Poisson no homogéneos

01 · Punto de partida

Poisson con horarios pico

El Poisson homogéneo (Temas 8–13) supone el mismo ritmo a las 4 h que a las 10 h. En la realidad el ritmo cambia: de noche casi nada, al mediodía una avalancha. Hace falta un Poisson con reloj variable.

Ese es el Poisson no homogéneo: misma independencia entre ventanas, pero cada ventana tiene su propia media según λ(t).

• ¿Sigue valiendo la independencia entre ventanas disjuntas?
• ¿Qué cambia: la media de cada ventana según su λ(t)?
• ¿Cuántos se esperan hoy: la integral Λ total?
• ¿Cómo se simula con ritmo variable: por refinamiento?

02 · Definición

¿Qué cambia respecto al homogéneo?

Solo una cosa cambia; el resto queda:

Si λ(t) = λ constante, Λ(t) = λt y volvemos al homogéneo. El no homogéneo lo contiene como caso plano.

03 · Anatomía

Λ(t), ventanas y reloj deformado

Cuatro lecturas del mismo modelo:

Intensidad λ(t)

Ritmo instantáneo: alto en el pico, bajo en el valle. (Tema 10)

Media acumulada Λ(t)

∫₀ᵗ λ: lo esperado hasta t. Es la «escalera teórica» del laboratorio.

Ventanas

Cada (a, b] tiene su Poisson con su media. El día se parte por turnos con distinto Λ.

Reloj deformado

Idea útil: donde λ es alta el reloj corre rápido; donde es baja, lento. Más adelante esto da un método de simulación.

04 · Ejemplos

No homogéneos de todos los días

Si el ritmo depende de la hora, el modelo homogéneo subestima el pico y sobrestima el valle:

1. 1
   Hospital por horas.

   Valle 0–6 h, pico 9–12 h. Turnos con distinto Λ.

2. 2
   Servidor con evento.

   Base + joroba tras un partido o lanzamiento.

3. 3
   Comercio.

   Mediodía y tarde con picos; mañana y noche valles.

4. 4
   Transporte.

   Picos 8 h y 18 h: dos jorobas en λ(t).

5. 5
   Sensor estable.

   λ(t) ≈ λ: usar no homogéneo sobra. Criterio de parsimonia.

05 · Representación en Python

Λ por ventanas con la integral

En Python, el no homogéneo es λ(t) + integral por ventanas. Cada ventana (a, b] reporta su media Λ(b) − Λ(a): con eso se dimensiona por turnos.

import math

def lam(t):
    # Base 0.5 + pico de alto 3.5 centrado en 12 h.
    return 0.5 + 3.5 * math.exp(-((t - 12) ** 2) / 18)

def Lambda(a, b, dt=0.05):
    total, t = 0.0, a
    while t < b:
        total += lam(t) * dt
        t += dt
    return total

for a, b in [(0, 6), (9, 15), (0, 24)]:
    print(a, b, round(Lambda(a, b), 1))

El valle 0–6 aporta poco; la ventana 9–15 concentra la mayoría. Igual largo, distinta media: no estacionario.

Probabilidad por ventana

Cada ventana usa su Poisson con su media. Así se responde «¿chance de más de 10 al mediodía?»:

import math

def prob_mayor(m, k):
    # P(Po(m) > k) sumando la cola.
    return 1 - sum(math.exp(-m) * m**j / math.factorial(j) for j in range(k + 1))

print("P(N(9-12)>10):", round(prob_mayor(11.0, 10), 3))

06 · Exploración

Laboratorio: la escalera se empina en el pico

Simulamos con λ(t) = base + pico al mediodía por refinamiento (detalle en Tema 18). Cada escalera es un N(t); la curva blanca es Λ(t) teórica y la amarilla la media simulada. Fijate la pendiente: plana de noche, empinada al mediodía.

De noche las escaleras avanzan planas; al mediodía suben de golpe. La media simulada persigue a Λ(t): el modelo se verifica por ventanas.

Preguntas para explorar

1. Con pico = 0, ¿cómo es Λ(t)? ¿A qué modelo volvemos?
2. Subí el pico a 6. ¿El total se duplica? ¿Y el % en 9–15?
3. ¿Dos ventanas de igual largo (0–6 y 9–15) tienen igual distribución? ¿Por qué no?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: Λ por turnos

Con λ(t) del bloque Python, calculá Λ(0–6), Λ(9–15) y Λ(0–24). ¿Qué ventana pesa más?

import math

def lam(t):
    return 0.5 + 3.5 * math.exp(-((t - 12) ** 2) / 18)

def Lambda(a, b, dt=0.05):
    total, t = 0.0, a
    while t < b:
        total += lam(t) * dt
        t += dt
    return total

for a, b in [(0, 6), (9, 15), (0, 24)]:
    print(a, b, round(Lambda(a, b), 1))

Ejercicio 2: probabilidad en el pico

Sin ejecutar primero: con media 18 en 9–15, ¿P(N > 20) será alta o baja? Calculala.

import math

def prob_mayor(m, k):
    return 1 - sum(math.exp(-m) * m**j / math.factorial(j) for j in range(k + 1))

print(round(prob_mayor(18, 20), 3))

Ejercicio 3: pico = 0 recupera homogéneo

Poné el pico en 0 y verificá que Λ(0–24) = base·24 y que dos ventanas iguales dan igual media.

base = 0.5
print("total:", base * 24)
print("0-6:", base * 6, "| 9-15:", base * 6)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema modelaremos esos picos: intensidad dependiente del tiempo.