Múltiples pasos

01 · Punto de partida

De 1 paso a n pasos de un salto

P dice el próximo paso; pero ¿y en 5 pasos? ¿En 10? La respuesta es Pⁿ: la matriz que salta n pasos de una vez. Su entrada pᵢⱼ⁽ⁿ⁾ es la chance de ir de i a j en exactamente n pasos.

El puente es Chapman-Kolmogorov: para ir en m+n pasos se pasa por algún intermedio k.

• ¿Qué chance hay de 0 a 1 en 5 pasos: p₀₁⁽⁵⁾?
• ¿Cómo se calcula P² = P·P y Pⁿ en general?
• ¿A qué tienden las filas de Pⁿ con n grande?
• ¿Cuántos pasos borran el origen?

02 · Definición

¿Qué es pᵢⱼ⁽ⁿ⁾?

Tres ideas la fijan:

En 2×2 (a = 0,3, b = 0,5): p₀₁⁽ⁿ⁾ = 0,375·(1−0,2ⁿ) y p₁₁⁽ⁿ⁾ = 0,375 + 0,625·0,2ⁿ. Ambas tienden a π₁ = 0,375.

03 · Anatomía

Potencia, puente y límite

Cuatro lecturas de Pⁿ:

P¹ = P

Un paso: la base. P⁰ = identidad (cero pasos = quedarse).

P² = P·P

Dos pasos pasando por k: pᵢⱼ⁽²⁾ = Σₖ pᵢₖ·pₖⱼ.

Pⁿ por potencias

π(n) = π(0)·Pⁿ: N pasos de una vez en vez de iterar.

Límite π

Si converge, cada fila de Pⁿ tiende a π. El origen se borra.

04 · Ejemplos

Preguntas de n pasos

Toda pregunta «en n pasos» es una entrada de Pⁿ:

1. 1
   Clima en 3 días.

   p₀₁⁽³⁾: de sol hoy a lluvia en 3 días.

2. 2
   Servidor en 10 min.

   Fila desde caído: ¿ya volvió a libre?

3. 3
   Regreso en 2.

   pᵢᵢ⁽²⁾: salir y volver en dos pasos.

4. 4
   Régimen en 20.

   Filas ≈ π: el origen ya no importa.

5. 5
   Puente CK.

   En 5 = 2+3: pᵢⱼ⁽⁵⁾ = Σₖ pᵢₖ⁽²⁾·pₖⱼ⁽³⁾.

05 · Representación en Python

Multiplicar matrices, no casilleros

En Python, Pⁿ es producto matricial repetido. Con K chico basta triple bucle; con K grande, librerías. La verificación es Chapman-Kolmogorov.

def matmul(A, B):
    K = len(A)
    return [[sum(A[i][k] * B[k][j] for k in range(K)) for j in range(K)] for i in range(K)]

P = [[0.7, 0.3], [0.5, 0.5]]
P2 = matmul(P, P)
print([[round(x, 3) for x in f] for f in P2])

P² = [[0,64 – 0,36], [0,6 – 0,4]]: en 2 pasos desde 0 hay 36 % de chance de 1.

Potencia y Chapman-Kolmogorov

P⁵ = P²·P³ debe cerrar exacto:

def matmul(A, B):
    K = len(A)
    return [[sum(A[i][k] * B[k][j] for k in range(K)) for j in range(K)] for i in range(K)]

def matpow(P, n):
    K = len(P)
    R = [[1.0 if i == j else 0.0 for j in range(K)] for i in range(K)]
    for _ in range(n):
        R = matmul(R, P)
    return R

P = [[0.7, 0.3], [0.5, 0.5]]
P5a = matpow(P, 5)
P5b = matmul(matpow(P, 2), matpow(P, 3))
print([[round(x, 4) for x in f] for f in P5a])
print("CK cierra:", all(abs(P5a[i][j] - P5b[i][j]) < 1e-9 for i in range(2) for j in range(2)))

06 · Exploración

Laboratorio: las filas se vuelven π

Curvas p₀₁⁽ⁿ⁾ (turquesa, desde 0) y p₁₁⁽ⁿ⁾ (naranja, desde 1) hacia π₁ = 0,375 (blanca). Movete el paso n: en n = 1 difieren (0,3 vs 0,5); en n = 5 ya son π. La brecha entre ellas decae ×0,2 por paso.

En n = 0 valen 0 y 1 (identidad: sin pasos no hay viaje); desde n = 1 saltan a la fila de P y luego se juntan en π₁.

Preguntas para explorar

1. En n = 0, ¿cuánto valen p₀₁ y p₁₁? ¿Por qué (P⁰ = I)?
2. ¿En qué n la brecha cae bajo 0,01? ¿Qué potencia de 0,2 es?
3. ¿Las filas de P⁵ son π? ¿Qué significa que el origen se borre?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: P² a mano

Con P 2×2 (a = 0,3, b = 0,5), calculá p₀₁⁽²⁾ por puentes: 0→0→1 más 0→1→1.

print(0.7 * 0.3 + 0.3 * 0.5)

Ejercicio 2: límite de filas

Sin ejecutar primero: ¿a qué tienden p₀₁⁽ⁿ⁾ y p₁₁⁽ⁿ⁾? Comprobalo con P¹⁰.

def matmul(A, B):
    K = len(A)
    return [[sum(A[i][k] * B[k][j] for k in range(K)) for j in range(K)] for i in range(K)]

P = [[0.7, 0.3], [0.5, 0.5]]
R = [[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]
for _ in range(10):
    R = matmul(R, P)
print([[round(x, 4) for x in f] for f in R])

Ejercicio 3: CK en 5 = 2+3

Verificá p₀₁⁽⁵⁾ = p₀₀⁽²⁾·p₀₁⁽³⁾ + p₀₁⁽²⁾·p₁₁⁽³⁾ con tus potencias.

def matmul(A, B):
    K = len(A)
    return [[sum(A[i][k] * B[k][j] for k in range(K)) for j in range(K)] for i in range(K)]

def matpow(P, n):
    R = [[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]
    for _ in range(n):
        R = matmul(R, P)
    return R

P = [[0.7, 0.3], [0.5, 0.5]]
P2, P3, P5 = matpow(P, 2), matpow(P, 3), matpow(P, 5)
print(round(P2[0][0] * P3[0][1] + P2[0][1] * P3[1][1], 6), round(P5[0][1], 6))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

Cerramos evolución. En el próximo bloque clasificaremos: estados recurrentes, transitorios y más.