Clasificación de estados

01 · Punto de partida

No todos los estados envejecen igual

Algunos estados vuelven siempre (recurrentes), otros se abandonan para siempre (transitorios) y otros atrapan (absorbentes). Clasificar es predecir el destino sin simular mil años.

Este tema es el mapa; los Temas 30–35 desarrollan cada territorio.

• ¿Volveré a este estado con chance 1 o puedo perderlo?
• ¿Hay salida del grupo o es cerrado?
• ¿Cuántas clases que no se hablan hay?
• ¿El largo plazo depende de dónde empiezo?

02 · Definición

El mapa en cuatro preguntas

Toda clasificación responde lo mismo:

Detalle de cada territorio: recurrentes (30), transitorios (31), absorbentes y cadenas absorbentes (32–33), periodicidad e irreducibilidad (34–35).

03 · Anatomía

Clases: las provincias de la cadena

Cuatro ideas arman el mapa:

Comunicación

i→j y j→i por algún camino (≥ 1 paso). «Se hablan» es equivalencia: parte S en clases.

Clase cerrada

Sin flechas hacia afuera. Una vez adentro, el futuro vive ahí.

Clase abierta

Con fuga a otra clase. Sus estados son transitorios.

Destino

A largo plazo la cadena queda en alguna cerrada. Si hay varias, el inicio decide cuál.

04 · Ejemplos

Tres mapas que verás siempre

Los tres laboratorios del bloque en una línea cada uno:

1. A
   Irreducible 0–1–2.

   Todos se hablan: una clase cerrada recurrente. Destino único.

2. B
   Fuga a trampa.

   {0, 1} abierta → {2} absorbente. Lo transitorio muere, lo recurrente queda.

3. C
   Dos mundos.

   {0, 1} y {2, 3} cerradas sin puente: el inicio elige mundo.

05 · Representación en Python

Clases por alcanzabilidad en el grafo

En Python, las clases salen del grafo (Tema 22): alcanzables hacia adelante y hacia atrás. Si se alcanzan mutuamente, misma clase; si la clase no tiene salida, cerrada.

grafo = {0: [1], 1: [0, 2], 2: [2]}  # caso B: fuga a trampa

def alcanzables(g, i):
    vistos, pila = set(), [i]
    while pila:
        x = pila.pop()
        if x in vistos:
            continue
        vistos.add(x)
        pila.extend(g.get(x, []))
    return vistos

print("desde 0:", sorted(alcanzables(grafo, 0)))
print("desde 2:", sorted(alcanzables(grafo, 2)))

Desde 0 se llega a 0, 1 y 2; desde 2 solo a 2. Esa asimetría delata la fuga.

Cerrada o con fuga

Una clase es cerrada si ningún miembro apunta afuera:

grafo = {0: [1], 1: [0, 2], 2: [2]}

def cerrada(clase):
    return all(v in clase for i in clase for v in grafo.get(i, []))

print("{0,1} cerrada:", cerrada({0, 1}))
print("{2} cerrada:", cerrada({2}))

06 · Exploración

Laboratorio: tres mapas, tres destinos

Elegí el mapa A, B o C: los nodos se colorean por clase (mismo color = se hablan) y el borde grueso marca cerrada. Simulá 200 pasos desde el estado inicial y mirá dónde termina cada réplica.

El color agrupa clases; el anillo grueso, cerradas. Las 6 réplicas (ticks finales) muestran el destino según el inicio.

Preguntas para explorar

1. En B desde 0, ¿dónde terminan las 6 réplicas en 200 pasos? ¿Y en A?
2. En C desde 0 vs desde 3, ¿el destino es el mismo? ¿Qué decide?
3. ¿Qué mapa tiene transitorios? ¿Cómo los reconocés en el dibujo?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer el mapa B

Con este grafo, ¿desde 1 se llega a 2? ¿Y desde 2 a 1? ¿Qué implica?

grafo = {0: [1], 1: [0, 2], 2: [2]}

def llega(g, a, b):
    vistos, pila = set(), [a]
    while pila:
        x = pila.pop()
        if x == b:
            return True
        if x in vistos:
            continue
        vistos.add(x)
        pila.extend(g.get(x, []))
    return False

print("1->2:", llega(grafo, 1, 2))
print("2->1:", llega(grafo, 2, 1))

Ejercicio 2: detectar absorbente

Sin ejecutar primero: ¿qué estado de este P es absorbente? Comprobalo por fila.

P = [[0.5, 0.5, 0.0], [0.3, 0.4, 0.3], [0.0, 0.0, 1.0]]
print([i for i, f in enumerate(P) if f[i] == 1.0 and sum(f) == 1.0])

Ejercicio 3: contar clases a mano

Con grafo {0:[1], 1:[0], 2:[3], 3:[2]}, ¿cuántas clases hay y cuáles son cerradas?

print("clases: {0,1} y {2,3}, ambas cerradas (sin puente)")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema profundizaremos los estados recurrentes: los que siempre vuelven.