Distribución estacionaria

01 · Punto de partida

El reparto que ya no se mueve

Si la cadena arranca repartida como π y un paso después sigue repartida igual, está en equilibrio: πP = π. Ese π es el destino de π(n) y la base de μ = 1/π.

En 2×2 tiene fórmula cerrada; en K×K es un sistema lineal. Siempre se verifica multiplicando.

• ¿Qué π cumple π = πP y suma 1?
• ¿Existe uno solo o varios?
• ¿Cómo se calcula en 2×2 sin álgebra pesada?
• ¿La simulación larga lo confirma?

02 · Definición

¿Qué es π?

Tres condiciones la definen:

Con a = 0,3 y b = 0,5: π₀ = 0,5/0,8 = 0,625 y π₁ = 0,3/0,8 = 0,375. Verificación: [0,625 – 0,375]·P = [0,625 – 0,375].

03 · Anatomía

Balance, unicidad y uso

Cuatro lecturas de π:

Balance global

Lo que sale de cada estado iguala lo que entra (πP = π por columnas ponderadas).

Unicidad

Irreducible + recurrente+ ⇒ una π. Reducible ⇒ una por cerrada (el inicio elige).

Frecuencias

πᵢ = fracción del tiempo en i a largo plazo. Lo que estiman las simulaciones largas.

Base de μ

μᵢ = 1/πᵢ: π sostiene retornos, dimensionamiento y SLA.

04 · Ejemplos

Equilibrios que se usan para decidir

Todo «a largo plazo, ¿qué fracción?» es un π:

1. 1
   Servidor ocupado 37,5 %.

   π₁ = 0,375: dimensiona capacidad y turnos.

2. 2
   Clima lluvioso 40 %.

   π_lluvia agenda riego y stocks.

3. 3
   Cliente activo 80 %.

   π_activo proyecta ingresos recurrentes.

4. 4
   Máquina caída 5 %.

   π_caído = indisponibilidad para SLA.

5. 5
   Dos mundos.

   Sin π única: una por mundo según inicio.

05 · Representación en Python

Calcular π 2×2 y verificar πP

En Python, π 2×2 es fórmula y la verificación es multiplicar: πP debe devolver π. Con K×K se itera πP hasta converger (potencia).

a, b = 0.3, 0.5
pi = [b / (a + b), a / (a + b)]
P = [[1 - a, a], [b, 1 - b]]
piP = [pi[0]*P[0][0] + pi[1]*P[1][0], pi[0]*P[0][1] + pi[1]*P[1][1]]
print([round(x, 4) for x in pi])
print([round(x, 4) for x in piP])

π = [0,625 – 0,375] y πP la replica: equilibrio verificado sin simular.

Iterar hasta π (método de potencias)

Con cualquier π(0), repetir πP converge a π (aperiódica):

P = [[0.7, 0.3], [0.5, 0.5]]
pi = [1.0, 0.0]
for _ in range(30):
    pi = [pi[0]*P[0][0] + pi[1]*P[1][0], pi[0]*P[0][1] + pi[1]*P[1][1]]
print([round(x, 4) for x in pi])

06 · Exploración

Laboratorio: π manda el reparto

Cadena 2×2 con a y b ajustables. Las barras son π₀ y π₁ exactas; los puntos blancos, la fracción simulada en 5000 pasos. Movete a y b: las barras y los puntos viajan juntos.

Las barras son cálculo; los puntos, 5000 pasos simulados. Si coinciden, el generador y la fórmula se confirman mutuamente.

Preguntas para explorar

1. Con a = 0,9 y b = 0,1, ¿π₁ cuánto da? ¿La simulada lo confirma?
2. Igualá a = b. ¿π queda 50/50 siempre? ¿Por qué (simetría)?
3. Generá nuevas simulaciones: ¿las barras o los puntos se mueven?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: calcular π 2×2

Con a = 0,2 y b = 0,8, calculá π y verificá πP = π.

a, b = 0.2, 0.8
pi = [b / (a + b), a / (a + b)]
P = [[1 - a, a], [b, 1 - b]]
piP = [pi[0]*P[0][0] + pi[1]*P[1][0], pi[0]*P[0][1] + pi[1]*P[1][1]]
print(pi, [round(x, 6) for x in piP])

Ejercicio 2: simular vs π

Sin ejecutar primero: con 8000 pasos y π₁ = 0,375, ¿fracción simulada cerca de qué? Comprobalo.

import random

random.seed(7)
a, b, x, unos, N = 0.3, 0.5, 0, 0, 8000
for _ in range(N):
    x = 1 if random.random() < (a if x == 0 else 1 - b) else 0
    unos += x
print(round(unos / N, 3))

Ejercicio 3: μ desde π

Con π = [0,625 – 0,375], calculá μ₀ y μ₁. ¿Cuál vuelve antes?

print(1 / 0.625, 1 / 0.375)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos si π(n) llega a π: convergencia.