Tiempo medio de retorno

01 · Punto de partida

Cada cuánto vuelve cada estado

Salir del 1 y volver: ¿cada cuántos pasos en promedio? Ese tiempo medio de retorno μᵢ ordena la agenda: el servidor cae cada μ días, el cliente vuelve cada μ meses.

La regla de oro (Kac) lo ata al equilibrio: μᵢ = 1/πᵢ. Estado frecuente = retorno corto.

• ¿Partiendo de i, cuántos pasos hasta volver a i?
• ¿El promedio es μ₀ = 1,6 o μ₁ = 2,67?
• ¿Qué estado vuelve antes: el frecuente o el raro?
• ¿La distribución es simétrica o con cola?

02 · Definición

¿Qué es μᵢ?

Tres lecturas del mismo promedio:

Con π = [0,625 – 0,375]: μ₀ = 1,6 y μ₁ ≈ 2,67. El 0 (frecuente) vuelve antes que el 1 (raro).

03 · Anatomía

Frecuencia, retorno y ciclo

Cuatro ideas para usar μᵢ:

Frecuencia πᵢ

Fracción del tiempo en i. Alta ⇒ retorno corto.

Retorno μᵢ

Pasos medios entre visitas. Incluye el paso de salida (mínimo 1).

Ciclo

Salir y volver: el «año» del estado. μᵢ es su duración media.

Planificación

μᵢ agenda mantenimiento, visitas y reposiciones: cada μᵢ pasos en promedio.

04 · Ejemplos

Retornos que se agendan

Todo «cada cuánto» con régimen es un 1/π:

1. 1
   Servidor cae 5 %.

   π = 0,05 ⇒ μ = 20 días entre caídas.

2. 2
   Cliente mensual 40 %.

   μ = 2,5 meses entre visitas.

3. 3
   Stock lleno 62,5 %.

   μ₀ = 1,6 días entre plenitudes.

4. 4
   Dado: cara 1/6.

   μ = 6 tiros entre seises.

5. 5
   Transitorio.

   Sin μ finita: se va y no hay ciclo.

05 · Representación en Python

Retornos por simulación y por 1/π

En Python, el retorno se simula contando hasta re-pisar i (mínimo 1) y se calcula con 1/πᵢ. Ambos deben coincidir.

import random

def retorno(i=1, a=0.3, b=0.5, semilla=7):
    # Desde i, pasos hasta volver a i (mínimo 1).
    random.seed(semilla)
    x, n = i, 0
    while True:
        x = 1 if random.random() < (a if x == 0 else 1 - b) else 0
        n += 1
        if x == i:
            return n

print([retorno(semilla=s) for s in range(8)])

Retornos al 1: 1, 1, 4, 2… El 1 (quedarse) es común porque p₁₁ = 0,5.

Media simulada vs 1/π

500 retornos contra μ₁ = 2,67:

import random

def retorno(i=1, a=0.3, b=0.5):
    x, n = i, 0
    while True:
        x = 1 if random.random() < (a if x == 0 else 1 - b) else 0
        n += 1
        if x == i:
            return n

random.seed(5)
R = [retorno() for _ in range(500)]
print("simulada:", round(sum(R) / len(R), 2), "| teoría 1/0.375:", round(1 / 0.375, 2))

06 · Exploración

Laboratorio: volver al 0 o al 1

500 retornos al estado i elegido. Las barras reparten los tiempos; la línea amarilla es μᵢ = 1/πᵢ (1,6 vs 2,67). Cambiá de estado: al 1 se vuelve más tarde y más disperso.

La barra en 1 es quedarse (pᵢᵢ); la cola son idas y vueltas. El raro (1) tiene menos barra en 1 y más cola.

Preguntas para explorar

1. Al 0 vs al 1, ¿qué media es mayor? ¿Qué π la explica?
2. ¿P(retorno = 1) cuánto da en cada estado? ¿Qué pᵢᵢ la da?
3. Generá nuevas réplicas: ¿la media teórica se mueve?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer μ desde π

Con π = [0,2 – 0,5 – 0,3], ¿qué μ tiene cada estado? ¿Cuál vuelve antes?

pi = [0.2, 0.5, 0.3]
print([round(1 / p, 2) for p in pi])

Ejercicio 2: retorno en 1

Sin ejecutar primero: con p₁₁ = 0,5, ¿P(retorno al 1 = 1)? Comprobalo con retornos.

import random

def retorno(semilla):
    random.seed(semilla)
    x, n = 1, 0
    while True:
        x = 1 if random.random() < (0.3 if x == 0 else 0.5) else 0
        n += 1
        if x == 1:
            return n

R = [retorno(s) for s in range(1000)]
print(sum(1 for r in R if r == 1) / len(R))

Ejercicio 3: planificar con μ

Si caer dura π = 0,02 del tiempo, ¿cada cuántos días cae en promedio? ¿Y si π = 0,2?

print(1 / 0.02, 1 / 0.2)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

Cerramos tiempos. En el próximo tema llega el equilibrio: distribución estacionaria.