Propiedad de Markov

01 · Punto de partida

¿El pasado aporta algo más?

La cadena está en 1 hoy. Para predecir mañana, ¿sirve saber si ayer fue 0 o 1? Si la respuesta es no, vale la propiedad de Markov: el presente alcanza.

Esta propiedad no se declama: se verifica comparando condicionales. Y cuando falla, la salida es agrandar el estado (Tema 2).

• ¿P(Xₙ₊₁ | Xₙ) cambia si agrego Xₙ₋₁?
• ¿Cómo se estima cada condicional desde una historia larga?
• ¿Qué proceso con rachas viola Markov con S = {0, 1}?
• ¿Cómo se repara: qué estado ampliado sí es Markov?

02 · Definición

La igualdad que define a Markov

Formal e informal a la vez:

En la cadena 2×2 del Tema 19, P(Xₙ₊₁ = 1 | Xₙ = 1) = 1 − b sin importar Xₙ₋₁. El laboratorio lo verifica con 20000 pasos.

03 · Anatomía

Memoria cero, memoria real y estado

Tres casos ordenan el diagnóstico:

Markov (m = 0)

Los tres condicionales coinciden. El estado actual alcanza.

Con memoria (m > 0)

Difieren: la racha (dos iguales seguidos) cambia la chance. S = {0, 1} es insuficiente.

Estado ampliado

Guardar (actual, previo) o la racha devuelve Markov en un S más grande.

Orden

Cuántos pasos atrás importan: orden 1 = Markov clásico; orden 2 = depende de ayer.

04 · Ejemplos

Cuándo vale y cuándo no

La propiedad depende del par (proceso, estado), no del sistema solo:

1. 1
   Clima hoy → mañana.

   Con S = {sol, lluvia} suele valer aprox.: el test cierra.

2. 2
   Servidor modo actual.

   Vale si la chance solo depende del modo, no de cuánto lleva en él.

3. 3
   Racha autoalimentada.

   Dos unos seguidos suben la chance: viola con S = {0, 1}.

4. 4
   Desgaste.

   Cuanto más tiempo en 0, más chance de fallar: el pasado pesa.

5. 5
   Reparo: S ampliado.

   (Actual, racha) o (actual, previo) devuelve la igualdad.

05 · Representación en Python

Estimar condicionales contando

En Python, la propiedad se verifica contando transiciones en una historia larga: casos favorables sobre casos posibles para cada condición.

import random

def simular(N=20000, a=0.3, b=0.5, memoria=0.0, semilla=7):
    # memoria=0: Markov. memoria>0: racha 1,1 sube la chance en +memoria.
    random.seed(semilla)
    x, prev, hist = 0, 0, [0]
    for _ in range(N):
        q = (a if x == 0 else 1 - b)
        if x == 1:
            q += memoria if prev == 1 else -memoria
            q = min(0.95, max(0.05, q))
        prev, x = x, 1 if random.random() < q else 0
        hist.append(x)
    return hist

h = simular(memoria=0.0)
print(len(h), h[:12])

Con memoria = 0 el generador es la cadena 2×2 del Tema 19. Con 0,25 mete racha: a igual presente, distinto pasado.

Comparar los tres condicionales

El test numérico de la propiedad:

h = simular(memoria=0.0)

def cond(condicion):
    casos = [h[i+1] for i in range(len(h) - 1) if condicion(h, i)]
    return sum(casos) / len(casos)

print("P(1|1):", round(cond(lambda h, i: h[i] == 1), 3))
print("P(1|1,prev1):", round(cond(lambda h, i: h[i] == 1 and h[i-1] == 1 if i else False), 3))
print("P(1|1,prev0):", round(cond(lambda h, i: h[i] == 1 and h[i-1] == 0 if i else False), 3))

06 · Exploración

Laboratorio: tres barras que deben coincidir

Simulamos 20000 pasos con memoria m ajustable. Las barras estiman P(1|1), P(1|1,prev 1) y P(1|1,prev 0); la línea blanca es la teoría 1−b = 0,5. Con m = 0 las tres coinciden (Markov); con m > 0 se separan (memoria).

Cada barra lleva su conteo de casos: la estimación es sólida porque N = 20000 da miles de visitas al 1. La brecha es la distancia entre las dos barras extremas.

Preguntas para explorar

1. Con m = 0, ¿las tres barras coinciden? ¿En qué valor?
2. Subí m a 0,3. ¿Cuál sube y cuál baja? ¿La brecha tiende a cuánto (2m)?
3. Si hay memoria, ¿qué estado ampliado la eliminaría?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer la igualdad

Con b = 0,4, ¿qué valor común predicen los tres condicionales P(·|1)? Verificá la fórmula.

b = 0.4
print(1 - b)

Ejercicio 2: romper Markov a propósito

Sin ejecutar primero: con memoria = 0,3 y base 0,5, ¿qué valores esperás para prev1 y prev0? Comprobalo con el bloque Python.

h = simular(memoria=0.3)

def cond(condicion):
    casos = [h[i+1] for i in range(len(h) - 1) if condicion(h, i)]
    return sum(casos) / len(casos)

print(round(cond(lambda h, i: h[i] == 1 and h[i-1] == 1 if i else False), 3))
print(round(cond(lambda h, i: h[i] == 1 and h[i-1] == 0 if i else False), 3))

Ejercicio 3: reparar con estado ampliado

Definí el estado Yₙ = (Xₙ, Xₙ₋₁) y mostrá que con memoria el próximo depende solo de Yₙ.

# Y tiene 4 valores: 00, 01, 10, 11. La regla usa el par completo.
regla = {0: 0.3, (1, 0): 0.2, (1, 1): 0.8}
print(regla[(1, 1)], regla[(1, 0)])
print("Y resume:", "P depende del par, no de más atrás")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema detallaremos los estados: el vocabulario de dónde puede estar la cadena.