Periodicidad

01 · Punto de partida

Volver sí, pero solo cada tanto

Un estado recurrente vuelve seguro (Tema 30), pero ¿cuándo? Si solo vuelve en pasos pares, tiene período 2: la cadena oscila y π(n) nunca se queda quieta.

La periodicidad es el último obstáculo para la convergencia (Tema 40): con período 1 (aperiódica) hay límite; con d > 1 hay ciclo.

• ¿En qué pasos se puede volver a i: múltiplos de qué d?
• ¿La cadena oscila entre grupos o se mezcla?
• ¿Basta un lazo pᵢᵢ > 0 para romper el ciclo?
• ¿π(n) converge o gira?

02 · Definición

¿Qué es el período?

Tres ideas lo fijan:

El período es de clase: estados que se hablan comparten d. En irreducibles hay un solo d.

03 · Anatomía

Ciclos, lazos y clases

Cuatro reglas para diagnosticar:

Lazo ⇒ aperiódica

Si pᵢᵢ > 0, el 1 entra al conjunto y el mcd cae a 1. El remedio estándar.

Bipartita d = 2

La cadena alterna entre dos grupos (par/impar). Típica sin lazos.

Período de clase

Todos los que se hablan comparten d. Basta calcularlo en un estado.

Convergencia

Solo las aperiódicas (más irreducibles y recurrentes+) tienen Pⁿ → π. Las periódicas giran.

04 · Ejemplos

Ciclos que verás en código

Si el grafo es bipartito sin lazos, sospechá d = 2:

1. 1
   Interruptor 0↔1.

   Sin lazos: d = 2, oscila siempre.

2. 2
   Con lazos 0,1.

   d = 1: el lazo rompe el ciclo.

3. 3
   Reloj 0→1→2→0.

   d = 3: rota por fase horaria.

4. 4
   Cola ±1 con quedarse.

   Lazos ⇒ d = 1: converge.

5. 5
   Paseo bipartito.

   Tablero alterno: par/impar estricto.

05 · Representación en Python

Detectar retornos con Pⁿ

En Python, el período se estima mirando en qué n pᵢᵢ⁽ⁿ⁾ > 0 y tomando el mcd. Con potencias pequeñas alcanza para decidir.

import math

def matmul(A, B):
    K = len(A)
    return [[sum(A[i][k] * B[k][j] for k in range(K)) for j in range(K)] for i in range(K)]

P = [[0.1, 0.9], [0.9, 0.1]]  # con lazos chicos
R, retornos = [[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]], []
for n in range(1, 9):
    R = matmul(R, P)
    if R[0][0] > 1e-9:
        retornos.append(n)
print("retornos a 0:", retornos)
d = 0
for n in retornos:
    d = math.gcd(d, n)
print("d =", d)

Con lazos 0,1 salen retornos 1, 2, 3… y d = 1. Sin lazos solo pares y d = 2.

Ver la oscilación en π(n)

Con d = 2, π(n) no converge: alterna según la paridad:

P = [[0.0, 1.0], [1.0, 0.0]]  # flip puro
pi = [1.0, 0.0]
for n in range(6):
    print(n, [round(x, 1) for x in pi])
    pi = [pi[0]*P[0][0] + pi[1]*P[1][0], pi[0]*P[0][1] + pi[1]*P[1][1]]

06 · Exploración

Laboratorio: del flip a la mezcla

Cadena 0↔1 con lazo q en ambos (quedarse) y flip si no. Con q = 0 es flip puro d = 2: P(Xₙ=1) desde 0 oscila 0, 1, 0, 1… Subí q y la oscilación se amortigua hasta converger en 0,5.

La curva es P(Xₙ=1) partiendo de 0. Con q = 0 es cuadrada; con q > 0 se suaviza hacia 0,5.

Preguntas para explorar

1. Con q = 0, ¿la curva en n pares e impares cuánto vale? ¿Hay límite?
2. Subí q a 0,2. ¿La oscilación persiste o se amortigua? ¿Hacia qué valor?
3. ¿Qué lazo mínimo rompe el período? ¿q = 0,05 alcanza?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: mcd de retornos

Con retornos {2, 4, 6} y {3, 6, 9}, calculá d de cada uno.

import math
print(math.gcd(math.gcd(2, 4), 6))
print(math.gcd(math.gcd(3, 6), 9))

Ejercicio 2: flip sin límite

Sin ejecutar primero: desde [1, 0] con flip puro, ¿π(4) y π(5)? Comprobalo.

pi = [1.0, 0.0]
P = [[0.0, 1.0], [1.0, 0.0]]
for n in range(6):
    if n in (4, 5):
        print(n, pi)
    pi = [pi[0]*P[0][0] + pi[1]*P[1][0], pi[0]*P[0][1] + pi[1]*P[1][1]]

Ejercicio 3: romper con lazo

Agregá lazo 0,1 al flip y mirá π(20). ¿Converge? ¿A qué?

P = [[0.1, 0.9], [0.9, 0.1]]
pi = [1.0, 0.0]
for _ in range(20):
    pi = [pi[0]*P[0][0] + pi[1]*P[1][0], pi[0]*P[0][1] + pi[1]*P[1][1]]
print([round(x, 3) for x in pi])

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema cerraremos clasificación: irreducibilidad.