Tiempos entre arribos

01 · Punto de partida

Entre evento y evento hay una espera

Hasta ahora contamos eventos con N(t) (Temas 7–8) y medimos el ritmo con λ (Temas 9–10). Ahora damos vuelta la mirada: en vez de «¿cuántos hasta t?», preguntamos «¿cuánto falta para el próximo?».

Esa espera es Sₖ = Tₖ − Tₖ₋₁: lo que separa al evento k−1 del k. Muchas esperas cortas, pocas largas: esa asimetría manda las colas y los stocks.

• ¿Cuánto pasó entre el 3.º y el 4.º arribo?
• ¿En promedio cuánto se espera: 1/λ?
• ¿Las esperas son parejas o hay muchas cortas y pocas eternas?
• ¿Con las esperas puedo reconstruir N(t)?

02 · Definición

Tₖ, Sₖ y N(t): tres caras de lo mismo

Un proceso de arribos se describe de tres formas equivalentes:

En Poisson homogéneo las Sₖ son independientes e idénticas de media 1/λ (exponenciales: Tema 12). Esa es la máquina de simular del Tema 13.

03 · Anatomía

Media, dispersión y forma

Cuatro rasgos describen cualquier familia de esperas:

Media 1/λ

Lo esperado entre arribos. Con λ = 2/hora, 30 min en promedio.

Asimetría

Muchas cortas, pocas largas. La media supera a la mediana: lo típico es esperar menos que 1/λ.

Cola

Chance de esperas eternas: P(S > x) decrece exponencial. Esperas de 5× la media casi no ocurren.

Acumulación

Tₖ = S₁ + … + Sₖ. Sumar esperas da los instantes; contar instantes ≤ t da N(t).

04 · Ejemplos

Esperas que un programador mide

Todo log con timestamps da una lista Sₖ restando consecutivos:

1. 1
   Llamadas: 0,4 – 0,7 – 1,6 h.

   Media ≈ 0,9 h → λ̂ ≈ 1,1/hora.

2. 2
   Requests: 0,2 – 0,1 – 2,3 s.

   Dos rapidísimos y un hueco: asimetría típica.

3. 3
   Fallas: días entre fallas.

   Sₖ grandes y variables: media en días, cola larga.

4. 4
   Caja: minutos entre clientes.

   Sₖ chicas en hora pico, grandes en valle (λ(t)).

5. 5
   Test: Sₖ constantes.

   Si todas valen 1,0 no hay azar: es agenda, no proceso.

05 · Representación en Python

Restar da Sₖ, acumular da Tₖ

En Python, los instantes son una lista y las esperas son diferencias. Acumular esperas reconstruye instantes; contar instantes ≤ t reconstruye N(t): el círculo se cierra.

T = [0.4, 1.1, 2.7, 4.2]
S = [T[0]] + [T[i] - T[i-1] for i in range(1, len(T))]
print("esperas:", [round(s, 2) for s in S])
print("media:", round(sum(S) / len(S), 2))

La primera espera se mide desde 0 (T₀ = 0). Sin esa convención, el primer evento queda huérfano.

Sortear esperas exponenciales

Con tasa λ, cada Sₖ se sortea como −ln(1−u)/λ. Así nace la simulación de Poisson (Tema 13):

import random, math

def sortear_esperas(n, lam=2.0, semilla=7):
    random.seed(semilla)
    return [-math.log(1 - random.random()) / lam for _ in range(n)]

S = sortear_esperas(6, lam=2.0)
print([round(s, 2) for s in S])
print("media:", round(sum(S) / len(S), 2), "| teoría 1/λ:", 1 / 2.0)

06 · Exploración

Laboratorio: muchas cortas, pocas largas

Sorteamos 400 esperas Exp(λ). Las barras son lo simulado; la curva blanca, la teoría exponencial. La línea amarilla es la media 1/λ: fijate cuánta masa queda a su izquierda. Subí λ y todo se comprime a la izquierda.

El histograma cae hacia la derecha: esperas cortas abundantes, largas escasas. La media está a la derecha del pico: lo típico es menor que el promedio.

Preguntas para explorar

1. Con λ = 2, ¿la media simulada da 0,5? ¿La mayoría de las barras está a la izquierda o derecha de 0,5?
2. Duplicá λ a 4. ¿La media se duplica o se parte a la mitad? ¿El histograma se estira o se comprime?
3. ¿Qué fracción supera 2/λ? ¿Cerca de qué valor teórico (e^(−2) ≈ 13,5 %)?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: de Tₖ a Sₖ y a N(t)

Con estos instantes calculá esperas, media y N(3). Verificá que T₃ = suma de S.

T = [0.4, 1.1, 2.7, 4.2]
S = [T[0]] + [T[i] - T[i-1] for i in range(1, len(T))]
print("S:", [round(s, 2) for s in S])
print("suma S:", round(sum(S), 2), "| T3:", T[-1])
print("N(3):", sum(1 for t in T if t <= 3))

Ejercicio 2: media vs mediana

Sin ejecutar primero: con 2000 esperas Exp(2), ¿media cerca de qué? ¿Y la mediana?

import random, math, statistics

random.seed(6)
S = [-math.log(1 - random.random()) / 2.0 for _ in range(2000)]
print("media:", round(statistics.mean(S), 3))
print("mediana:", round(statistics.median(S), 3))
print("teoría: 1/λ =", 0.5, "| ln2/λ =", round(math.log(2) / 2, 3))

Ejercicio 3: la cola larga

¿Qué fracción de esperas supera el triple de la media (3/λ)? Compará con e^(−3) ≈ 5 %.

import random, math

random.seed(8)
lam = 2.0
S = [-math.log(1 - random.random()) / lam for _ in range(5000)]
print("P(S > 3/λ):", round(sum(1 for s in S if s > 3 / lam) / len(S), 4))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema formalizaremos esas esperas: distribución exponencial y tiempos de espera.