Convergencia al equilibrio

01 · Punto de partida

Tener π no es llegar a π

La estacionaria π existe (Tema 39), pero ¿π(n) la alcanza? Solo con mezcla: irreducible, aperiódica y recurrente+. Sin eso hay oscilación (d > 1), mundos rivales o fugas.

Y aun convergiendo, importa la velocidad: geométrica con tasa r = |1−a−b| en 2×2. Rápida en 5 pasos o lenta en 500.

• ¿La cadena mezcla (irreducible + aperiódica)?
• ¿A qué velocidad decae la distancia a π?
• ¿Cuántos pasos de burn-in garantizan 1 %?
• ¿Qué la frena: diagonales ≈ 1 o período?

02 · Definición

¿Cuándo converge?

Tres requisitos y una velocidad:

Con a = 0,3 y b = 0,5: r = 0,2. Cada paso divide la distancia por 5: en 4 pasos cae a 0,0016.

03 · Anatomía

Distancia, tasa y burn-in

Cuatro números para operar la convergencia:

Distancia a π

|π(n) − π| (máx. por estado). Arranca en el desacuerdo inicial y decae.

Tasa r

Factor por paso: r = |1−a−b| en 2×2. Cerca de 1 = lenta; cerca de 0 = instantánea.

Burn-in

N con dist < 1 %: N ≈ ln(0,01/C)/ln(r). Rápida ≈ 5, lenta ≈ 100+.

Mezcla

Tiempo de mezclado: hasta que el inicio se olvida. Lo que se descarta al estimar.

04 · Ejemplos

Mezclas rápidas, lentas y nulas

La misma π = 50/50 con tres velocidades:

1. 1
   Rápida (a = b = 0,5).

   r = 0: en 1 paso lista. Filas iguales.

2. 2
   Media (a = 0,3, b = 0,5).

   r = 0,2: en ~4 pasos al 1 %.

3. 3
   Lenta (a = b = 0,05).

   r = 0,9: ~44 pasos al 1 %. Diagonales 0,95.

4. 4
   Nula (flip).

   r = 1: oscila, nunca converge.

5. 5
   Rivales.

   No hay π única: converge al mundo inicial.

05 · Representación en Python

Distancia exacta sin simular

En Python, la distancia a π en 2×2 es exacta: gap₀·rⁿ con r = |1−a−b|. Sin réplicas, sin ruido: la curva teórica del laboratorio.

a, b = 0.3, 0.5
r = abs(1 - a - b)
gap0 = 0.375  # desde [1,0]: |0-0.375|
for n in [0, 2, 4, 6]:
    print(n, round(gap0 * r**n, 5))

Con r = 0,2 la distancia se divide por 5 cada paso: 0,375 → 0,015 → 0,0006.

Burn-in al 1 %

Pasos para que la distancia caiga bajo 0,01:

import math

def burnin(a, b, tol=0.01, gap0=0.5):
    r = abs(1 - a - b)
    if r >= 1:
        return None
    n = 0
    while gap0 * r**n > tol:
        n += 1
    return n

for a, b in [(0.5, 0.5), (0.3, 0.5), (0.05, 0.05)]:
    print(a, b, burnin(a, b))

06 · Exploración

Laboratorio: tres velocidades hacia π

Distancia |π(n)−π| desde [1,0] para mezcla rápida (r = 0, turquesa), media (r = 0,2, amarilla) y lenta (r = 0,9, naranja). La línea gris es el 1 %. Movete el paso n: la rápida ya llegó, la lenta aún viaja.

Eje vertical logarítmico: las geométricas son rectas. Más empinada = más rápida. La lenta baja de a 10 % por paso.

Preguntas para explorar

1. En n = 4, ¿qué distancias dan las tres? ¿Cuál ya cruzó el 1 %?
2. ¿En qué n cruza la lenta el 1 %? (Pista: 0,9ⁿ ≈ 0,02.)
3. ¿Qué r da el flip puro? ¿Su curva converge?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer r

Con a = 0,1 y b = 0,2, calculá r y la distancia en n = 5 desde gap 0,5.

a, b = 0.1, 0.2
r = abs(1 - a - b)
print("r:", r, "| dist5:", round(0.5 * r**5, 4))

Ejercicio 2: burn-in comparados

Sin ejecutar primero: ¿qué burn-in al 1 % esperás con r = 0,2 vs 0,9? Comprobalo.

import math

for r in [0.2, 0.9]:
    n = 0
    while 0.5 * r**n > 0.01:
        n += 1
    print(r, n)

Ejercicio 3: flip no converge

Mostrá que con a = b = 1 la distancia oscila entre 0,5 y 0,5 sin caer.

r = abs(1 - 1 - 1)
print("r:", r)
print([round(0.5 * r**n, 2) if r < 1 else "0.5 siempre" for n in [1, 2, 3]])

09 · Síntesis

Ideas para recordar

Cerramos equilibrio. En el próximo bloque simularemos y aplicaremos: cadenas de Markov en código.