Tiempo de absorción

01 · Punto de partida

Atraparse es seguro; la duda es cuándo

En una cadena absorbente (Tema 33) la captura ocurre con chance 1. Pero ¿en 3 pasos o en 30? El tiempo de absorción T es el H_A con A = trampas: primero n en absorbente.

Su media t = N·1 sale exacta de la matriz fundamental, sin simular miles de historias.

• ¿Desde qué transitorio i empiezo?
• ¿Cuántos pasos en promedio hasta la trampa?
• ¿La distribución es concentrada o con cola larga?
• ¿Qué inicio tarda más y por qué?

02 · Definición

¿Qué es T?

Tres caras del mismo reloj:

En el mapa B: t₀ ≈ 6,11 y t₁ ≈ 4,44. Desde 0 se tarda más (lejos de la fuga directa).

03 · Anatomía

Media, mediana y cola

Cuatro lecturas del reloj de absorción:

Media tᵢ

Lo esperado hasta la trampa. Exacta por N; estimada por promedio de T.

Mediana

La mitad absorbe antes. Menor que la media por la cola derecha.

Cola

P(T > N) decae geométrica: tardíos escasos pero reales.

Inicio manda

Lejos de la fuga = más t. El mapa de tᵢ ordena los inicios por riesgo.

04 · Ejemplos

Relojes hasta el final

Todo «¿cuánto hasta que termina?» con final seguro:

1. 1
   Trámite hasta resuelto.

   tᵢ = días medios por oficina de inicio.

2. 2
   Ruina desde 2.

   4 pasos medios con moneda pareja (Tema 32).

3. 3
   Trial hasta compra/pérdida.

   t = N·1 con dos trampas rivales.

4. 4
   Nivel hasta victoria.

   Diseño de juegos: t por nivel de entrada.

5. 5
   Cola hasta vaciarse.

   Con cierre absorbente: ¿cuánto hasta el 0?

05 · Representación en Python

Tiempos por simulación y por N

En Python, T se simula frenando en trampa y se calcula con N·1. Ambos deben coincidir dentro del ruido.

import random

P = [[0.5, 0.5, 0.0],
     [0.3, 0.4, 0.3],
     [0.0, 0.0, 1.0]]

def T_abs(x0=0, semilla=7):
    random.seed(semilla)
    x, n = x0, 0
    while x != 2:
        u, ac = random.random(), 0.0
        for j, p in enumerate(P[x]):
            ac += p
            if u < ac:
                x = j
                break
        n += 1
    return n

print([T_abs(semilla=s) for s in range(8)])

Tiempos 2, 3, 12, 5…: asimétricos con cola. La media está arriba de la mayoría.

Media simulada vs exacta

500 réplicas contra t₀ = 6,11:

import random

P = [[0.5, 0.5, 0.0],
     [0.3, 0.4, 0.3],
     [0.0, 0.0, 1.0]]

def T_abs(x0=0):
    x, n = x0, 0
    while x != 2:
        u, ac = random.random(), 0.0
        for j, p in enumerate(P[x]):
            ac += p
            if u < ac:
                x = j
                break
        n += 1
    return n

random.seed(9)
Ts = [T_abs() for _ in range(500)]
print("simulada:", round(sum(Ts) / len(Ts), 2), "| exacta: 6.11")

06 · Exploración

Laboratorio: histograma del reloj a la trampa

500 réplicas hasta el 2 desde inicio i. Las barras reparten T; las líneas marcan mediana (turquesa) y media exacta (amarilla). Cambiá el inicio: desde 0 el histograma se corre a la derecha.

La cola derecha (12, 15, 20+) estira la media más allá de la mayoría. Todas las réplicas terminan: absorción segura.

Preguntas para explorar

1. Desde 0, ¿media o mediana es mayor? ¿Por qué (cola)?
2. Desde 1, ¿el histograma se corre a izquierda o derecha respecto a 0?
3. Generá nuevas réplicas: ¿la media exacta cambia? ¿Y la simulada?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer t

Con N = [[3,33 – 2,78], [1,67 – 2,78]], ¿t₀ y t₁? ¿Cuál tarda más?

N = [[3.33, 2.78], [1.67, 2.78]]
print([round(sum(f), 2) for f in N])

Ejercicio 2: mediana vs media

Sin ejecutar primero: en estos T = [2, 3, 3, 4, 15], ¿media y mediana? ¿Cuál representa «lo típico»?

import statistics
T = [2, 3, 3, 4, 15]
print(statistics.mean(T), statistics.median(T))

Ejercicio 3: percentil 90

Con 2000 T simulados, calculá el P90: el plazo que cubre al 90 %. Compará con la media 6,11.

import random

P = [[0.5, 0.5, 0.0],
     [0.3, 0.4, 0.3],
     [0.0, 0.0, 1.0]]

def T_abs():
    x, n = 0, 0
    while x != 2:
        u, ac = random.random(), 0.0
        for j, p in enumerate(P[x]):
            ac += p
            if u < ac:
                x = j
                break
        n += 1
    return n

random.seed(12)
Ts = sorted(T_abs() for _ in range(2000))
print("P90:", Ts[int(0.9 * len(Ts))])

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos volver, no atraparse: tiempo medio de retorno.