Función de intensidad

01 · Punto de partida

El ritmo no siempre es parejo

Un hospital recibe poco a las 4 h y mucho a las 10 h; un servidor explota tras un partido. Una sola λ (Tema 9) promedia el día pero esconde los picos: sobran agentes de noche y faltan de día.

La salida es una función de intensidad λ(t): la tasa hora por hora. Con ella, cada intervalo tiene su propio ritmo.

• ¿A qué hora llegan más: dónde está el pico de λ(t)?
• ¿Cuántos se esperan hoy: la integral de λ(t)?
• ¿Cómo se lee λ(t) por intervalos: promedio por hora?
• ¿Cuándo basta una λ y cuándo hace falta λ(t)?

02 · Definición

¿Qué es λ(t)?

Tres lecturas de la misma curva:

Si λ(t) = λ constante, la integral da λ·(b−a) y volvemos a Poisson homogéneo. λ(t) lo generaliza.

03 · Anatomía

Picos, valles y áreas

Cuatro ideas para leer cualquier λ(t):

Pico

Zona de λ alta: concentra eventos. Ancho × alto = aporte al total.

Valle

Zona de λ baja: casi no aporta aunque sea larga.

Área Λ

La integral en el intervalo: lo esperado allí. Dos curvas con igual área esperan igual total.

λ máxima

El techo λ* = máx λ(t): se usa para simular por refinamiento. (Tema 18)

04 · Ejemplos

Intensidades que un programador tabula

En la práctica λ(t) es una tabla por hora o una fórmula con pico:

1. 1
   Call center por turnos.

   λ = 1 de noche, 5 de día. Tabla de 24 valores.

2. 2
   Servidor con pico.

   Base 10/s + pico de 50/s tras un evento. Curva con joroba.

3. 3
   Comercio por horas.

   Valle a las 7 h, pico al mediodía, valle a las 16 h, pico a las 19 h.

4. 4
   Transporte.

   Dos picos: mañana y tarde. Entre picos, valle.

5. 5
   Sin pico: homogéneo.

   Sensores estables: λ(t) ≈ λ. No compliques lo parejo.

05 · Representación en Python

λ(t) es una función, Λ es una suma

En Python, la intensidad es una función lam(t) y lo esperado es la integral numérica (suma fina). Con eso se tabula por horas y se calcula el total.

import math

def lam(t):
    # Base 1 + pico gaussiano de alto 3 centrado en 10 h.
    return 1.0 + 3.0 * math.exp(-((t - 10) ** 2) / 8)

for t in [0, 6, 10, 14, 22]:
    print(t, round(lam(t), 2))

En t = 10 la intensidad toca 4,0; de noche vuelve a 1,0. El pico es local, no permanente.

Del pico al total con la integral

Sumando λ(t) en rebanadas finas se obtiene Λ sin fórmulas difíciles:

import math

def lam(t):
    return 1.0 + 3.0 * math.exp(-((t - 10) ** 2) / 8)

def integral(a, b, dt=0.05):
    total, t = 0.0, a
    while t < b:
        total += lam(t) * dt
        t += dt
    return total

print("0-24:", round(integral(0, 24), 1))
print("9-11:", round(integral(9, 11), 1))

06 · Exploración

Laboratorio: pico alto, muchos eventos

Intensidad con base + pico al mediodía: λ(t) = base + alto·joroba(t−12). Arriba va la curva; abajo, 5 réplicas de ticks (un tick = un evento). Subí el alto y el mediodía se llena; subí la base y se llena todo el día.

La curva amarilla es λ(t); el área bajo ella es Λ. Los ticks se concentran donde la curva es alta: el pico genera, el valle descansa.

Preguntas para explorar

1. Con alto = 0, ¿cómo es λ(t)? ¿A qué modelo volvemos?
2. Subí el alto de 0 a 6 con igual base. ¿El total Λ se duplica o más? ¿Dónde caen los extras?
3. ¿Dos días con igual Λ pero picos en distintas horas esperan lo mismo? ¿Necesitan lo mismo?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer una tabla de intensidad

Esta tabla da λ por turno de 8 h. Calculá Λ por turno y el total diario.

turnos = [("noche", 1.0), ("día", 4.0), ("tarde", 2.0)]
for nombre, lam in turnos:
    print(nombre, lam * 8)
print("total:", sum(lam * 8 for _, lam in turnos))

Ejercicio 2: promedio que esconde

Sin ejecutar primero: con ese total en 24 h, ¿qué λ̄ da? ¿Alcanza para el turno día?

print(56 / 24)

Ejercicio 3: integral de un pico

Calculá Λ(9–11) del pico gaussiano del bloque Python y compará con 2 h de base.

import math

def lam(t):
    return 1.0 + 3.0 * math.exp(-((t - 10) ** 2) / 8)

def integral(a, b, dt=0.05):
    total, t = 0.0, a
    while t < b:
        total += lam(t) * dt
        t += dt
    return total

print("9-11:", round(integral(9, 11), 2))
print("base 2 h:", 2.0)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos lo que hay entre arribos: tiempos entre arribos.