Evolución aleatoria en el tiempo

01 · Punto de partida

El futuro se genera paso a paso

Ya tenemos el estado X(t) (Tema 2) y el espacio S (Tema 3). Falta la película: cómo X(t) se mueve cuando avanza t. Cada ejecución produce una trayectoria distinta, aunque la regla sea la misma.

La pregunta ya no es dónde estamos, sino cómo llegamos al próximo valor: por incrementos, por saltos o por transiciones entre estados.

• ¿Qué cambia entre t y t+1: el incremento X(t+1) − X(t)?
• ¿Qué parte de la historia importa para el próximo paso?
• ¿Miramos una historia puntual o la distribución de todas?
• ¿La incertidumbre crece, se estabiliza o se olvida?

02 · Definición

Trayectoria, incremento e historia

Toda evolución se lee de tres formas complementarias:

En Poisson los incrementos cuentan arribos (0 o 1 por instante chico); en Markov el incremento es el salto entre etiquetas. En ambos, la historia se resume en X(t) cuando el estado es suficiente.

03 · Anatomía

Deriva, dispersión y memoria

Tres propiedades describen cualquier evolución sin fórmulas difíciles:

Deriva

Hacia dónde tiende la media: 2p − 1 por paso en la caminata. Con p = 0,5 no hay deriva. (Se ve en el laboratorio)

Dispersión

Cuánto se abren las trayectorias: la desviación típica crece ≈ √n. A más horizonte, más abanico.

Memoria

Cuánta historia usa el próximo paso: solo X(t) en Markov, tasa λ en Poisson, más pasado si el estado es insuficiente.

Horizonte

Hasta cuándo miramos: corto (manda X(0)), largo (manda la regla y el equilibrio).

04 · Ejemplos

Evoluciones que volverán en el curso

Cada familia del curso es una forma de evolucionar. Reconocé el patrón de incrementos:

1. 1
   Caminata ±1.

   ΔX = +1 con p, −1 si no. Deriva 2p − 1, dispersión √n.

2. 2
   Conteo N(t).

   ΔN = 0 o 1 por instante chico. Nunca baja: es no decreciente. (Poisson)

3. 3
   Cola.

   ΔX = llegadas − atenciones, con piso en 0. El borde frena la caída.

4. 4
   Clima por días.

   ΔX = salto sol ↔ lluvia según P. Sin números: el incremento es el cambio de etiqueta.

5. 5
   Stock con reposición.

   ΔX = −demanda + arribos de pedidos. Mezcla azar y decisión.

05 · Representación en Python

De la trayectoria a los incrementos y la distribución

En Python, la trayectoria es una lista, los incrementos son las diferencias y la distribución se aproxima con muchas réplicas. Tres funciones, tres miradas.

import random

def simular_caminata(pasos, p=0.5, semilla=7):
    random.seed(semilla)
    x, hist = 0, [0]
    for _ in range(pasos):
        x = x + 1 if random.random() < p else x - 1
        hist.append(x)
    return hist

tra = simular_caminata(8, p=0.6)
inc = [tra[i+1] - tra[i] for i in range(len(tra) - 1)]
print("trayectoria:", tra)
print("incrementos:", inc)

Observá que los incrementos solo valen +1 o −1: toda la evolución está en esa lista de pasos.

La distribución con muchas réplicas

Una trayectoria no estima nada; mil sí. Promediá el estado final para ver la deriva:

import random

def replica_final(pasos, p):
    x = 0
    for _ in range(pasos):
        x = x + 1 if random.random() < p else x - 1
    return x

random.seed(21)
for p in [0.5, 0.7]:
    finales = [replica_final(40, p) for _ in range(2000)]
    media = sum(finales) / len(finales)
    print("p =", p, "media final ≈", round(media, 2))

06 · Exploración

Laboratorio: el abanico se abre con el tiempo

Caminata ±1 con probabilidad p de subir. Cada línea fina es una trayectoria; la banda blanca es media ± 1 desvío: el rango donde anda la mayoría. Fijate cómo la banda se ensancha con n aunque p sea 0,5.

Al inicio todas parten de 0 y la banda es angosta; con el tiempo la media marca la deriva y el ancho marca la dispersión. Predecir lejos es más incierto aunque la regla no cambie.

Preguntas para explorar

1. Con p = 0,5, ¿la media final es 0 pero el abanico es 0? ¿Qué distingue deriva de dispersión?
2. Subí p a 0,75. ¿Qué le pasa a la media y qué le pasa al ancho? ¿Cuál mide el azar?
3. Generá nuevas réplicas con la misma p. ¿La banda cambia mucho o poco? ¿Y las líneas finas?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: reconstruir desde incrementos

Ejecutá esta trayectoria y sus incrementos. Verificá que el acumulado de ΔX devuelve X.

tra = [0, 1, 0, 1, 2, 1]
inc = [tra[i+1] - tra[i] for i in range(len(tra) - 1)]
print("incrementos:", inc)
print("suma de incrementos:", sum(inc))
print("X final - X inicial:", tra[-1] - tra[0])

Ejercicio 2: deriva teórica vs simulada

Sin ejecutar primero: con p = 0,8 y 50 pasos, ¿qué media final predice (2p−1)·n? Comprobalo con réplicas.

import random

random.seed(5)
p, n, R = 0.8, 50, 3000
tot = 0
for _ in range(R):
    x = 0
    for _ in range(n):
        x += 1 if random.random() < p else -1
    tot += x
print("teórica:", (2*p - 1) * n)
print("simulada:", round(tot / R, 2))

Ejercicio 3: el abanico crece con √n

Compará el desvío final en horizontes 10 y 40 con p = 0,5. ¿En qué factor crece?

import random, statistics

def finales(n, R=2000, p=0.5, semilla=9):
    random.seed(semilla)
    out = []
    for _ in range(R):
        x = 0
        for _ in range(n):
            x += 1 if random.random() < p else -1
        out.append(x)
    return statistics.pstdev(out)

print("n=10:", round(finales(10), 2))
print("n=40:", round(finales(40), 2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema distinguiremos los procesos en tiempo discreto: pasos n = 0, 1, 2… con regla de a un paso.