %), la triangular (−4 %) y el PWM (−4 %), y que sólo acierta en la senoide.

Paso 2: promediar un número no entero de ciclos

El valor medio de una senoide de 2,5 V ± 1 V debería ser 2,5 V. Veamos qué pasa si la ventana no cubre ciclos completos:

def medio_ventana(ciclos, n_por_ciclo=360):
    n = int(ciclos * n_por_ciclo)
    v = [2.5 + 1.0 * math.sin(2 * math.pi * k / n_por_ciclo) for k in range(n)]
    return sum(v) / len(v)


for ciclos in (1, 1.25, 1.5, 2, 10.5, 100.5):
    m = medio_ventana(ciclos)
    print(f"{ciclos:6} ciclos: medio = {m:.4f} V   (error {abs(m - 2.5) * 1000:6.1f} mV)")

Con ciclos enteros el error es nulo; con medio ciclo de más, grande al principio y cada vez menor. En una medición real, sincronizá la ventana con el período o usá muchos ciclos.

Paso 3: el ruido cae con la raíz de N

Simulamos un sensor de 2,5 V con 5 mV de ruido por muestra y medimos el error típico del promedio de N lecturas contra la fórmula σ/√N:

import random

random.seed(7)


def promedio_ruidoso(n, sigma=0.005, real=2.5):
    return sum(real + random.gauss(0, sigma) for _ in range(n)) / n


def error_tipico(n, sigma, repeticiones=300):
    errores = [promedio_ruidoso(n, sigma) - 2.5 for _ in range(repeticiones)]
    return math.sqrt(sum(e * e for e in errores) / len(errores))


sigma = 0.005   # 5 mV de ruido por muestra
for n in (1, 10, 100, 1000):
    print(f"N={n:5d}: error medido {error_tipico(n, sigma) * 1000:5.2f} mV   "
          f"teoría sigma/raíz(N) = {sigma / math.sqrt(n) * 1000:5.2f} mV")

El error medido sigue a la teoría. ¿Cuántas muestras necesitás para bajar de 5 mV a 0,1 mV de error? (Pista: (5/0,1)².)

09 · Analogía de programador

Media, desviación y heurísticas

La cuarta fila es una buena regla de memoria: el eficaz total es la «segunda raíz del momento» de los datos, y se descompone en media y desviación como cualquier serie. Por eso Pitágoras: rms² = media² + desviación².

10 · Comprensión

Confusiones frecuentes

11 · Práctica guiada

Ejercicios de medio y eficaz

Ejercicio 1: triangular a mano

Una triangular simétrica de ±4 V. Calculá el medio, el eficaz y la potencia sobre 100 Ω, y verificá con ficha("triangular", triangular(4)).

Ejercicio 2: el tester que miente

Una cuadrada simétrica de ±2,5 V se mide con un tester barato en AC y con un True RMS. ¿Qué marca cada uno? ¿Qué error comete el barato?

Ejercicio 3: ¿quién calienta más?

Sobre una carga de 100 Ω: (a) senoide de ±5 V, (b) cuadrada de 0 a 5 V al 50 %, (c) cuadrada de ±5 V. Calculá la potencia de cada una.

Ejercicio 4: reconstruir la señal

Un multímetro marca 6 V en DC y 2 V en AC True RMS sobre una resistencia de 50 Ω. ¿Cuál es el eficaz total? ¿Y la potencia? ¿Qué error se comete si se usa solo el valor de DC?

Ejercicio 5: promediar una lectura

Un sensor tiene 20 mV de ruido por muestra y querés una lectura con 1 mV de error. ¿Cuántas muestras promediás? ¿Cuánto tarda si el ADC toma 1000 muestras por segundo?

12 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 7?

Podés avanzar si sos capaz de responder esto sin mirar:

• Calcular el eficaz total de una señal a partir de su medio y su eficaz AC.
• Calcular la potencia que una señal disipa en un resistor, incluyendo el offset.
• Explicar qué mide en realidad un tester barato en AC y cuándo se equivoca.
• Dar los factores de forma y de cresta de una senoide.
• Describir la receta para medir una señal con un multímetro.
• Decir cuántas muestras hacen falta para bajar el ruido diez veces.

Medio y eficaz dominados juntos. Ahora, a generar y analizar señales en serio: en el próximo tema, señales en Python.