Modelado con Markov

01 · Punto de partida

El problema manda, P obedece

«La cola explota al mediodía», «el servidor se cae mucho», «llueve la mitad de los días»: cada frase esconde estados, flechas y chances. Modelar es traducir el relato a S, grafo y P… y validar que la traducción responde la pregunta.

El flujo es siempre: relato → estados → grafo → P → π e indicadores → decisión.

• ¿Qué pregunta debe responder el modelo?
• ¿Qué estados distinguen la respuesta?
• ¿De dónde salen las chances: conteos o experto?
• ¿El modelo reproduce lo observado?

02 · Definición

El flujo en cinco pasos

Todo proyecto Markov serio pasa por acá:

Los Temas 43–46 aplican este flujo a confiabilidad, inventarios, usuarios y sistemas. Acá se aprende el molde.

03 · Anatomía

Calibrar, validar y usar

Cuatro controles antes de decidir:

Calibrar

Conteos por fila (nᵢ ≥ 30 ideal) o experto documentado. Sin datos ni criterio, no hay P.

Verificar

Filas = 1, ceros = grafo, πP = π. Tests mecánicos que siempre pasan.

Validar

π y tiempos vs datos reales: ¿el modelo reproduce fracciones y rachas?

Usar

Indicador = función de π o de tiempos (P(tope), disponibilidad, días lluvia).

04 · Ejemplos

Tres moldes listos para copiar

Los tres sistemas del laboratorio, con su indicador:

1. 1
   Cola 0–1–2.

   Presión de llegadas a: P(tope) para decidir sillas.

2. 2
   Servidor.

   Falla f: disponibilidad 1 − π_caído para SLA.

3. 3
   Clima.

   Persistencia p: días de lluvia = 30·π₁.

05 · Representación en Python

Del relato al dict validado

En Python, modelar es construir S + P validados y una función indicador(π). El resto (simular, π, tiempos) reutiliza el bloque Markov.

# Molde cola 0-1-2: a = presión de llegadas.
a = 0.4
P = [[1 - a, a, 0.0],
     [0.4, 0.3, 0.3],
     [0.0, 0.5, 0.5]]

def validar(P):
    return all(abs(sum(f) - 1) < 1e-9 for f in P)

print("válida:", validar(P))
print("P(tope|tope):", P[2][2])

Subí a a 0,7: la primera fila empuja al tope. El indicador P(tope) lo confirmará en π.

Indicador desde π iterada

Sin álgebra: iterar πP hasta converger y leer el indicador:

P = [[0.6, 0.4, 0.0],
     [0.4, 0.3, 0.3],
     [0.0, 0.5, 0.5]]
pi = [1/3, 1/3, 1/3]
for _ in range(200):
    pi = [pi[0]*P[0][0] + pi[1]*P[1][0] + pi[2]*P[2][0],
          pi[0]*P[0][1] + pi[1]*P[1][1] + pi[2]*P[2][1],
          pi[0]*P[0][2] + pi[1]*P[1][2] + pi[2]*P[2][2]]
print([round(x, 3) for x in pi], "| P(tope):", round(pi[2], 3))

06 · Exploración

Laboratorio: tres sistemas, un molde

Elegí el sistema y movete su parámetro: cola (presión a), servidor (falla f) o clima (persistencia p). Las barras son π y el número grande el indicador (P(tope), caída, lluvia). Mirá cómo el parámetro empuja el indicador.

Cada sistema tiene su P paramétrica y su indicador. El molde es el mismo: calibrar, iterar π y leer.

Preguntas para explorar

1. En cola, subí a a 0,9. ¿P(tope) cuánto da? ¿Ampliarías?
2. En servidor, subí f a 0,9. ¿La caída supera el 20 %?
3. En clima con p = 0,9, ¿los días de lluvia al mes cuántos dan?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: escribir el molde

Empaquetá un modelo cola con S, P, pregunta e indicador. Validá filas.

modelo = {
    "S": [0, 1, 2],
    "P": [[0.6, 0.4, 0.0], [0.4, 0.3, 0.3], [0.0, 0.5, 0.5]],
    "pregunta": "¿P(tope) para ampliar?",
}
print(modelo["pregunta"], [round(sum(f), 9) for f in modelo["P"]])

Ejercicio 2: indicador desde π

Sin ejecutar primero: con π = [0,5 – 0,3 – 0,2], ¿P(tope)? ¿Disponibilidad si caído es 2?

pi = [0.5, 0.3, 0.2]
print("P(tope):", pi[2], "| disp:", 1 - pi[2])

Ejercicio 3: sensibilidad rápida

Variá a en [0,2 – 0,5 – 0,8] y observá P(tope) iterando π. ¿Es lineal?

def pi_tope(a):
    P = [[1-a, a, 0.0], [0.4, 0.3, 0.3], [0.0, 0.5, 0.5]]
    pi = [1/3, 1/3, 1/3]
    for _ in range(300):
        pi = [sum(pi[i]*P[i][j] for i in range(3)) for j in range(3)]
    return round(pi[2], 3)

print([pi_tope(a) for a in [0.2, 0.5, 0.8]])

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En los próximos temas aplicaremos el molde: confiabilidad, inventarios, usuarios y sistemas.