Estados recurrentes

01 · Punto de partida

Volver es seguro, la duda es cuándo

Salís del 0 en una cadena cerrada: ¿volverás alguna vez? Si la respuesta es sí con chance 1, el 0 es recurrente. No dice que vuelvas rápido —dice que no te escapás.

En cadenas finitas e irreducibles (un mundo), todos son recurrentes. La pregunta pasa a ser el tiempo medio de retorno (Tema 38).

• ¿La chance de volver a i es 1 o menor?
• ¿Cuántos pasos tarda el retorno en promedio?
• ¿La clase de i es cerrada y finita?
• ¿Vuelvo una vez o infinitas veces?

02 · Definición

¿Qué es recurrente?

Tres niveles de la misma idea:

Regla de oro en finitas: clase cerrada ⇒ todos recurrentes. Y la media de retorno cumple μᵢ = 1/πᵢ (Tema 38).

03 · Anatomía

Clase cerrada, retorno y media

Cuatro reglas para clasificar sin cuentas infinitas:

Cerrada finita ⇒ recurrente

Sin salida y con finitos estados: el retorno es seguro para todos.

Recurrencia es de clase

Si i es recurrente y se habla con j, j también. Se hereda por comunicación.

Tiempo medio μᵢ

Pasos esperados hasta volver. Con πᵢ > 0: μᵢ = 1/πᵢ.

Irreducible finita

Todos recurrentes: el caso «un mundo» del mapa A (Tema 29).

04 · Ejemplos

Recurrentes de manual

Si no hay salida del grupo, todo es recurrente:

1. 1
   Anillo 0–1–2.

   Sin salida: los 3 recurrentes con retornos periódicos.

2. 2
   Clima sol/lluvia.

   Todo se habla: ambos vuelven siempre.

3. 3
   Absorbente 2.

   Recurrente solo: una vez adentro, visitas infinitas quietas.

4. 4
   Dos mundos.

   Cada mundo cerrado es recurrente dentro de sí.

5. 5
   Fuga a trampa.

   {0,1} no son recurrentes (siguiente tema); {2} sí.

05 · Representación en Python

Medir retornos simulando

En Python, la recurrencia se estima con tiempos de retorno: desde i, pasos hasta volver. Si en R réplicas todas vuelven antes del horizonte, fᵢᵢ ≈ 1.

import random

def retorno(a=0.3, b=0.5, horizonte=50, semilla=7):
    # Desde 0, pasos hasta volver a 0 (None si no vuelve).
    random.seed(semilla)
    x = 0
    for n in range(1, horizonte + 1):
        x = 1 if random.random() < (a if x == 0 else 1 - b) else 0
        if x == 0:
            return n
    return None

print([retorno(semilla=s) for s in range(8)])

Casi todos vuelven en pocos pasos (1, 2, 3…): huella de recurrente con retorno rápido.

Fracción que vuelve y media

Con muchas réplicas: fracción ≈ 1 y media ≈ 1/π₀ = 1,6:

import random

def retorno(a=0.3, b=0.5, horizonte=200):
    x = 0
    for n in range(1, horizonte + 1):
        x = 1 if random.random() < (a if x == 0 else 1 - b) else 0
        if x == 0:
            return n
    return None

random.seed(3)
R = 2000
rets = [retorno() for _ in range(R)]
ok = [r for r in rets if r is not None]
print("fracción:", round(len(ok) / R, 4))
print("media:", round(sum(ok) / len(ok), 2), "| teoría 1/0.625:", round(1 / 0.625, 2))

06 · Exploración

Laboratorio: todos vuelven al 0

Cadena 2×2 (a = 0,3, b = 0,5), 200 réplicas desde 0. La curva es la fracción ya retornada hasta cada N; la línea blanca es el 1 teórico. Movete el horizonte N: en pocos pasos ya casi todas volvieron.

Cada réplica aporta su primer retorno; la curva acumula. Llegar a 1 y quedarse es la firma de f₀₀ = 1.

Preguntas para explorar

1. En N = 3, ¿qué fracción ya volvió? ¿Y en N = 10?
2. ¿La media de retorno ronda 1,6? ¿Qué π₀ implica (1/1,6)?
3. Generá nuevas réplicas: ¿la curva cambia mucho o es estable?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer fᵢᵢ

Si de 2000 réplicas volvieron 2000 en 200 pasos, ¿qué estimás para f₀₀? ¿Y si volvieran 1200?

print(2000 / 2000, 1200 / 2000)

Ejercicio 2: media 1/π

Sin ejecutar primero: con π₀ = 0,25, ¿qué μ₀ predice la fórmula? Comprobalo simulando.

print(1 / 0.25)

Ejercicio 3: cerrada finita ⇒ recurrente

Dado el grafo anillo 0–1–2–0 sin salida, argumentá por qué los 3 son recurrentes en una línea.

print("Cerrada finita: sin fuga, el retorno es seguro para todos.")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos la contracara: estados transitorios.