Evolución de probabilidades

01 · Punto de partida

De historias a chances por paso

Simular trayectorias (Temas 19–25) muestra historias; pero para decidir conviene la distribución π(n): ¿con qué chance está la cadena en cada estado en el paso n?

Esa distribución evoluciona con una regla exacta: multiplicar por P. Sin azar, sin réplicas: puro cálculo.

• ¿Dónde empieza π(0): estado seguro o reparto?
• ¿Cómo se obtiene π(1), π(2)… desde π(0)?
• ¿Hacia dónde tiende π(n) con n grande?
• ¿Cuántos pasos faltan para estabilizar?

02 · Definición

¿Qué es π(n)?

Tres ideas la fijan:

En 2×2 con a = 0,3 y b = 0,5, la chance de estar en 1 sigue πₙ₊₁ = a + πₙ·(1−a−b): converge a a/(a+b) = 0,375.

03 · Anatomía

Inicio, paso y velocidad

Cuatro lecturas de la evolución:

π(0)

El inicio: seguro en un estado o reparto. Manda los primeros pasos. (Tema 27)

Paso πP

Cada multiplicación mezcla según P. N pasos = π(0)·Pⁿ. (Tema 28)

Velocidad

Qué tan rápido se olvida π(0): con a+b grande, en 3–5 pasos; con diagonales ≈ 1, lento.

Límite π

Si existe, cumple π = πP y ya no cambia. (Temas 39–40)

04 · Ejemplos

Evoluciones que anticipan el equilibrio

La misma P, distintos inicios, mismo destino:

1. 1
   Clima desde sol seguro.

   π(0) = [1, 0] converge al reparto nublado medio.

2. 2
   Servidor desde caído.

   π(0) = [0, 0, 1]: la reparación lo lleva al régimen.

3. 3
   Desde el equilibrio.

   Si π(0) = π, nada cambia: ya está estable.

4. 4
   Cadena lenta.

   Diagonales 0,99: tarda cientos de pasos en olvidar.

5. 5
   Cadena rápida.

   Filas casi iguales: en 2–3 pasos ya está.

05 · Representación en Python

Multiplicar vector por matriz

En Python, π es una lista y el paso es suma ponderada por columnas: π'(j) = Σᵢ π(i)·P(i,j). Repetir N veces da π(N).

P = [[0.7, 0.3], [0.5, 0.5]]

def paso(pi):
    K = len(pi)
    return [sum(pi[i] * P[i][j] for i in range(K)) for j in range(K)]

pi = [1.0, 0.0]
for n in range(4):
    print(n, [round(x, 3) for x in pi])
    pi = paso(pi)

Desde [1, 0] la chance de 1 sube 0 → 0,3 → 0,36 → 0,372: se acerca a 0,375 sin simular historias.

Evolución en N pasos de una vez

Encapsular el bucle para comparar inicios:

P = [[0.7, 0.3], [0.5, 0.5]]

def paso(pi):
    return [sum(pi[i] * P[i][j] for i in range(len(pi))) for j in range(len(pi))]

def evolucionar(pi0, N):
    pi = pi0[:]
    for _ in range(N):
        pi = paso(pi)
    return pi

print([round(x, 4) for x in evolucionar([1.0, 0.0], 10)])
print([round(x, 4) for x in evolucionar([0.0, 1.0], 10)])

06 · Exploración

Laboratorio: π(n) persigue al equilibrio

Cadena 2×2 (a = 0,3, b = 0,5, equilibrio 0,375 en 1). Elegí el inicio π₀(1) y el paso n: la curva muestra P(Xₙ=1) y el punto marca tu n. Cambiá el inicio: todas las curvas van al mismo 0,375.

La curva parte de tu π₀(1) y se pega a 0,375. La distancia cae geométrica: cada paso multiplica el error por (1−a−b) = 0,2.

Preguntas para explorar

1. Desde π₀ = 0 y desde π₀ = 1, ¿a qué valor tienden ambas? ¿En cuántos pasos se juntan?
2. En n = 0, ¿la distancia es 0? ¿Qué significa empezar lejos?
3. Si π₀ = 0,375, ¿la curva se mueve? ¿Por qué?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: un paso a mano

Con π = [0,5 – 0,5] y P 2×2 (a = 0,3, b = 0,5), calculá π(1) a mano y verificá.

P = [[0.7, 0.3], [0.5, 0.5]]
pi = [0.5, 0.5]
pi1 = [pi[0]*P[0][0] + pi[1]*P[1][0], pi[0]*P[0][1] + pi[1]*P[1][1]]
print([round(x, 3) for x in pi1])

Ejercicio 2: olvidar el inicio

Sin ejecutar primero: desde [1, 0] y [0, 1], ¿π(5) será igual o distinto? Comprobalo.

P = [[0.7, 0.3], [0.5, 0.5]]

def evolucionar(pi0, N):
    pi = pi0[:]
    for _ in range(N):
        pi = [sum(pi[i] * P[i][j] for i in range(2)) for j in range(2)]
    return pi

print([round(x, 4) for x in evolucionar([1, 0], 5)])
print([round(x, 4) for x in evolucionar([0, 1], 5)])

Ejercicio 3: velocidad del olvido

Compará el error en n = 3 con (a+b) = 0,8 vs 0,2. ¿Cuál olvida más rápido?

print("rápida:", round(0.2**3, 4))
print("lenta:", round(0.8**3, 4))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema detallaremos el punto de partida: distribución inicial.