Concepto de proceso estocástico

01 · Punto de partida

Todo lo que cambia con azar en el tiempo es un proceso

La cantidad de clientes en una fila, el stock de un producto, los pedidos que llegan a un servidor o el estado de una máquina (funciona / falló) tienen algo en común: evolucionan en el tiempo y el futuro es incierto. No alcanza con una sola variable aleatoria: necesitamos una familia de variables, una para cada instante.

Esa familia es el proceso estocástico. Será la materia prima de todo el curso: primero lo definiremos, luego contaremos eventos con Poisson y finalmente predeciremos movimientos con Markov.

• ¿Qué instante miramos: pasos 0, 1, 2… o tiempo real t ≥ 0?
• ¿Qué valor puede tomar el sistema en cada instante?
• ¿Una sola historia observada o todas las historias posibles?
• ¿Qué regla conecta el presente con el futuro?

02 · Definición

¿Qué es un proceso estocástico?

Todo proceso combina tres ingredientes inseparables:

La letra S es el espacio de estados (Tema 3): el conjunto de todos los valores posibles. El tiempo T puede ser discreto o continuo, y el espacio también. Esa combinación 2 × 2 ordena casi todos los modelos del curso:

03 · Anatomía

Tiempo, estados y trayectorias

Para hablar con precisión conviene fijar el vocabulario desde ahora (lo profundizaremos en los Temas 2 a 6):

X(t)

El estado del sistema en el instante t. Es aleatorio: antes de observar, hay varios valores posibles. (Tema 2)

Espacio de estados S

Todos los valores que X(t) puede tomar: {vacío, ocupado}, {0, 1, 2…}, [0, ∞). (Tema 3)

Trayectoria

Una historia concreta: x(0), x(1), x(2)… Lo observado es una sola trayectoria; el proceso describe todas las posibles. (Tema 4)

Ley de evolución

La regla que conecta presente y futuro: tasa λ en Poisson, matriz P en Markov.

04 · Ejemplos

Procesos que un programador puede simular

El mismo esquema t → X(t) aparece en dominios muy distintos. Reconocerlo permite reutilizar código:

1. 1
   Llamadas a un call center.

   X(t) = llamadas acumuladas hasta t. Cada minuto puede llegar una o ninguna. (Poisson)

2. 2
   Servidor web.

   X(n) = {libre, ocupado, caído} al minuto n. El próximo estado depende del actual. (Markov)

3. 3
   Inventario.

   X(n) = stock al día n. Baja con demanda aleatoria y sube con reposiciones.

4. 4
   Clima por días.

   X(n) = {sol, lluvia} el día n. Hoy nublado no garantiza mañana, pero cambia las chances.

5. 5
   Caminata aleatoria.

   X(n) = posición tras n pasos. Sube con probabilidad p y baja con 1 − p. La usaremos en el laboratorio.

05 · Representación en Python

Un proceso es una lista de estados

En Python, una trayectoria es una lista: cada posición es el estado en un instante. El proceso es el programa que genera esas listas con azar. Todavía no estimamos nada; solo dejamos la idea en código.

import random

# Una trayectoria: X(n) en n = 0..9, estados 0 o 1.
random.seed(7)
trayectoria = [random.choice([0, 1]) for _ in range(10)]
print(trayectoria)
print("Estado en n=0:", trayectoria[0])
print("Estado en n=9:", trayectoria[9])

Consejo: ejecutá dos veces con la misma semilla y luego sin random.seed. ¿Qué cambia: la trayectoria o el proceso?

Del dato a la regla

Una caminata aleatoria hace explícita la ley de evolución: en cada paso se sube con probabilidad p y se baja si no. Esta función será la base de nuestras primeras simulaciones:

import random

def simular_caminata(pasos, p=0.5, semilla=7):
    # X(0) = 0. En cada paso: +1 con prob. p, -1 si no.
    random.seed(semilla)
    x = 0
    historia = [x]
    for _ in range(pasos):
        x = x + 1 if random.random() < p else x - 1
        historia.append(x)
    return historia


print(simular_caminata(10, p=0.5))

06 · Exploración

Laboratorio: muchas trayectorias, un proceso

Movete los controles y observá la diferencia clave del tema: cada línea es una trayectoria X(n), el conjunto es el proceso. La línea blanca gruesa es el promedio. Con p = 0,5 el proceso no deriva; con p mayor, deriva hacia arriba.

Cada línea de color es una historia posible del mismo proceso. La línea blanca es el promedio de todas: estima a dónde tiende el proceso, no lo que hará una historia puntual.

Preguntas para explorar

1. Con p = 0,5 generá nuevas réplicas varias veces. ¿La media final es siempre 0? ¿Qué nos dice eso?
2. Subí p a 0,7. ¿Qué le pasa al haz de trayectorias y a la media? ¿Cómo lo llamarías?
3. ¿Qué parte del dibujo es una trayectoria y qué parte es el proceso?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer un proceso

Ejecutá esta trayectoria empaquetada como tiempo + estados. Luego respondé: ¿cuál es T y cuál es S?

proceso = {
    "nombre": "Servidor por minutos",
    "tiempo": list(range(6)),
    "trayectoria": ["libre", "ocupado", "ocupado", "libre", "caído", "libre"],
}

print(proceso["tiempo"])
print(proceso["trayectoria"])
print("Estados distintos:", sorted(set(proceso["trayectoria"])))

Ejercicio 2: predecir la media

Sin ejecutar primero: si la caminata empieza en 0, p = 1 y hay 4 pasos, ¿qué trayectoria esperás? Después comprobalo con código.

import random

def simular_caminata(pasos, p=0.5, semilla=7):
    random.seed(semilla)
    x = 0
    historia = [x]
    for _ in range(pasos):
        x = x + 1 if random.random() < p else x - 1
        historia.append(x)
    return historia


print(simular_caminata(4, p=1.0))

Ejercicio 3: una réplica no alcanza

Generá 1000 réplicas de 20 pasos con p = 0,5 y promediá la posición final. ¿Cerca de qué valor cae? ¿Por qué?

import random

random.seed(11)
finales = []
for _ in range(1000):
    x = 0
    for _ in range(20):
        x = x + 1 if random.random() < 0.5 else x - 1
    finales.append(x)

print(sum(finales) / len(finales))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos el estado de un sistema: cómo resumir en X(t) todo lo necesario para seguir la evolución.