Cadenas absorbentes

01 · Punto de partida

Del estado trampa a la cadena trampa

Un absorbente solo (Tema 32) es un estado; una cadena absorbente es un sistema que termina en trampas: tiene absorbentes y desde todo lo transitorio se llega a alguno.

La maquinaria es la forma canónica [Q R; 0 I] y la matriz fundamental N = (I−Q)⁻¹: visitas medias y tiempos sin simular.

• ¿Hay absorbentes y todo lo demás los alcanza?
• ¿Cómo se ordena P en bloques Q, R, I?
• ¿Cuántas visitas a cada transitorio: N?
• ¿Cuánto tarda la absorción desde i: t = N·1?

02 · Definición

¿Qué es cadena absorbente?

Dos condiciones, tres fórmulas:

En forma canónica los transitorios van primero: P = [Q R; 0 I]. Q mueve entre transitorios, R fuga a trampas.

03 · Anatomía

Q, R, N, B, t

Cinco letras que lo dicen todo:

Q

Transitorio→transitorio. Su radio espectral < 1 garantiza N finita.

R

Transitorio→absorbente. Las fugas directas por paso.

N = (I−Q)⁻¹

Visitas medias: Nᵢⱼ = veces esperadas en j desde i antes de absorber.

t = N·1 y B = N·R

Tiempos medios a absorber y reparto entre trampas rivales.

04 · Ejemplos

Cadenas que terminan

Si todo camino lleva a trampa, es absorbente:

1. 1
   Trámite → resuelto.

   Pasos medios por oficina: fila de t.

2. 2
   Ruina 0–4.

   Desde i: tiempo i·(4−i) y reparto i/4.

3. 3
   Trial → compra/pérdida.

   B reparte entre rivales por inicio.

4. 4
   Juego por niveles.

   Niveles transitorios hasta victoria o derrota.

5. 5
   No absorbente.

   Sin trampas o con transitorios aislados: N no aplica.

05 · Representación en Python

N 2×2 a mano, sin librerías

En Python, con 2 transitorios la inversa es fórmula directa: N = (I−Q)⁻¹ con determinante. De N salen t y B.

Q = [[0.5, 0.5], [0.3, 0.4]]
R = [[0.0], [0.3]]

def inv2(M):
    a, b, c, d = M[0][0], M[0][1], M[1][0], M[1][1]
    det = a * d - b * c
    return [[d / det, -b / det], [-c / det, a / det]]

I_Q = [[1 - Q[0][0], -Q[0][1]], [-Q[1][0], 1 - Q[1][1]]]
N = inv2(I_Q)
t = [N[0][0] + N[0][1], N[1][0] + N[1][1]]
print("N:", [[round(x, 2) for x in f] for f in N])
print("t:", [round(x, 2) for x in t])

N ≈ [[3,33 – 2,78], [1,67 – 2,78]] y t ≈ [6,11 – 4,44]: desde 0 se tarda más (lejos de la fuga).

Reparto B = N·R

Con una sola trampa B = [1, 1]; con rivales reparte:

N = [[3.33, 2.78], [1.67, 2.78]]
R = [[0.0], [0.3]]
B = [[N[0][0]*R[0][0] + N[0][1]*R[1][0]], [N[1][0]*R[0][0] + N[1][1]*R[1][0]]]
print([[round(x, 3) for x in f] for f in B])

06 · Exploración

Laboratorio: abrir o cerrar la fuga

Mapa B con fuga c = P(1→2) ajustable (el resto queda en {0,1}). Las barras son los tiempos medios t₀ y t₁ exactos por N. Subí c: la trampa traga antes y t se desploma. Con c = 0 no hay cadena absorbente (N explota).

Sin simular historias: una inversa 2×2 da los tiempos. La barra de 0 supera a la de 1 porque está más lejos de la fuga.

Preguntas para explorar

1. Con c = 0,3, ¿t₀ y t₁ cuánto dan? ¿Cuál es mayor y por qué?
2. Bajá c a 0,05. ¿Los tiempos crecen o caen? ¿Qué pasa si c → 0?
3. ¿B = N·R cuánto da con una sola trampa? ¿Por qué no hay reparto?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer Q y R

Dada esta P con orden (0, 1, 2), extraé Q (2×2) y R (2×1).

P = [[0.5, 0.5, 0.0],
     [0.3, 0.4, 0.3],
     [0.0, 0.0, 1.0]]
Q = [f[:2] for f in P[:2]]
R = [[f[2]] for f in P[:2]]
print("Q:", Q, "| R:", R)

Ejercicio 2: t desde N

Sin ejecutar primero: con N = [[3,33 – 2,78], [1,67 – 2,78]], ¿t₀ y t₁?

N = [[3.33, 2.78], [1.67, 2.78]]
print([round(sum(f), 2) for f in N])

Ejercicio 3: verificar absorción segura

Con B = [[1], [1]], verificá que cada fila suma 1. ¿Qué significaría 0,7?

B = [[1.0], [1.0]]
print([sum(f) for f in B])

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos el ritmo de los retornos: periodicidad.