Espacio de estados

01 · Punto de partida

Del estado al conjunto de estados

En el Tema 2 elegimos el estado X(t): clientes en cola, stock, modo del servidor. Ahora damos un paso más: reunir todos los valores posibles en un solo conjunto S, el espacio de estados.

Sin S explícito no hay simulador serio: no podemos validar entradas, dimensionar una matriz P ni decidir si el sistema se satura, se vacía o deriva.

• ¿Qué valores puede tomar X(t) y cuáles nunca?
• ¿S es finito, infinito numerable o continuo?
• ¿Las etiquetas tienen orden (0, 1, 2…) o no (sol, lluvia)?
• ¿Cómo numeramos S para usarlo en código y matrices?

02 · Definición

¿Qué es el espacio de estados?

Todo S se describe con tres preguntas:

Esa pertenencia es la primera verificación de un simulador (Tema 35 del curso introductorio): si X(t) sale de S, la regla está mal o S está mal definido.

03 · Anatomía

Cardinalidad, orden y bordes

Tres distinciones evitan la mayoría de los errores de modelado:

S finito

K valores: caras, modos, niveles 0…K−1. Ideal para Markov con matriz. (Temas 19–28)

S numerable

0, 1, 2… sin fin: conteos como N(t) en Poisson. En la práctica se corta en un máximo.

S continuo

Intervalos reales: temperatura, precio, nivel. Requiere discretizar o cambiar de técnica.

Bordes

Límites con regla propia: la cola no baja de 0, el depósito no pasa del tope. El borde es parte de S.

04 · Ejemplos

Espacios que aparecen en todo el curso

Estos S volverán en Poisson, Markov y aplicaciones. Conviene fijarlos ahora:

1. 1
   Moneda / servidor binario.

   S = {0, 1} o {libre, ocupado}. El más chico útil: cabe en una P de 2 × 2.

2. 2
   Dado / calificación.

   S = {1,…,6}. Finito ordenado con bordes 1 y 6.

3. 3
   Cola sin tope.

   S = {0, 1, 2…}. Numerable: el laboratorio lo truncará en K−1.

4. 4
   Depósito con tope.

   S = {0,…,K}. Finito con bordes absorbentes o reflejantes según la regla.

5. 5
   Clima + stock.

   S = {sol, lluvia} × {0,…,K}. Vector mixto: el tamaño total es 2 × (K+1).

05 · Representación en Python

S es una lista, el índice es la posición

En Python, un espacio finito es una lista. Las etiquetas legibles viven en la lista y los cálculos usan índices 0…K−1: ese puente será la base de la matriz de transición (Tema 24).

S = ["libre", "ocupado", "caído"]
indice = {s: i for i, s in enumerate(S)}

def validar(estado):
    return estado in indice

print("S =", S, "| K =", len(S))
print("índice de 'ocupado':", indice["ocupado"])
print("¿'roto' pertenece a S?", validar("roto"))

Probá agregar "mantenimiento" a S: ¿qué cambia en K y en los índices? ¿Qué habría que agrandar después?

Bordes explícitos

Un S acotado {0,…,K} necesita regla de borde. Sin ella, la caminata se escapa de S:

def paso_acotado(x, K, sube=True):
    # S = {0, ..., K}. Reflejo: no se sale de S.
    x = x + 1 if sube else x - 1
    if x < 0:
        x = 0
    if x > K:
        x = K
    return x


K = 5
print([paso_acotado(x, K, sube=True) for x in [4, 5]])
print([paso_acotado(x, K, sube=False) for x in [0, 1]])

06 · Exploración

Laboratorio: vivir dentro de un S finito

Caminata en S = {0, …, K−1} con reflejo en los bordes: si intenta salir, se queda en el borde. Cambiá el tamaño K y observá cómo el mismo azar produce historias distintas según el espacio que lo contiene.

Las líneas horizontales grises son los estados de S. Ninguna trayectoria puede salir de la franja: los bordes la devuelven. Con K chico el borde manda; con K grande casi no se toca.

Preguntas para explorar

1. Con K = 2, ¿cuántos valores puede tomar X(n)? ¿Qué proceso de 2 estados conocés?
2. Con K = 12 y X(0) = 3, ¿se tocan los bordes en 40 pasos? ¿Qué cambia si X(0) = 11?
3. Si quitás el reflejo del código, ¿sigue valiendo X(n) ∈ S?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: describir S

Ejecutá este espacio mixto y calculá su tamaño total. Luego agregá un modo y recalculá.

climas = ["sol", "lluvia"]
K = 6  # stock 0..5
S = [(c, s) for c in climas for s in range(K)]

print("K por clima:", K)
print("|S| =", len(S))
print(S[:3])

Ejercicio 2: validar pertenencia

Sin ejecutar primero: con S = {0,…,5}, ¿qué devuelve validar cada valor? Comprobalo después.

S = list(range(6))

def validar(x):
    return x in S


print(validar(5))
print(validar(6))
print(validar(-1))

Ejercicio 3: mapear etiquetas a índices

Construí el mapeo para S = {libre, ocupado, caído} y usalo para contar visitas por índice.

S = ["libre", "ocupado", "caído"]
indice = {s: i for i, s in enumerate(S)}
visitas = [0] * len(S)

for obs in ["libre", "ocupado", "ocupado", "caído", "libre"]:
    visitas[indice[obs]] += 1

print(S)
print(visitas)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos la evolución aleatoria en el tiempo: trayectorias, incrementos y cómo el presente genera el futuro.