Intensidad dependiente del tiempo

01 · Punto de partida

Del concepto al modelo con dos picos

El Tema 14 definió el no homogéneo; el Tema 10 presentó λ(t). Ahora toca construirla: el transporte tiene pico a las 8 y a las 18, el comercio al mediodía y a la tarde. Una sola joroba ya no alcanza.

Modelar λ(t) es elegir una forma paramétrica (tramos, senos, jorobas) y calibrarla con conteos por hora.

• ¿Cuántos picos tiene el día: uno, dos o tabla libre?
• ¿Dónde, qué alto y qué ancho tiene cada pico?
• ¿Qué forma usar: escalones, senos o gaussianas?
• ¿Cómo se ajusta con datos por hora?

02 · Definición

Tres formas de escribir λ(t)

El mismo día admite tres escrituras, de simple a flexible:

Cada pico aporta posición (¿a qué hora?), alto (¿cuánto?) y ancho (¿cuánto dura?). Con eso se dibuja, se integra y se simula.

03 · Anatomía

Posición, alto, ancho y base

Todo pico se describe con cuatro números:

Base

El piso nocturno: lo que llega aunque no haya pico. Sostiene Λ total.

Posición

La hora del máximo: 8 h, 12 h, 18 h. Mueve la joroba sin cambiar su aporte.

Alto

Cuánto suma sobre la base en el centro. Manda la capacidad del pico.

Ancho

Cuánto dura: pico fino (lanzamiento) o grueso (turno día). Ancho × alto ≈ aporte.

04 · Ejemplos

Días con uno o dos picos

Reconocé el esqueleto del día antes de ajustar números:

1. 1
   Hospital: un pico.

   Base 1 + joroba 10 h. Valle nocturno largo.

2. 2
   Transporte: dos picos.

   Base 2 + jorobas 8 h y 18 h. Valle mediodía relativo.

3. 3
   Comercio: dos picos anchos.

   Mediodía y 19 h, ambos gruesos.

4. 4
   Lanzamiento: pico fino.

   Base baja + aguja de 1 h. Ancho manda el operativo.

5. 5
   Sensor: sin picos.

   Solo base: no inventes jorobas donde hay ruido.

05 · Representación en Python

λ(t) = base + jorobas gaussianas

En Python, cada pico es una gaussiana con centro, alto y ancho. Sumar base + picos da λ(t); integrar da Λ por ventanas para calibrar.

import math

def lam(t, base=1.0, picos=((4.0, 8.0, 3.0), (5.0, 18.0, 3.0))):
    # Cada pico: (alto, centro, ancho).
    v = base
    for alto, centro, ancho in picos:
        v += alto * math.exp(-((t - centro) ** 2) / (2 * ancho ** 2))
    return v

for t in [0, 8, 12, 18, 23]:
    print(t, round(lam(t), 2))

A las 8 y 18 la curva toca ~5–6; al mediodía baja al valle relativo. Dos picos, un valle intermedio.

Calibrar con promedios por hora

El ajuste práctico: λ̂(hora) = conteo/horas observadas. Así nace la tabla que alimenta λ(t):

# Conteos de 5 días por franja: calibrar base y picos.
datos = {(0, 6): 15, (6, 10): 110, (10, 16): 90, (16, 20): 130, (20, 24): 20}
dias = 5
for (a, b), total in datos.items():
    print(a, b, round(total / dias / (b - a), 2))

06 · Exploración

Laboratorio: armar el día con dos picos

λ(t) = base + pico mañana (8 h) + pico tarde (18 h). Mové los altos: la curva amarilla se deforma y los ticks (5 réplicas) la persiguen. Las franjas sombreadas separan mañana, mediodía y tarde.

Cada pico aporta según alto × ancho. Apagar un pico (0) lo borra del día: el modelo pasa de dos picos a uno.

Preguntas para explorar

1. Apagá el pico tarde (0). ¿El % de mañana sube aunque su alto no cambie? ¿Por qué?
2. Igualá ambos picos en 5. ¿Reparten mitad y mitad? ¿Qué rol juega la base?
3. Subí la base a 2 con picos fijos. ¿Los picos se notan más o menos en %?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: comparar picos

Con base 1 y anchos 3, ¿qué pico aporta más: alto 4 a las 8 o alto 5 a las 18? Integrá 6–10 y 16–20.

import math

def lam(t):
    v = 1.0
    v += 4.0 * math.exp(-((t - 8) ** 2) / 18)
    v += 5.0 * math.exp(-((t - 18) ** 2) / 18)
    return v

def integral(a, b, dt=0.05):
    total, t = 0.0, a
    while t < b:
        total += lam(t) * dt
        t += dt
    return total

print("6-10:", round(integral(6, 10), 1))
print("16-20:", round(integral(16, 20), 1))

Ejercicio 2: apagar un pico

Sin ejecutar primero: si el pico tarde vale 0, ¿el total baja en cuánto (ancho 3)? Estimá antes de correr.

import math
# Aporte ≈ alto * ancho * sqrt(2π) truncado al día.
print(round(5 * 3 * math.sqrt(2 * math.pi), 1))

Ejercicio 3: calibrar por hora

Con estos totales de 4 días, estimá λ̂ por franja y decidí si hacen falta dos picos.

datos = {(6, 10): 88, (10, 16): 60, (16, 20): 104}
dias = 4
for (a, b), tot in datos.items():
    print(a, b, round(tot / dias / (b - a), 2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema combinaremos flujos: superposición de procesos.